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水准测量改正及概算


§5.7 正常水准面不平行性及其改正数计算
如果假定不同高程的水准面是相互平行的,那么水准测量所测定的高差,就是水准面间的垂 直距离。这种假定在较短距离内与实际相差不大,而在较长距离时,这种假定是不正确的。 5.7.1 水准面不平行性 在空间重力场中的任何物质都受到重力的作用而使其具有位能。对于水准面上的单位质点而 言,它的位能大小与质点所处高度及该点重力加速度有关。我们把这种随着位置和重力加速度大 小而变化的位能称为重力位能,并以 W 表示,则有 W = gh (5-17) 式中, g 为重力加速度; h 为单位质点所处的高度。 我们知道,在同一水准面上各点的重力位能相等,因此, 为重力等位面, 或称重力位水准面。 如果将单位质点从一个水 到相距 ?h 的另一个水准面,其所做功就等于两水准面的位能 ?W = g?h 。在图 5-51 中,设 ?h A 、 ?h B 分别表示两个非常接 面在 A, B 两点的垂直距离, g A 、 g B 为 A, B 两点的重力加速度。 面具有重力位能相等的性质, 因此 A, B 两点所在水准面的位能 有下列关系 水准面称 准面提高 差 , 即 近的水准 由于水准 差 ?W 应
图 5-33

(5-18) ?W = g A ?h A = g B ?h B 我们知道,在同一水准面上的不同点重力加速度 g 值是不同的,因此由式(5-18)可知, ?h A 与 ?h B 必定不相等,也就是说,任何两邻近的水准面之间的距离在不同的点上是不相等的.并且 与作用在这些点上的重力成反比。以上的分析说明水准面不是相互平行的,这是水准面的一个重 要特性,称为水准面不平行性。 重力加速度 g 值是随纬度的不同而变化的,在纬度较低的赤道处有较小的 g 值,而在两极处 g 值较大,因此,水准面是相互不平行的、且为向两极收敛的、接近椭圆形的曲面。 水准面的不平行性,对水准测量将产生什么影响呢? 我们知道,水准测量所测定的高程是由水准路线上各测站所得高差求和而得到的。在图 5-34 中,地面点 B 的高程可以按水准路线 OAB 各测站测得高差 ?h1 , ?h2 , ? 之和求得,即
B H测 = ∑ ?h OAB

′ ,? 如果沿另一条水准路线 ONB 施测,则 B 点的高程应为水准路线 ONB 各测站测得高差 ?h1′ , ?h2

之和,即
′ B = ∑ ?h ′ H测
ONB

′ B 也必定不等,也就是说,用水准测量测得 由水准面的不平行性可知 ∑ ?h ≠ ∑ ?h ′ ,因此 H 测
OAB ONB

两点间高差的结果随测量所循水准路线的不同而有差异。
B ′B , 如果将水准路线构成闭合环形 OABNO , 既然 H 测 可见, 即使水准测量完全没有误差, ≠ H测

1

这个水准环形路线的闭合差也不为零。在闭合环形水准路线中,由于水准面不平行所产生的闭合 差称为理论闭合差。 由于水准面的不平行性,使得两固定点间的高差沿不同的测量路线所测得的结果不一致而产 生多值性,为了使点的高程有惟一确定的数值,有必要合理地定义高程系,在大地测量中定义下 面三种高程系统:正高,正常高及力高高程系。 5.7.2 正高高程系 正高高程系是以大地水准面为高程基准面,地面上任一点的正高高程(简称正高 ) ,即该点
B 沿垂线方向至大地水准面的距离。如图 5-34 中, B 点的正高,设以 H 正 表示,则有

B H正 = ∑ ?H = ∫ dH BC BC

(5-19) 线 BC 的 不 可以写出

设沿垂线 BC 的重力加速度用 g B 表示,在垂 同点上, g B 也有不同的数值。由式(5-18)的关系 g B dH = gdh 或
dH = g dh gB

(5-20)

将(5-20)式代入(5-19)式中,得
g dh gB

图 5-34

B H正 = ∫ dH = ∫ BC

(5-21)

OAB

B 如果取垂线 BC 上重力加速度的平均值为 g m ,上式又可写为

B H正 =

1 B gm



OAB

gdh

(5-22)

