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【高考状元】数学错题本:第7章数列易错题含解析

我的高考数学错题本 第 7 章 数列易错题 易错点 1.已知 Sn 求 an 时, 易忽略 n ? 1 致错. 1 1 【例 1】已知数列 {an } 的前项和为 S n = n2+ n+1,求 {an } 的通项公式. 2 2 1 1 1 1 【错解】an=Sn-Sn-1= n2+ n+1- (n-1)2- (n-1)-1=n,所以 an ? n . 2 2 2 2 【错因】 an ? S n ? S n ?1 成立的条件是 n ? 2 ,当 n ? 1 要单独验证. 1 1 【正解】当 n=1 时,a1=S1= + +1=2; 2 2 1 2 1 1 1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= n + n+1- (n-1)2- (n-1)-1=n. 2 2 2 2 ? n, n ? 1 当 n=1 时不符合上式,所以 an ? ? . ? n, n ? 2 易错点 2.利用等比数列前 n 项和公式时,忽略公比 q ? 1 致错. 【例 2】求数列 1,3a,5a , 7 a ,......(2n ?1) a 【错解】由于 an ? (2n ? 1) a n ?1 2 3 n ?1 ,.....( a ? 0) 的前 n 项和. (n ? N *) , S n ? 1 ? 3a ? 5a 2 ? 7 a 3 ? ...... ? (2n ? 3)a n ? 2 ? (2n ? 1)a n ?1 aS n ? a ? 3a 2 ? 5a 3 ? 7a 4 ? ...... ? (2n ? 3)a n ?1 ? (2n ? 1)a n 2 3 n ?1 两式相减得 (1 ? a ) S n ? 1 ? 2a ? 2a ? 2a .....2a ? (2n ? 1)a n = 2 1 ? an ? (2 n ?1) a n ?1 1? a ? Sn ? 2 1 ? a n (2n ? 1)a n ? 1 ? . (1 ? a)2 1? a n(1 ? 2n ? 1) ? n2 2 【错因】上述解法只适合 a ? 1 的情形. 事实上,当 a ? 1 时, S n ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ...... ? (2n ? 3) ? (2n ? 1) ? ? 1 ? a n (2n ? 1)a n ? 1 ? ,a ?1 ?2 2 1? a 【正解】 Sn ? ? (1 ? a) . ?n 2 , a ? 1 ? 易错点 3.忽略数列与函数的区别致错. ? a x ?5 , x?6 ? * 【例 3】已知函数 f ( x ) ? ? ,数列 {an } 满足 an ? f ( n) ( n ? N ) ,且数列 {an } 是单调递增 a (4 ? ) x ? 4, x ? 6 ? ? 2 数列,则的取值范围是_______. ? ?a ? 1 ? ? a 【错解】由题有 ? 4 ? ? 0 ,得 7 ? a ? 8 . 2 ? a ? (4 ? ) ? 6 ? 4 ? a 6?5 ? ? 2 【错因】忽略数列与函数的区别致错,实际上,数列是一串离散的点,不能直接将 n ? 6 带入到分段函数的两个 部分进行比较. ?a ? 1 ? a 48 ? 【正解】由题有 ? 4 ? ? 0 ,得 ? a ?8. 2 7 ? ? ? f (5) ? f (6) 【例 4】 已知数列 an ? n ? tn ? 2 在 [2, ??) 是递增数列,则实数的取值范围是_______. 【错解】依题意, n ? 2 t ? 2 ,解得 t ? 4 ,所以的取值范围是 (??, 4] . 2 【错因】数列的定义域是全体的正整数,不是实数,所以不能按照函数的处理办法. 【正解】依题意, a2 ? a3 ,即 4 ? 2t ? 2 ? 9 ? 3t ? 2 ,故 t ? 5 . 易错点 4.数列的定义域是全体的正整数. 【例 5】已知数列 an ? 13 ? 3n ,其前项和为 S n ,则 S n 的最大值是________. 【错解】由题意, a1 ? 10 , S n ? 为 Sn ? 529 . 24 (10 ? 13 ? 3n)n 3 23 529 23 ,当 n ? 时, S n 的最大,最大值是 ? ? (n ? )2 ? 2 2 6 24 6 【错因】数列的自变量是正整数,不能取非正数. 【正解】方法 1:由题意, a1 ? 10 , S n ? (10 ? 13 ? 3n)n 3 23 529 ,当 n ? 4 时,离二次函数对 ? ? (n ? )2 ? 2 2 6 24 23 ? 4 ? 3 ? 4 2 称轴最近,所以 S n 的最大值是为 S 4 ? ? 22 . 2 方法 2:令 an ? 13 ? 3n ? 0 ,解得 n ? 13 ,即 {an } 前 4 项为正数,后面项均为负数,所以 S n 的最大值为 4 S4 ? 23 ? 4 ? 3 ? 4 2 ? 22 . 2 易错点 5.乱用结论致错. 【例 6】已知等差数列 ?an ? 的前 m 项,前 2m 项,前 3m 项的和分别为 S m , S 2 m , S3m ,若 S m ? 30, S 2m ? 90 , 求 S3 m . 【错解】因为 S m ? S 3m ? 2S 2m , S m ? 30 , S 2 m ? 90 ,所以 S3m ? 2S 2 m ? S m ? 150 . 【错因】以为 ?an ? 为等差数列,则 S m , S 2 m , S3m 也是为等差数列致错. 【正解】设数列的公差为 d ,则 S m ? a1 ? a2 ? a3 ? ...... ? am , S 2 m ? a1 ? a2 ? a3 ? ...... ? am ? am ?1 ? ..... ? a2 m , S3m ? a1 ? a2 ? a3 ? ...... ? a2 m ?

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