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人教A版必修5第1章《正弦定理和余弦定理》ppt导学课件_图文

人教(A)数学 · 必修5 对点助学PPT 【知识目标】 1、理解正弦定理和余弦定理公 式的推导过程; 正弦定理和余弦定理 【学习目标】 1、会根据正弦定理和余弦定理 解三角形(知三求一) ; 2、会利用正弦定理和余弦定理 进行边角的相互转化. 【要点突破】 例1、 已知一三角形中 a=2 3, b=6, B=60°或 120°. 当 B=120° 时,C=30° ,c=a=2 3. 当 B=60°时,C=90°, A=30°,判断三角形是否有解, 若有解,解该三角形. 【解析】本题考查正弦定理.比较a与bsinA 以 B=60°,C=90°,c=4 3 的大小判断三角形是否有解,利用正弦定理 或 B=120°,C=30°,c=2 3. “知三求一”解三角形. 例 2、已知锐角三角形的三边长分别为 【答案】a=2 3,b=6,a<b, 2,3,x,则 x 的取值范围是 . A=30°<90°. 【解析】本题考查余弦定理.根据大边 又因为 bsin A=6sin 30°=3, 对大角,最大角的余弦是正数进行求 a>bsin A, 解. c= a2+b2=4 3 所以本题有两解,由正弦定理得, bsin A 6sin 30° 3 sin B= = = , a 2 2 3 【答案】x ? 1? x ? 5 ? 2 2 2 ? 3 ? x2 ? 0 满足: ? , ?22 ? x 2 ? 32 ? 0 ? 解得 5 ? x ? 13. 例3、 在△ABC 中,acos A=bcos B, 试确定△ABC 的形状. 【解析】 本题考查正弦定理.利用正弦定 理化边为角.利用倍角公式求角之间的 关系. 【答案】acos A=bcos B S△ACD= 15 3 .求 AB 的长. 2 【解析】本题考查正弦定理、余弦定理及三 角形面积公式.求 AB 的长,利用余弦定理, 只需求出 BC 的长,利用三角形面积公式求 出∠1,在三角形 ABC 中利用正弦定理可求 ACsin∠2 出 BC= =5,从而求得 AB 的长. sin 60° ?2Rsin Acos A=2Rsin Bcos B 1 【答案】在△ACD 中,S△ACD= AC?ADsin∠1, ?sin 2A=sin 2B 2 15 3 ?2A=2B 或 2A+2B=π 2? 2 2S△ACD 5 3 π ∴sin∠1= = = , AC?AD 7?6 14 ?A=B 或 A+B= . 2 5 3 ∴sin∠2= . 14 ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. ACsin∠2 例 4、如图所示,在四边形 ABCD 中,AC 平分 在△ABC 中,BC=sin 60°=5, ∠DAB,∠ABC=60°,AC=7,AD=6, 变形:a=2Rsin A,sin A= ∴AC =AB +BC -2AB?BCcos B, 即 49=AB +25-5AB, 2 2 2 2 2 a , 2R a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C 等. (2)余弦定理:在△ABC 中, ∴AB -5AB-24=0,∴AB=8(AB=-3 舍). a2=b2+c2-2bccos A; 变形:b +c -a =2bccos A, 2 2 2 b2+c2-a2 cos A= . 2bc 【知识归纳】 (1)正弦定理:在△ABC 中, 1 (3)三角形面积公式:S= acsin B 2 1 1 = bcsin A= absin C 2 2 (4)判断三角形的形状,最终目的是判断 三角形是否是特殊三角形,当所给条件 含有边和角时,应利用正弦定理将条件 a sin A = = =2R sin B sin C b c (R 为△ABC 的外接圆半径). 统一为“边”之间的关系式或“角” 【答案】由正弦定理 a = b sin A sin B 之间的关系式. 3 1 1 可得 = ,∴sin B= , sin 60° sin B 2 【对点巩固】 故∠B=30°或 150°.由 a>b, 1、在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别得∠A>∠B,∴∠B=30°,故∠C=90°, 为 a、b、c,已知 A=60°,a= 3,b=1, 由勾股定理得 c=2.故选 B. 则 c 等于 ( A .1 B .2 ) C. 3-1 D. 3 2、在△ABC 中,∠A=60°,a=4 3, b=4 2,则∠B 等于 . 【解析】本题考查正弦定理 . 在三角形中【解析】本题考查正弦定理.由正弦定理, 需要考虑大边对大角,三个内角的和不能得 sin B= 2, 2 0 超过 180 .利用正弦定理求得∠B,根据大 ∵a>b,∴∠A>∠B. 边对大角,故∠B =30°,勾股定理求得 ∴∠B 只有一解.∴∠B=45°. c. 【答案】45°. 3、在△ABC 中,acos A+bcos B=ccos C,展开整理得(a2-b2)2=c4. 试判断三角形的形状. ∴a -b =±c ,即 a =b +c 2 2 2 2 2 2 【解析】本题考查余弦定理.利用余弦定理角或 b2=a2+c2. 化边,通分化简整理得三边间的关系. 【答案】由余弦定理知 b2+c2-a2 c2+a2-b2 cos A= ,cos B= , 2bc 2ca a2+b2-c2 cos C= , 2ab 代入已知条件得 b2+c2-a2 c2+a2-b2 a? +b? 2bc 2ca c2-a2-b2 +c? =0, 2ab 通分得 a (b +c -a )+b (a +c -b ) +c (c -a -b )=0, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形. 4、 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acosC+ 3asinC-b-c =0. (1)求 A; (2)若 a=2

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