B 从(5-22)式可以看出,某点 B 的正高不随水准测量路线的不同而有差异,这是因为式中 g m 为

常数, ∫ gdh 为过 B 点的水准面与大地水准面之间的位能差,也不随路线而异,因此,正高高程 是惟一确定的数值,可以用来表示地面的高程。 如果沿着水准路线每隔若干距离测定重力加速度,则( 5-22)式中的 g 值是可以得到的。但 是由于沿垂线 BC 的重力加速度 g B 不但随深入地下深度不同而变化, 而且还与地球内部物质密度
B 的分布有关,所以重力加速度的平均值 g m 并不能精确测定,也不能由公式推导出来,所以严格

说来,地面一点的正高高程不能精确求得。 5.7.3 正常高高程系
2

B B 将正高系统中不能精确测定的 g m 用正常重力 γ m 代替,便得到另一种系统的高程,称其为

正常高,用公式表达为
B H常 =

1 B γm

∫ gdh

(5-23)

B 式中,g 由沿水准测量路线的重力测量得到; dh 是水准测量的高差, γ m 是按正常重力公式算得

的正常重力平均值,所以正常高可以精确求得,其数值也不随水准路线而异,是惟一确定的。因 此,我国规定采用正常高高程系统作为我国高程的统一系统。 下面推导正常高高差的实际计算公式。 首先推导高出水准椭球面 H m 的正常重力的计算公式。在这里,我们把水准椭球看成是半径 为 R 的均质圆球,则地心对地面高 H 的点的引力为 M g= f (R + H ) 2 对大地水准面上点的引力为
g0 = f M R2
1 1 ? ) 2 R (R + H ) 2

两式相减,得重力改正数
? 1 g = g 0 ? g = fM ( =

fM 1 [1 ? ] 2 H R (1 + ) 2 R

上式右端括号外

fM H 项,可认为是地球平均正常重力 γ 0 ;由于 H << R ,可把 (1 + ) ? 2 展开级数, 2 R R
2 H 3H 2 + 2 )] R R

并取至二次项,经整理得
? 1 g = γ 0 [1 ? (1 ? = 2γ 0

γ H2 H ?3 0 2 R R 将地球平均重力 γ 0 及地球半径 R 代入上式,最后得
? 1 g = 0.3086 H ? 0.72 × 10 ?7 H 2

这就是对高出地面 H 点的重力改正公式,式中 H 以 m 为单位, ? 1 g 以 mGal 为单位。显然式中第 一项是主项,大约每升高 3m,重力值减少 1mGa1。第二项是小项,只在特高山区才顾及它,在一 般情况下可不必考虑,这样通常可把上式写成 ? 1 g = 0.3086 H 于是得出地面高度 H 处的点的正常重力计算公式 γ = γ 0 ? 0.3086H (5-24)
3

式中 γ 0 为水准椭球面上的正常重力值,在大地控制测量中,采用 1901~1909 年赫尔默特正常重 力公式:
γ 0 = 978.030(1 + 0.005302 sin 2 ? ? 0.000007 sin 2 2? )

(5-25)

将重力 g 写成下面的形式
B B g = g +γ m ?γ m +γ ?γ

(5-26)

B 式中 γ 用(5-24)式计算。在有限路线上,可以认为正常重力是线性变化,因此可认为 γ m 是 HB 处

B 的 γ 值,即 γ m = (γ 0B ? 0.3086 ?

HB ) ,进而 2 HB ) + (γ 0 ? 0.3086 H ) ? γ 2 HB ? H) 2

B g = g +γ m ? (γ 0B ? 0.3086 ?

