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高考一轮复习函数测试题

数学第一轮《集合与函数》过关试题

时间

120 分钟

总分

150 分

2011-2012 学年高三第一次数学月考试题
高三理科______班 座号_________姓名_____________成绩 一、选择题 1、若函数 y ? loga ( x ? b)(a ? 0, a ? 1) 的图象过两点(-1,0)和(0,1),则 A a=2,b=2 B a= 2 ,b=2 C a=2,b=1 D a= 2 ,b= 2 2、设 f ?x? ? 3 x ? 3x ? 8 ,用二分法求方程 3 x ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内近似解的过程中 得 f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程的根落在区间 A (1,1.25)
2 3
3 2

B (1.25,1.5)
3

C (1.5,2)

D

不能确定

3、若 a ? ( ) x , b ? x , c ? log 2 x ,当 x >1 时, a, b, c 的大小关系是 A. a ? b ? c B. c ? a ? b C. c ? b ? a D. a ? c ? b

4、若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 [a,2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a =

A

2 4
a?0
2

B

2 2
a?0
C

C

1 4
a ? ?1

D

1 2
a ?1

5、一元二次方程 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0,(a ? 0) 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是: A 项 中正确的是 A C B
x

D

6、f ( x) ? x , g ( x) ? 2 , h( x) ? log2 x ,当 x ? (4,??) 时,三个函数增长速度比较,下列选

f ( x ) > g ( x ) > h( x ) g ( x ) > h( x ) > f ( x )
x

B D

g ( x ) > f ( x ) > h( x ) f ( x ) > h( x ) > g ( x )
与 y=e 的图象关于坐标原点对称. -x 与 y=e 的图象关于坐标原点对称.
x

7、函数 y=-e 的图象 x A 与 y=e 的图象关于 y 轴对称. -x C 与 y=e 的图象关于 y 轴对称. 8、图中三条对数函数图象,若 a
x1

B D

? b x2 ? c x3 ? 1 ,则 x1 , x2 , x3 的大小关系是

A

x1 ? x2 ? x3

B

x3 ? x2 ? x1

C

x3 ? x1 ? x2

D

x2 ? x1 ? x3

9、从任何一个正整数 n 出发,若 n 是偶数就除以 2,若 n 是奇数就乘 3 再加 1,如此继续下 去?,现在你从正整数 3 出发,按以上的操作,你最终得到的数不可能是

数学第一轮《集合与函数》过关试题 A 1 B 2

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3

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4

10、为了稳定市场,确保农民增收,某农产品的市场收购价格 a 与其前三个月的市场收购价 格有关,且使 a 与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小.若下表列出的是该产品前 6 个月的市场收购价格: 月份 价格(元/担) 1 68 2 78 3 67 4 71 5 72 6 70 7

则 7 月份该产品的市场收购价格应为 A 69 元 B 70 元
x

C

71 元

D

72 元

11、正实数 x1 , x2 及函数 f ( x ) 满足 4 ? 最小值为 A 4 B 2

1 ? f ( x) ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ,则 f ( x1 ? x2 ) 的 1 ? f ( x)
4 5 1 4

C

D

12、下列说法不正确的是 A 函数 y ?

a x ? a?x (a ? 0, a ? 1) 是奇函数 2 (a x ? 1) x (a ? 0, a ? 1) 是偶函数 a x ?1

B

函数 f ( x) ?

C D

若 f ( x) ? 3x ,则 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 若 f ( x) ? a
x

x ?x 1 (a ? 0, a ? 1) ,且 x1 ? x2 ,则 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? f ( 1 2 ) 2 2

二、填空题 13、已知 a ? 0 ,且 10x ? lg(10a) ? lg a ?1 ,则 x =_____________. 14、 “不等式 x 的绝对值小于 a 成立”的一个充分条件为 “0<x<1” ,则 a 的取值范围为 _________ 15、函数 f ( x) ? 2 x ? log2 x ? 2x ? 6 的零点有 16、设函数 f ( x) ? ? 选择题答题卡 题号 答案 三、解答题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 个.

