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湖南省长望浏宁四县市2019届高三下学期3月模拟考试 数学(理)

2019 年 3 月长望浏宁高三模拟考试

理科数学试卷
时量:120 分钟 考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对条形码上的准 考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上 作答的答案无效。 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是 符合题目要求的。
2 1、集合 A ? x ? N x ? 6 , B ? x ? R x ? 3 x ? 0 ,则 A ? B ?

总分 150 分

?

?

?

?

A. ?x 3 ≤ x ? 6? 2、设 a ? R ,则 A.充要条件

B. ?3,4,5?

C. ?x 3 ? x ≤ 6?

D. ?4,5,6?

1 ? 1是 a ? 1的 a
B.充分但不必要条件 C.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3、已知函数 y ? f (x ) ? x 是偶函数,且 f (2) ? 1 ,则 f (?2) ? A.-3 4、 ( x A.2
2

B.-1

C.1

D.2

? 2)(

1 ? 1) 5 的展开式的常数项是 x2
B.3 C.-2 D. -3

5、如下图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点, OP =x OA +y OB ,且 BP =3 PA ,则 A、x= C、x=

2 1 ,y= 3 3

B、x= D、x=

1 2 ,y= 3 3

1 3 ,y= 4 4

3 1 ,y= 4 4
第 5 题图 开始
·1·

6、定义运算 a ? b 为执行如图所示的程序框图

输入 a,b

输出的 S 值,则 ( 2 cos A.2 B.-2

?
3

) ? t an

7? 的值为 4
D.1

C.-1

7、已知最小正周期为 2 的函数 f ( x ) 在区间

[ ?1, 1] 上的解析式是 f (x ) ? x 2 ,则函数 f ( x)
在实数集 R 上的图象与函数 y ? g (x ) ? log 5 x 的图象的交点的个数是 A.3 C.5 B.4 D.6

8、已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是 边长为 2 的正三角形,则该三棱锥的侧视图可能为

第 8 题图 9、如图,矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(0,—1),B( ? ,—1),C( ? ,1),D(0,1), 正弦曲线 f (x ) ? sin x 和余弦曲线 g (x ) ? cosx 在矩形 ABCD 内交于点 F,向矩形 ABCD 区域内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是 A. 1 ? 2 ?

y
D F

B. 1 ? 2 2?

C.

1 ?

D. C

1 2?

f(x)=sinx
O E

x

g(x)=cosx
A B 第 9 题图 an ? 满足:存在正整数T ,对于任意正整数 n 都有 an ?T 10、若数列 ?

? an 成立,则称数列 ?an ? 为周期

·2·

an ? 满足 a1 ? m (m ? 0) , an ?1 数列,周期为T .已知数列 ?

?an ? 1, an ? 1, ? 则下列结论中错误 的是 ??1 .. ?a ,0 ? an ? 1. ? n

A. 若 a3 ? 4 ,则 m 可以取 3 个不同的值; B. 若 m ?

2 ,则数列 ?an ? 是周期为 3 的数列;

* an ? 周期为T ; C. ?T ? N 且T ? 2 ,存在 m ? 1 ,数列 ?

an ? 是周期数列. D. ?m ?Q 且 m ? 2 ,数列 ?
二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 (一)选做题(请考生在第 11、12、13 三题中任选两题作答,若全做,则按前两题记分) 11、在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t (t 为参数) ,以原点 O 为极点,以 x ?y ? t ? 4

轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 2 sin(? ? 的公共点有 个.

?
4

) ,则直线 l 和曲线 C

12、如右上图,圆O的直径AB = 8,C为圆周上一点,BC = 4,过C作圆的切线 l ,过A作直线 l 的 垂线AD,D为垂足,AD与圆O交于点E,则线段AE的长为 13、若 2x ? 3y ? 4z ? 11,则 x ? y ? z 的最小值为________.
2 2 2



(二)必做题(14-16 题)

?x ? y ? 14、设实数 x , y 满足 ? y ? 6 ? 2 x ,向量 a ? (2x ? y , m ),b ? (?1,1) .若 a // b ,则实数 m ?x ? 1 ?
的最小值为 .

15、已知两定点 A(-1,0)和 B(1,0),动点 P (x , y ) 在直线 l : y ? x ? 2 上移动,椭圆 C 以 A,B 为焦点且经过点 P,则椭圆 C 的离心率的最大值为 .