B =γm + (γ 0 ? γ 0B ) + ( g ? γ ) + 0.3086(

(5-27)

分项积分得到

OAB



(

HB H ? H )dh = B 2 2

OAB

∫ dh ? ∫ Hdh
OAB

可近似地写成:

OAB



(

HB H2 H2 ? H )dh = B ? B = 0 2 2 2

因此,有正常高计算公式:
B H常 =

OAB

∫ dh + γ ∫ (γ
B m

1

0

? γ 0B )dh +

1 B γm

OAB

∫ ( g ? γ )dh

(5-28)

上式右端第一项是水准测量测得的高差,这是主项;第二项中的 γ 0 是沿 O ? A ? B 水准路线上各点 的正常重力值,随纬度而变化,亦即 γ 0 ≠ γ 0B ,所以第二项称为正常位水准面不平行改正数。第一、 二项之和称为概略高程。第三项是由正常位水位面与重力等位面不一致引起的,称之为重力异常 改正项。 当计算两点高差时,有式
B A H常 ? H常 =

AB

∫ dh + ? ∫ (γ ?γ ?
B m OB

? 1

0

? γ 0B )dh ?

1 A γm

OA

∫ (γ

0

? ? γ 0A )dh ? + ? ?

(5-29)

? 1 ? B ? ?γ m

1 ( g ? γ )dh ? A γm OB



? ( g ? γ )dh ? ? OA ?



将上式右端第二、三大项分别用 ε 和 λ 表示,则
B A H常 ? H常 = AB

∫ dh + ε + λ

(5-30)

上式中 ε 称为正常位水准面不平行引起的高差改正, λ 称为由重力异常引起的高差改正, 经过 ε 和
4

λ 改正后的高差称为正常高高差。

下面推导 ε 和 λ 的计算公式。首先推导 ε 的计算公式。 由于 1 1 ε = B ∫ (γ 0 ? γ 0B )dh ? A ∫ (γ 0 ? γ 0A )dh γ m OB γ m OA
= 1 B γm
OB

∫ (γ

0

? γ 0B )dh ?

1 B γm

OA

∫ (γ

0

? γ 0B )dh +

1 B γm

OA

∫ (γ

0

B ? γ 0A + γ 0A ? γ 0 )dh ?

1 A γm

OA

∫ (γ

0

? γ 0A )dh

1 = B γm

1 (γ 0 ? γ 0B )dh + B ∫ γm AB

1 B (γ 0A ? γ 0 )dh + [ B ∫ γm OA

1 (γ 0 ? γ 0A )dh ? A ∫ γm OA

OA

∫ (γ

0

? γ 0A )dh

于是
ε=
1 B γm

AB



(γ 0 ? γ 0B )dh +

γ 0A ? γ 0B γ
B m

HA +

A B γm ?γ m

γ ?γ

A m

B m

OA

∫ (γ

0

? γ 0A )dh

(5-31)

上式中最后一项数值很小,可略去;第一项在 A, B 间距不大的情况下,可认为 γ 0 呈线性变化, γ 0 可用平均值代替,亦即 γ 0 =
1 B γm 1 A B (γ 0 + γ 0 ) ,则 2
A B B (γ 0 ? γ 0A ) ?h 1 γ0 +γ0 B ( ? γ ) dh = ? ? 0 B B 2 2 γm γm AB

AB



(γ 0 ? γ 0B )dh =



(5-32)

这样
ε =?
B B (γ 0 ? γ 0A ) ?h (γ 0 ? γ 0A ) ( + H ) = ? Hm A B B 2 γm γm

(5-33)

式中, H m 为 A, B 两点平均高度(可用近似值代替) , γ 0B ? γ 0A = ?γ 。又由(5-25)式可知,若忽 略右端第三项(即含 sin 2 2? 项) ,并令 sin 2 2? =
1 1 ? cos 2? ,则把它改写成 2 2

1 1 γ 0 = γ e [1 + β ( ? cos 2? )] 2 2 = γ e [1 + 1 1 β ? β cos 2? ] 2 2

(5-34)

当 ? = 45 ? 时,得 γ 45? = γ e (1 +

1 β ) 。因此上式可写成 2

γ 0 = γ 45? (1 ?

β γe ? cos 2? ) 2 γ 45?

将有关数值代入,于是
γ 0 = 980616 × (1 ? 0.002644 cos 2? )

(5-35)

因此对上式取微分得

5

dγ 0 = 980616 × 0.002644 × 2 sin 2?