? x( x ? 0) 2 ,则不等式 x ? f ( x) x ? 2 ? 0 的解集是 ?? x( x ? 0)

.

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? 1 x ?( 2 ) (?1 ? x ? 0) ? 1 ? 17、设 f ( x) ? ? x 2 (0 ? x ? 1) ,在同一坐标系中作出函数 y ? f (1 ? x) 的图象. ? x ?log2 (1 ? x ? 2) ? ?
18、设 f ( x) 是定义在[-1,1]上的奇函数,且其图象上任意两点连线的斜率均小于零. (1)证明 f ( x) 在[-1,1]上是减函数; (2)如果 f ( x ? c), f ( x ? c 2 ) 的定义域的交集为空集,求实数 c 的取值范围; (3)证明:若 ? 1 ? c ? 2 ,则 f ( x ? c), f ( x ? c 2 ) 存在公共的定义域,并求出这个公共 的定义域.

19、已知常数 a ? 1 , 变数 x、y 有关系 3 logx a ? loga x ? logx y ? 3 .

( t ? 0 ) , 试以 a、t 表示 y ; (2)若 t 在 [1, ? ?) 内变化时, y 有最小值 8, 求此时 a 和 x 的值各为多少?
t

(1)若 x ? a

20、已知函数 f ( x) ? x ?k (1)求 k 的值;

2

?k ?2

?k ? Z ? ,且 f (2) ?

f (3)

(2)试判断是否存在正数 p ,使函数 g ( x) ? 1 ? p ? f ( x) ? ?2 p ? 1?x 在区间 ?? 1,2? 上的 值域为 ? ? 4,

? ?

17 ? .若存在,求出这个 p 的值;若不存在,说明理由. 8? ?

21、某省两相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一 列火车作为交通车,已知该车每次拖 4 节车厢,一日能来回 16 次,如果每次拖 7 节车 厢,则每日能来回 10 次,每日来回的次数是车头每次拖挂车厢个数的一次函数,每节 车厢能载乘客 110 人. 问这列火车每天来回多少次,每次应拖挂多少车厢才能使运营人 数最多?并求出每天最多运营人数.

22、 已知二次函数 y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数 y=f2(x)的图象与直 线 y=x 的两个交点间距离为 8,f(x)= f1(x)+ f2(x). (1)求函数 f(x)的表达式; (2)证明:当 a>3 时,关于 x 的方程 f(x)= f(a)有三个实数解.

数学第一轮《集合与函数》过关试题 参考答案 1-12 ABBAC BDBCC CD 13、0 14、12 15 a>= 1 16

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(??,1]

17 略

18、解: (1)由已知对任意的 x1 、 x2 ? [?1,1] ,且 x1 ? x 2 ,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,从而 x1 ? x2

x1 ? x2 与 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 异号,所以 f ( x) 在[-1,1]上是减函数. (2)因为 f ( x ? c) 的定义域是 [c ? 1, c ? 1] , f ( x ? c 2 ) 的定义域是 [c 2 ? 1, c 2 ? 1] , 2 2 因为以上两个集合的交集为空集,所以 c ? 1 ? c ? 1或c ? 1 ? c ? 1 解得: c ? 2或c ? ?1 2 (3)因为 c ? 1 ? c ? 1 恒成立,有(2)问可知:当 ? 1 ? c ? 2 时, f ( x ? c), f ( x ? c 2 )
存在公共的定义域. 若 c ? 1 ? c ? 1,即 1 ? c ? 2或 ? 1 ? c ? 0 时, c 2 ? 1 ? c ? 1, c 2 ? 1 ? c ? 1,此
2

时的交 集是 [c ? 1, c ? 1] ;
2 2 2 2 若 0 ? c ? 1 ,则 c ? 1 ? c ? 1, c ? 1 ? c ? 1,此时的交集是 [c ? 1, c ? 1]

19、解:(1) ? x ? a ,? 3 log a t a ? log a a ? log a t y ? 3 ?
t t

3 1 ? t ? log a y ? 3. t t
3 2

? loga y ? t 2 ? 3t ? 3 ? y ? a t
(2)
3

2

?3 t ? 3

(t ? 0) .
?t ?
时 ,

y?a

3 3 ( t ? )2 ? 2 4

?t ?