16 、 若 函 数 y ? f (x ) 在 定 义 域 内 给 定 区 间 [a,b] 上 存 在 x 0 (a ? x 0 ? b ) , 满 足

f (x 0 ) ?

f (b ) ? f (a ) , 则称函数 y ? f (x ) 是[a,b]上的 “平均值函数” , x 0 是它的一个均值点. 例 b ?a
·3·

如 y ? x 是[-2,2]上的“平均值函数” ,O 就是它的均值点.若函数 f (x ) ? x 1]上的“平均值函数” ,则实数 m 的取值范围是 .

2

? mx ? 1 是[-1,

三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分) “ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动, 活动规定: 被邀请者要么在 24 小时内 接受挑战, 要么选择为慈善机构捐款 (不接受挑战) , 并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战, 则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容,然后便可以邀请另外 3 个人参与这项活动.假 设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的,且互不影响. (Ⅰ)若某被邀请者接受挑战后,对其他 3 个人发出邀请,则这 3 个人中至少有 2 个人接受挑战的 概率是多少? (Ⅱ)假定(Ⅰ)中被邀请到的 3 个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定,现记 X 为接下来被邀请 到的 6 个人中接受挑战的人数,求 X 的分布列和数学期望.

18、 (本小题满分 12 分) 如图,摩天轮上一点 P 在 t 时刻距离地面高度满足 y ? A sin(?t ? ? ) ? b ,

A ? 0, ? ? 0, ? ? [?? , ? ] ,已知某摩天轮的半径为 50 米,
面的高度为 60 米,摩天轮做匀速转动,每 3 分钟转一圈, 始位置在摩天轮的最低点处. (1)根据条件写出 y (米)关于 t (分钟)的解析式; (2) 在摩天轮转动的一圈内, 有多长时间点 P 距离地面超 19、 (本小题满分 12 分) 第 18 题图

点 O 距地 点 P 的起

过 85 米?

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面ABCD ,四边形 ABCD 是菱形, AC ? 2 , 且 AC , BD 交于点 O , E 是 PB 上任意一点. BD ? 2 3 , (1)求证: AC ? DE ; (2)已知二面角 A ? PB ? D 的余弦值为

P E D A O
第 19 题图

15 ,若 E 为 PB 5
·4·

C B

的中点,求 EC 与平面 PAB 所成角的正弦值.

20、 (本小题满分 13 分) 为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干年时间更换 10000 辆燃油型公 交车。每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车。今年初投入了 电力型公交车 128 辆,混合动力型公交车 400 辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加

50% ,混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆.设 an 、 bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车、混合
动力型公交车的数量,设 Sn 、 Tn 分别为 n 年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。 (1)求 S n 、 T n ,并求 n 年里投入的所有新公交车的总数 Fn ; (2)该市计划用 7 年的时间完成全部更换,求 a 的最小值.

21、 (本小题满分 13 分) 如图,已知圆 E: ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 ,点 F ( 3,0) ,P 是圆 E 上任意一点.线段 PF 的垂直平分 线和半径 PE 相交于 Q. (Ⅰ)求动点 Q 的轨迹Γ 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与(Ⅰ)中轨迹Γ 相交于 A, B 两点, 直线 OA, l , OB 的斜率分别为 k1 , k , k2 (其中
k ? 0 ).△ OAB 的面积为 S , 以 OA, OB 为直径的圆的面积分别为 S1 , S 2 .若 k1 , k , k 2 恰好

构成等比数列, 求

S1 ? S2 的取值范围. S

·5·

第 21 题图

22、 (本小题满分 13 分) 已知 f (x ) ? ln x ? ax ? bx .
2

(1)若 a ? ?1 ,函数 f ( x) 在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围; (2) f ( x ) 的图象与 x 轴交于 A (x 1 ,0), B (x 2 ,0)(x 1 ? x 2 ) ) 两点 , AB 中点为 C ( x0 , 0) ,求证:平面

f ?(x 0 ) ? 0 .

2019 年 3 月长望浏宁高三模拟考试

理科数学
参考答案
一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 B 5 D 6 A 7 C 8 B 9 B 10 D

二、填空题: (每小题 5 分,共 25 分) 11、1;12、4;13、

121 10 ;14、-2;15、 ;16、(0,2). 29 5

三、解答题: (共 75 分) 17、 (12 分)解法一: (Ⅰ)这 3 个人接受挑战分别记为 A 、 B 、 C ,则 A, B, C 分别表示这 3 个人
·6·

不接受挑战.这 3 个人参与该项活动的可能结果为: ? A, B, C? , A, B, C , A, B, C , A, B, C ,

?