2? ′ ρ′

亦即
?γ = 1.508344 sin 2? × ?? ′
B 当(5-33)式中的 γ m 以我国平均纬度 ? = 35 ? 代入算得

(5-36)

B γm = 980616 × (1 ? 0.002644 cos 70 ? ) = 979773

将以上关系式及数据代入(5-33)式,得 ε 的最后计算公式: ε = ?0.0000015395 sin 2? m ? ?? ′H m (5-37) 或 ε = ? A?? ′ ? H m (5-38) 式中, ? m 是 A, B 两点平均纬度,系数 A 可按 ? m 在水准测量规范中查取, ?? ′ = ? B ? ? A 是 A、B 两 点的纬度差,以分为单位。规范中的 A 值与(5-37)式略有差异,这主要是由于所采用常数不同 而至,对计算结果无影响。 再来推导计算 λ 的公式。 由于 1 1 λ = B ∫ ( g ? γ )dh ? A ∫ ( g ? γ )dh γ m OB γ m OA
= 1 B γm
1 B γm
OB

∫ ( g ? γ )dh ? γ ∫ ( g ? γ )dh + γ ∫ ( g ? γ )dh ? γ ∫ ( g ? γ )dh
B m OA B m OA A m OA

1

1

1

=

AB



( g ? γ )dh +

A B γm ?γ m A B γm ?γ m

OA

∫ ( g ? γ )dh

(5-39)

上式中第二项数值很小,可忽略。第一项当 A、B 间距不大时,可视 ( g ? γ ) 同 dh 呈线性变化,故
m B 可取平均值 ( g ? γ ) m 代替。 AB 路线上的正常重力 γ 0 也可近似等于 B 点的 γ m ,因此上式变为

λ=

1 m γ0

AB

∫ (g ? γ )
?H

m

dh

(5-40)

求积分,得
λ=
(g ? γ ) m
m γ0

(5-41)

上式即为重力异常改正项的计算公式。为便于计算,还可作进一步改化,若令
m γ0 = 10 6 ? ?γ = 10 6 (1 ? ?γ ?10 ?6 )(mGal)

并把此式代入上式,则得 (g ? γ ) m λ= ?H = ( g ? γ ) m ? ?H ?10 ? 6 (1 + ?γ ?10 ? 6 ) m γ0 令
C = ( g ? γ ) m ? ?H ?10 ?6

(5-42)

(5-43)
6

D = C ? ?γ ?10 ?6

(5-44)

则得 (5-45) λ =C+D 此式为计算重力异常项改正的最后公式。计算时 ( g ? γ ) m 以毫伽(mGal)为单位,取至 0.1mGal。
?H 是 A、B 两点间的高差,取整米, C 的单位与 ?H 相同。

从上可见,正常高与正高不同,它不是地面点到大地水准面的距离,而是地面点到一个与大 地水准面极为接近的基准面的距离,这个基准面称为似大地水准面。因此,似大地水准面是由地 面沿垂线向下量取正常高所得的点形成的连续曲面,它不是水准面,只是用以计算的辅助面。因 此,我们可以把正常高定义为以似大地水准面为基准面的高程。 下面我们来分析一下正高 H 正 和正常高 H 常 二者的差异。由(5-22) 、 (5-23)式可知:

OB

∫ gdh = H



B B ? gm = H 常 ?γ m

因此
H正 =
B γm B gm

H常 =

B B B γm + gm ? gm B gm

H常 = H常 ?

B B gm ?γ m B gm

H常

(5-46)

因此,对任意一点正常高和正高之差,亦即任意一点似大地水准面与大地水准面之差的差值是: g ?γ m (5-47) H常 ? H正 = m H常 gm 假设山区 g m ? γ m = 500mGal, H 常 = 8km ,则得
H常 ? H正 = gm ?γ m H 常 = 4m gm

在平原地区 g m ? γ m = 50mGal, H 常 = 500m ,则得
H常 ? H正 =
B

gm ? γ m H 常 = 2.5cm gm

在海水面上 WO ? WB = ∫ gdh = 0 ,故 H 正 = H 常 即正常高和正高相等。这就是说在海洋面上,大地
O

水准面和似大地水准面重合。所以大地水准面的高程原点对似大地水准面也是适用的。

7

§5.8 水准测量的概算
水准测量概算是水准测量平差前所必须进行的准备工作。在水准测量概算前必须对水准测量 的外业观测资料进行严格的检查, 在确认正确无误、 各项限差都符合要求后, 方可进行概算工作。 概算的主要内容有:观测高差的各项改正数的计算和水准点概略高程表的编算等。全部概算结果 均列于表 5-7 中。 5.8.1 水准标尺每米长度误差的改正数计算 水准标尺每米长度误差对高差的影响是系统性质的。根据规定,当一对水准标尺每米长度的 平均误差 f 大于±0.02mm 时,就要对观测高差进行改正,对于一个测段的改正 ∑ δ f 可按(5-4) 式计算,即
∑δ f = f ∑ h