3 ? [1, ? ?) 2

y min ? 8 ? a 4 ? 8 ? 23 ? a ? 16
3

x ? 16 2 ? 64.
20、解: (1)∵ f (2) ? f (3) ,∴ ? k ? k ? 2 ? 0 ,即 k ? k ? 2 ? 0 ,
2 2

∵ k ? Z ,∴ k ? 0或1 (2) f ( x) ? x ,
2

g ( x) ? 1 ? p ? x

2

? 2 p ?1? ? ? ?2 p ? 1?x ? ? p? ?x ? ? ?


4 p2 ?1 ? 2p ? 4p
时 ,

2



2 p ?1 ? ?? 1,2? 2p



?1 ? p ? ? ,?? ? ?4 ?

4 p 2 ? 1 17 ? , p ? 2, g (?1) ? ?4, g (2) ? ?1 4p 8


2 p ?1 ? ?2,?? ? 时,∵ p ? 0 ,∴这样的 p 不存在。 2p
17 2 p ?1 ? 1? ? ?? ?,?1? ,即 p ? ? 0, ? 时, g (?1) ? , g (2) ? ?4 ,这样的 p 不存在。 8 2p ? 4?



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综上得,

p?2 .

21、解:设每日来回 y 次,每次挂 x 节车厢,由题意 y ? kx ? b 当 x=4 时 y=16 当 x=7 时 y=10 得下列方程组: 16=4k+b 10=7k+b 解得:k= ? 2 b=24

? y ? ?2 x ? 24

由题意知,每日挂车厢最多时,营运人数最多,设每日营运 S 节车厢 则 S ? xy ? x(?2x ? 24) ? ?2x 2 ? 24x ? ?2( x ? 6) 2 ? 72 所以当 x ? 6 时, S max ? 72 此时 y=12 则每日最多运营人数为 110×6×12=7920(人) 22、(Ⅰ)由已知,设 f1(x)=ax ,由 f1(1)=1,得 a=1, ∴f1(x)= x .设 f2(x)= 与直线 y=x 的交点分别为 A( k , k ),B(- k ,- k )
2 2

k (k>0),它的图象 x

8 2 8 .故 f(x)=x + . x x 2 8 2 8 (Ⅱ) (证法一)f(x)=f(a),得 x + =a + , x a 8 8 2 2 8 即 =-x +a + .在同一坐标系内作出 f2(x)= 和 x a x 8 2 2 f3(x)= -x +a + 的大致图象,其中 f2(x)的图象是以坐 a
由 AB =8,得 k=8,. ∴f2(x)= 标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)与的图象是以(0, a +
2

8 )为顶点,开口 a

向下的抛物线.因此, f2(x)与 f3(x)的图象在第三象限有一个交点,即 f(x)=f(a)有一个负数 解.又∵f2(2)=4, f3(2)= -4+a +
2

8 2 8 ,当 a>3 时,. f3(2)-f2(2)= a + -8>0,当 a>3 时,在 a a

第一象限 f3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在 f2(x)图象的上方.f2(x)与 f3(x)的图象在第一 象限有两个交点,即 f(x)=f(a)有两个正数解.因此,方程 f(x)=f(a)有三个实数解. (证法二)由 f(x)=f(a),得 x +
2

8 2 8 8 =a + ,即(x-a)(x+a- )=0,得方程的一个解 x1=a.方 x a ax

8 ? a 2 ? a 4 ? 32a 2 2 4 程 x+a - =0 化 为 ax +a x - 8=0, 由 a>3, △ =a +32a>0, 得 x2= , ax 2a
x3=

? a 2 ? a 4 ? 32a ? a 2 ? a 4 ? 32a ,x2<0, x3>0, ∵x1≠ x2,且 x2≠ x3.若 x1= x3,即 a= , 2a 2a
2 4

则 3a = a 4 ? 32a , a =4a,得 a=0 或 a= 3 4 ,这与 a>3 矛盾,∴x1≠ x3.故原方程 f(x)=f(a) 有三个实数解.


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