? ?

? ?

?

? A, B, C? , ? A, B, C? , ? A, B, C? , ? A, B, C? .共有 8 种;

2分

其中,至少有 2 个人接受挑战的可能结果有: ? A, B, C? , A, B, C , A, B, C , A, B, C ,共有 4 种. 根据古典概型的概率公式,所求的概率为 P ? 3分

?

? ?

? ?

?

4 1 ? . 8 2

4分

(说明:若学生先设“用 ? x, y, z ? 中的 x, y, z 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况” ,再 将 所 有 结 果 写 成

? A, B, C ?

,

? A, B, C ?

,

? A, B, C ?



) ? A, B, C ? , ? A, B, C ? , ? A, B, C ? , ? A, B, C ? , ? A, B, C ? ,不扣分. (Ⅱ)因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的, 所以每个人接受挑战的概率为
0 6 0 6

1 1 ,不接受挑战的概率也为 . 2 2
5

5分

1 6 3 ?1? ?1? 1?1? ?1? ?? ? ? ? 所以 P ? X ? 0 ? ? C ? ? ? ? ? , P ? X ? 1? ? C6 , ? ? ? 2 ? ? 2 ? 64 ? 2 ? ? 2 ? 64 32
2?1? P ? X ? 2 ? ? C6 ?2? ? ? 4?1? P ? X ? 4 ? ? C6 ?2? ? ? 2

? 1 ? 15 3?1? ?? ? ? , P ? X ? 3? ? C6 ?2? ? 2 ? 64 ? ?
2

4

3

? 1 ? 20 5 ?? ? ? ? , ? 2 ? 64 16 6 3 ?1? ?? ? ? ? , ? 2 ? 64 32
1

3

4

? 1 ? 15 5?1? ?? ? ? , P ? X ? 5? ? C6 ?2? ? 2 ? 64 ? ?
0

5

1 6?1? ?1? P ? X ? 6 ? ? C6 ? 2 ? ? 2 ? ? 64 . ? ? ? ?

6

9分 0 1 2 3 4 5 6

故 X 的分布列为:

X
P

1 64

3 32

15 64

5 16

15 64

3 32

1 64

10 分

所以 E ? X ? ? 0 ?

1 3 15 5 15 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 3 . 64 32 64 16 64 32 64
12 分

故所求的期望为 3 . 解法二:因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的, 所以每个人接受挑战的概率为

1 1 ,不接受挑战的概率也为 . 2 2
·7·

1分

(Ⅰ)设事件 M 为“这 3 个人中至少有 2 个人接受挑战”,
?1? 则 P( M ) ? C32 ? ? ?2?
2

1 ?1? 3?1? ? ? ? ? C3 ? . ? ? ? 2? ? 2? 2

3

4分

? 1? (Ⅱ)因为 X 为接下来被邀请的 6 个人中接受挑战的人数,所以 X ~ B ? 6, ? . ? 2?

5分

1 6 3 ?1? ?1? 1?1? ?1? ?? ? ? ? 所以 P ? X ? 0 ? ? C ? ? ? ? ? , P ? X ? 1? ? C6 , ? ? ? 2 ? ? 2 ? 64 ? 2 ? ? 2 ? 64 32
0 6 2?1? P ? X ? 2 ? ? C6 ?2? ? ? 4?1? P ? X ? 4 ? ? C6 ?2? ? ? 2

0

6

5

? 1 ? 15 3?1? ?? ? ? , P ? X ? 3? ? C6 ?2? ? 2 ? 64 ? ?
2

4

3

? 1 ? 20 5 ?? ? ? ? , ? 2 ? 64 16 6 3 ?1? ?? ? ? ? , 2 64 32 ? ?
1

3

4

? 1 ? 15 5?1? ?? ? ? , P ? X ? 5? ? C6 ?2? 2 64 ? ? ? ?
0

5

1 6?1? ?1? P ? X ? 6 ? ? C6 ? 2 ? ? 2 ? ? 64 . ? ? ? ?

6

9分 10 分

故 X 的分布列为:

X
P
所以 E ? X ? ? 6 ?

0

1

2

3

4

5

6

1 64

3 32

15 64

5 16

15 64

3 32

1 64
12 分 1分 3分

1 ? 3 .故所求的期望为 3 . 2

18、 (12 分) (1)由题设可知 A ? 50 , b ? 60 , 又T ?

