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【高考状元】数学错题本:第6章平面向量易错题含解析

我的高考数学错题本 第 6 章 平面向量易错题 易错点 1.遗漏零向量 【例 1】 已知 与 b ? ( m, ? m) 平行,则 m 值的个数是________. ,即 ,解之得 , m2 ? 0 (舍) ,∴ m 的值只有一个. ? 【错解】由//得 【错因】零向量与任一向量平行,当 m ? 0 时,为零向量,也与平行. 【正解】由//得 ,解得 , m2 ? 0 ,∴ m 的值应有两个. 易错点 2.弄错两个向量的夹角 【例 2】 在 A 20 中, B , 与 CA 的夹角. ,故 ,选 B. C ,则 的值为 ( D ,故选 A. ) 【错解】因为 【错因】弄错向量 【正解】由题意 ??? ? 【纠错训练】已知 ?ABC 中, AB ? BC ? 0 ,则 ?ABC 是( A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 ??? ? ??? ? ) D、不能确定 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【解析】 AB ? BC ? AB ? BC ? cos(? ? ?ABC ) ? 0 ,所以 cos ?ABC ? 0 ,故选 C. 易错点 3.忽略向量平移的不变性 【例 3】 向量 按向量 a =(1,2)平移后为( C. (3,4 ) ) D. (3,8) A. (4,6) B. (2,2) 【错解】A. 【错因】向量平移不改变. 【正解】由向量平移不变性,选 C. 【纠错训练】已知 A(3,7) ,B(5,2) ,向量 A. (2,-5) 【解析】 B. (3,-3) 按 a ? (1, 2) 平移后所得向量是 D.以上都不是 ? . C. (1,-7) ,由向量平移不变性,故选 A. 致错 易错点 4.认为与的夹角为钝角(锐角) 【例 4】设平面向量 A. B. (2, ?? ) ,若与的夹角为钝角,则 C. ,即 ?2? ? 1 ? 0 ,解得 D. 的取值范围是( ) 【错解】由与的夹角为钝角,所以 【错因】忽视使用 ,故选 C. 时,其中包含了两向量反向的情况. ,即 ?2? ? 1 ? 0 ,解得 , 【正解】由与的夹角为钝角,所以 又当 所以 共线且反向时, 2 ? ? ? 0 ,得 ? ? 2 . 的取值范围是 且 ? ? 2 ,故选 A. , = ,且,的夹角为钝角,则的取值范围是_______. 【纠错训练】若向量= 【正解】 解得 又由 ,的夹角为钝角, 或 (1) 共线且反向可得 (2) 由(1),(2)得的范围是 易错点 5.向量数量积的性质理解不透彻 【例 5】向量、都是非零向量,向量 a + 3b 与 7a ? ?b 垂直, a ? 4b 与 7a ? ?b 垂直,求与的夹角. 【错解】由题意,得 (a + 3b) (7a ? ?b) ? 0 ,① 将①、②展开并相减,得 46a b = ??b ,③ 2 (a ? ?b) (7a ? ?b) ? 0 ,② ∵ b ? ? ,故 a = 1 b ,④ 2 1 ? b ab 1 将④代入②,得 a 2 ? b 2 ,则 a ? b ,设与夹角为,则 cos ? ? ? 2 2 ? . a b 2 b ∵ 0 ≤ ? ≤ 180 ,∴ ? ? 60 . ? ? ? 【错因】上面解法表面上是正确的,但却存在着一个理解上的错误,即由③得到④,错把数的乘法的消去律运 用在向量的数量积运算上.由于向量的数量积不满足消去律,所以即使 b ? ? ,也不能随便约去. 【正解】设向量、的夹角为,由上面解法有 2a b = b ,代入①式、②式均可得 a ? b ,则 a ? b , 2 2 2 ∴ cos ? ? ab 1 ? .又∵ 0? ≤ ? ≤ ???? ,∴ ? ? 60? . a b 2 ,且 a ? 0 ,那么( 【纠错训练】如果 ? ? ) A. 【解析】 B. ,说明 C. D. 在方向上的投影相等 在方向上的投影相等,故选 D. 易错点 6.记错两个向量平行的坐标关系 【例 6】已知向量 【错解】 ∵ 【错因】把“若 【正解】∵ 【纠错训练】设向量 A.充要 【解析】若 B.必要不充分 则 , ,又 , ∥,∴ ,若 ∥,则 m= , 得 ”错记成“ ,得 是 的( . . ”. . , b ? ( x2 , y2 ) ? 0 ,则∥ ,又 ∥,∴ ,则 C.充分不必要 ,若 ? ? )条件. D.既不充分也不必要 或 为 0,故选 C. ,有可能 【错题纠正巩固】 1.关于非零向量和 b ,有下列四个命题: (1) “ a ? b ? a ? b ”的充要条件是“和 b 的方向相同” ; ? ? ? ? ? ? (2) “ a ? b ? a ? b ” 的充要条件是“和 b 的方向相反” ; (3) “ a ? b ? a ? b ” 的充要条件是“和 b 有相等 的模” ; (4) “ a ? b ? a ? b ” 的充要条件是“和 b 的方向相同” ; 其中真命题的个数是 A 1 B 2 答案: 2.若向量 B. =(cos?,sin?) , = ?cos ? , sin ? ? ,与不共线,则与一定满足( B.∥ C.(+) (-) D.⊥ ) ( C ) 3 D 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A.与的夹角等于 答案:C 3.已知向量 =(2cos A. ? 答案:A 2 3 ,2sin ), B. ? + 2 ( ? , ? ), =(0,-1),则与的夹角为( 2 ) D. C. - ? 2 错因:学生忽略考虑与夹角的取值范围在 0, ] ABC 是 4 .o 为平面上的定点,A 、 B 、C 是平面上不共线的三点,若( OB - OC ) ·( OB + OC -2 OA

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