由于往返测观测高差的符号相反,所以往返测观测高差的改正数也将有不同的正负号。 设有一对水准标尺经检定得,一米间隔的平均真长为 999.96mm,则 f =(999.96-1 000)= -0.04mm。在表 5-9 中第一测段,即从Ⅰ柳宝 35 基到Ⅱ宜柳 1 水准点的往返测高差 h = ±20.345m , 则该测段往返测高差的改正数 ∑ δ f 为
∑ δ f = ?0.04 × ( ±20.345 ) = ?0.81(mm)

5.8.2 正常水准面不平行的改正数计算 按水准规范规定,各等级水准测量结果,均须计算正常水准面不平行的改正。正常水准面不 平行改正数 ε 可按(5-38)式计算,即 ε i = ? AH i (?? ) ′ 式中 ε i 为水准测量路线中第 i 测段的正常水准面不平行改正数, A 为常系数,当水准测量路线的 纬度差不大时,常系数 A 可按水准测量路线纬度的中数 ? m 为引数在现成的系数表中查取,如表 5-8; H i 为第 i 测段始末点的近似高程,以 m 为单位; ?? i′ = ? 2 ? ? 1 ,以分为单位, ? 1 和 ? 2 为第 i 测段始末点的纬度,其值可由水准点点之记或水准测量路线图中查取。 在表 5-9 中,按水准路线平均纬度 ? m =24?18′在表 5-8 中查得常系数 A =1 153× 10 。第 一测段, 即Ⅰ柳宝 35 基到Ⅱ宜柳 1 水准测量路线始末点近似高程平均值 H 为( 425 +445 )/2=435m, 纬度差 ?? =-3′,则第一测段的正常水准面不平行改正数 ε 1 为
ε 1 = ?1153 × 10 ?9 × 435 × (?3) = +1.5(mm)
-9

8

正常水准面不平行改正数的系数 A 表 5-8

A = 0.0000015371? sin 2?

5.8.3 水准路线闭合差计算 水准测量路线闭合差 W 的计算公式为 W = (H 0 ? H n ) + ∑ h′ + ∑ ε

(5-51)
9

式中, H 0 和 H n 为水准测量路线两端点的已知高程; ∑ h ′ 为水准测量路线中各测段观测高差加入 尺长改正数 δ f 后的往返测高差中数之和; ∑ ε 为水准测量路线中各测段的正常水准面不平行改正 数之和。根据表 5-9 和表 5-7 中的数据按(5-51)式计算水准路线的闭合差: W = (424.876 ? 573.128)m + 148.2565m + 5.0mm = 9.5m 见表 5-9 中的计算。
正常水准面不平行改正与路线闭合差的计算 表 5-9 二等水准路线:自宜河至柳城 计算者:马兆良

闭合路线中的正常水准面不平行改正数为+5.0mm,故路线的最后闭合差为 W = ( H 0 ? H n ) + ∑ ε = ?148.252m + 148.2565m + 5.0mm = 9.5mm 5.8.4 高差改正数的计算 水准测量路线中每个测段的高差改正数可按下式计算,即
v=? R W ∑R

(5-52)

即按水准测量路线闭合差 W 按测段长度 R 成正比的比例配赋予各测段的高差中。在表 5-9 中, 水 准测量路线的全长 ∑ R =80.9km,第一测段的长度 R =5.8km,则第一测段的高差改正数为
v=?
5 .8 × 9.5 = ?0.7(mm) 80.9

见表 5-7 中第 21 栏。

最后根据已知点高程及改正后的高差计算水准点的概略高程,即 H = H 0 + ∑ h′ + ∑ ε + ∑ v

(5-53)
10


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