2?

2 ? 3 ,所以 ? ? ? , ? 3

从而 y ? 50sin( 代入 y ? 50sin(

2? t ? ? ) ? 60 ,再由题设知 t ? 0 时 y ? 10 , 3
5分

2? ? t ? ? ) ? 60 ,得 sin ? ? ?1 ,从而 ? ? ? , 3 2 2? t , (t ? 0) . 3 2? t ? 85 , 3

因此, y ? 60 ? 50 cos

6分

(2)要使点 P 距离地面超过 85 米,则有 y ? 60 ? 50 cos 即 cos

8分

2? 1 2? 2? 2? 4? t ? ? ,又 0 ? t ? 2? , (t ? 0) 解得 ? t? , (t ? 0) , 3 2 3 3 3 3
·8·

即1 ? t ? 2 所以,在摩天轮转动的一圈内,点 P 距离地面超过 85 米的时间有 1 分钟. 19、 (12 分) (1)因为 DP ? 平面 ABCD ,所以 DP ? AC , 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 BD ? AC 又 BD

10 分 12 分 1分 2分

PD ? D,? AC ? 平面PBD.
5分

P E D
x

z

? AC ? DE. 因为 DE ? 平面PBD,
(2)连接 OE, 在 ?PBD 中, EO // PD,

C O B
轴 , y

所以 EO ? 平面 ABCD , 分别以 OA, OB, OE 所在直线为 x

y 轴, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设 PD ? t , 则 A ?1,0,0 ? , B 0, 3,0 , C ? ?1,0,0 ? , E ? 0,0,

A
? ?

?

?

t? ? , P 0, ? 3, t . 2?

?

?

6分

由(1)知,平面 PBD 的一个法向量为 n1 (1,0,0) , 设平面 PAB 的一个法向量为 n( , 2 x, y, z) 则?

? ?n1 ? AB ? 0 ? ?n2 ? AP ? 0

得?

? ?? x ? 3 y ? 0 ? ?? x ? 3 y ? tz ? 0

,令 y ? 1 ,得 n2 ? ? 3,1,

? ? ?

2 3? ?. t ? ?

8分

因为二面角 A ? PB ? D 的余弦值为

15 ,所以 cos n1 , n2 ? 5

3 15 , ? 5 12 4? 2 t
10 分

解得 t ? 2 3 或 t ? ?2 3 (舍去) ,所以 P 0, ? 3, 2 3 设 EC 与平面 PAB 所成的角为 ? .因为 EC ? ?1, 0, ? ∴ sin ? ?| cos EC, n2 |?

?

?

? 3? , n ? ?
2

3,1,1 ,

?

2 3 15 ? 5 2 5
15 . 5
12 分

所以 EC 与平面 PAB 所成角的正弦值为

20、 (13 分) (1)设 an 、 bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量, 依题意知,数列 {an } 是首项为 128 、公比为 1 ? 50% ?
·9·

3 的等比数列; 2

1分

数列 {bn } 是首项为 400 、公差为 a 的等差数列,

2分

3 128[1 ? ( ) n ] 2 ? 256[( 3 )n ? 1] , 所以数列 {an } 的前 n 和 Sn ? 3 2 1? 2
数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? 400n ?

4分

n( n ? 1) a, 2

6分

所以经过 n 年,该市更换的公交车总数

3 n(n ? 1) Fn ? Sn ? Tn ? 256[( ) n ? 1] ? 400n ? a; 2 2
(2)因为 256[( ) ? 1] 、 400n ?
n

7分

3 2

n(n ? 1) a(a ? 0) 是关于 n 的单调递增函数, 9 分 2
10 分 11 分 12 分

因此 Fn 是关于 n 的单调递增函数, 所以满足 a 的最小值应该是 F7 ? 10000 , 即 256[( ) ? 1] ? 400 ? 7 ?
7
*

3 2

3082 7?6 a ? 10000 ,解得 a ? , 21 2

又 a ? N ,所以 a 的最小值为 147.

13 分

21 、 ( 13 分) (Ⅰ)连结 QF ,根据题意, |QP| = |QF| ,则 |QE| + |QF| = |QE| + |QP| = 4 ?| EF |? 2 3 ,故动点 Q 的轨迹 ? 是以 E,F 为焦点,长轴长为 4 的椭圆. 设其方程为 2分

x2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2
3分 4分

可知 a ? 2 , c ? a 2 ? b2 ? 3 ,则 b ? 1 , 所以点 Q 的轨迹 ? 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 4

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 )

由 ? x2

? y ? kx ? m ? 2 2 2 可得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx? 4(m ? 1) ? 0 , 2 ? y ? 1 ? ?4

·10·

8km ? x1 ? x 2 ? ? ? 1 ? 4k 2 由韦达定理有: ? ? 2 ? x1 x 2 ? 4( m ? 1) ? 1 ? 4k 2 ?
2

且 ? ? 16(1 ? 4k 2 ? m 2 ) ? 0

6分

∵ k1 , k , k 2 构成等比数列,? k ? k1k2 = 由韦达定理代入化简得: k ?
2

(kx1 ? m)(kx2 ? m) ,即: km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 0 x1 x2
8分

1 1 .∵ k ? 0 ,? k ? . 4 2

此时 ? ? 16(2 ? m 2 ) ? 0 ,即 m ? (? 2, 2 ) . 又由 A、O、B 三点不共线得 m ? 0 ,从而 m ? (? 2,0) 故S ?

(0, 2) .

1 1 |m| | AB | ?d ? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 2 2 1? k 2 1 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? | m | ? 2 ? m 2 ? | m | 2
10 分

?


x12 x2 2 ? y12 ? 2 ? y2 ?1 4 4

则 S1 ? S 2 ?

?
4

2 2 ? ( x12 ? y12 ? x 2 ? y2 )?

?

3 3 2 ? ( x12 ? x 2 ? 2) 4 4 4
12 分

?

3? ? 5? ? [( x1 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 ] ? ? 为定值. 16 2 4

S1 ? S 2 5? ? ? 4 S ∴

1 2 ? m2 ? | m |



5π 4

∴当且仅当 m ? ?1 时等号成立. 综上:

S1 ? S 2 5π ? ?) . 的取值范围是 [ , S 4
1 ? 2x ? b x

13 分 1分

22、 (13 分)(1)依题意: f ( x) ? ln x ? ax 2 ? bx .∴ f ?( x ) ? ∵ f ( x) 在 (0, ??) 上递增,∴ f ?( x) ? 即b ?

1 ? 2 x ? b ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立, x
3分

1 1 ? 2 x 对 x ? (0, ??) 恒成立,只需 b ? ( ? 2 x ) min . x x

·11·

∵ x ? 0 ,∴

1 2 ? 2 x ? 2 2 ,当且仅当 x ? 时取“=” , x 2

4分 6分 两式相减,得

∴ b ? 2 2 ,∴b 的取值范围为 (??, 2 2] .
2 2 ? ? ? f ( x1 ) ? ln x1 ? ax1 ? bx1 ? ln x1 ? ax1 ? bx1 ?? (2)由已知得 ? 2 2 ? f ( x2 ) ? ln x2 ? ax2 ? bx2 ? ln x2 ? ax2 ? bx2 ? ?

ln

x1 x ? a( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? b( x1 ? x2 ) ? ln 1 ? ( x1 ? x2 )[a( x1 ? x2 ) ? b] . x2 x2

8分

由 f ?( x ) ?

1 ? 2ax ? b 及 2 x0 ? x1 ? x2 ,得 x

f ?( x0 ) ?

x 1 2 2 1 ? 2ax0 ? b ? ? [a( x1 ? x2 ) ? b] ? ? ln 1 x0 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x2
2(

10 分

x1 ? 1) 2( x1 ? x2 ) x1 x2 x 1 1 ? [ ? ln ] ? [ ? ln 1 ] x1 ? x2 x1 ? x2 x2 x1 ? x2 x1 x2 ( ? 1) x2


t?

x1 2t ? 2 , ? (t ) ? ? ln t (0 ? t ? 1) x2 t ?1 .
(t ? 1)2 ?0 t (t ? 1)2 ,∴ ? (t ) 在 (0,1) 上递减,∴ ? (t ) ? ? (1) ? 0 .



? ?(t ) ? ?
2(

x1 ? 1) x2 x 2( x1 ? x2 ) x ? ? ln 1 ? 0 ,即 ? ln 1 ? 0 , x1 x2 x1 ? x2 x2 ?1 x2
又 x1 ? x2 ,? f ?( x0 ) ? 0 .

12 分

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·12·


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