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2.1.2_空间两条直线之间的位置关系好_图文

平面的基本性质 公理1

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内.

平面经过这条直线 集合符号表示

A .

B .

α

A ? l , B ? l , 且A ?? , B ?? ? l ? ?
作用:为判断直线与平面的位置关系提供依据

平面的基本性质 公理2

公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个 平面.
“不共线的三点确定一个平面”

集合符号表示

?

. A . B . C

已知A、B、C三点不共线,则存在惟一平 面?,使得A、B、C?? 作用:判断几个点共面或直线在同一个平面内

公理2推论
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且 只有一个平面。 ? 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面 。 ? 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面 。
?

平面的基本性质 公理3

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

P ?? , 且P ? ? ? ? ? ? ? l , 且P ? l

?
P
l

作用:判断两个平面位 置关系的基本依据

?

判断下列命题对错: 1.如果一条直线上有一个点在一个平面上,则这 条直线上的所有点都在这个平面内。( ? ) 2.将书的一角接触课桌面,这时书所在平面和课 桌所在平面只有一个公共点。 (?) 3.四个点中如果有三个点在同一条直线上,那么 这四个点必在同一个平面内。 (? ) 4.一条直线和一个点可以确定一个平面。( ? ) 5.如果一条直线和另两条直线都相交,那么这三 条直线可以确定一个平面。 ( ?)

温故知新

观察实例
复习:平面内两条直线的位置关系 相交直线 平行直线

a o b

a b
平行直线 (无公共点)

相交直线 (有一个公共点)

D
B

A
两路相交

C

立交桥

立交桥中, 两条路线AB, CD

既不平行,又不相交

两条直线的位置关系
思考1:同一平面内两条直线有几种位置关系? 空间中的两条直线呢?

b
C

a

1)教室内日光灯管所在直线与黑板左右两 侧所在直线的位置关系如何?

2)天安门广场上,旗杆所在直线与长安 街所在直线的位置关系如何?

两条直线的位置关系
观察

如图, 长方体ABCD-A′B′C′D′中,线段 A′B所在直线分别与线段CD′所在直线,线段 BC所在直线,线段CD所在直线的位置关系如何?
D' A' B' C'

D A
B

C

1.异面直线的定义

不同在任何一个平面内的两 条直线叫做异面直线。
位置关系 公共点个数 是否共面

相交

只有一个 没有

共面 共面

平行
异面

没有

不共面

空间两条直线的位置关系
a

1、平行
a

b

没有公共点
只有一个公共点

2、相交
α

A

b

a?b ? A
a A b

3、异面
α

没有公共点

2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现

b a
(1)

它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.

A

?

如图:

a

?
?
b
(3)

a

?

b
(2)

思考
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
答:不一定:它们可能异面,可能相交,也可能平行。

b
a

a

M

b

a

b

?

?

?

?

?

?

a与b是异面直线

a与b是相交直线

a与b是平行直线

空间直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 按是否在 同一平面内分 平行直线

不同在任何一个平面内: 异面直线 有一个公共点: 相交直线 按公共点个数分 无公共点 平行直线 异面直线

3.异面直线的判定方法: (1)定义法:由定义判定两直线不可能在 同一平面内.(借助反证法) (2)判定定理:过平面外一点与平面内一点 的直线,和平面内不经过该点的直线是异 面直线

·
A

a 已知:

? ? , A ?? , B ?? , B ? a

?

a

B

求证: 直线AB和a是异面直线

两条直线的位置关系
问题 关于异面直线的定义,你认为下列哪个说法 最合适?

A. B. C. D. E.

空间中既不平行又不相交的两条直线; 平面内的一条直线和这平面外的一条直线; 分别在不同平面内的两条直线; 不在同一个平面内的两条直线; 不同在任何一个平面内的两条直线.

练习:判断下列说法的对错 1、分别在两个平面内的两条直线一定是
异面直线; F F 2、a ? ? , b ? ? , 则a、b一定异面; 3、a与b是异面直线,b与c是异面直线,则 a与c是异面直线; F 4、a与b是共面,b与c是共面,则a与c共面 F

(1)在如图所示的正方体中,指出哪些 棱所在的直线与直线BA1是异面直线?
D1 A1 B1 C1

D A

C

B

⑵已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1 上的点,那么MN与AB所在的直线相交吗?
D1
A1

M
B1

C1
N

D A
B

C

探究 如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原

为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线 是异面直线的有多少对?
C G D
H E F E 直线EF 和直线HG 直线AB 和直线CD A A H B F D

B

G
C

答:3对

直线AB 和直线HG

平行直线
观察

如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′中, BB′∥AA′,DD′∥AA′,那么BB′与DD′平行 吗 ? D'
C'

A'
D A 答:平行

B'

C B

平行直线 二、空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性

公理4 平行于同一直线的两直线互相平行
若a∥b,b∥c, 则a∥c
空间中的平行线具有传递性
c
a

a α

b

c

平行直线
问题

已知三条直线两两平行,任取两条直线能确 定一个平面,问这三条直线能确定几个平面?
D C

F

D
A C E
三条平行线不共面

F

B

E

A

B

三条平行线共面

平行公理 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.

a//b ? 即:a、b、c为直线,则 ? ? a // c c//b ? 注:
1.直线a,b,c 两两平行,可记为a // b // c . 2.公理4所表述的性质,叫做空间平行线的传递性. 3.证明空间两直线平行 的方法:
(1) 定义法:一要证两直线在同一平面内;二要证 两直线没有公共点(反证法) (2) 公理法

例2 如图,空间四边行ABCD中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边 A 形EFGH是平行四边形.
证明: 连结BD

∵ EH是△ABD的中位线 1 E ∴EH ∥BD且EH = 2 BD D 1 同理,FG ∥BD且FG = BD 2 G ∴EH ∥FG且EH =FG C F ∴EFGH是一个平行四边形 B 立体问题平面化是解立体几何时最主要、最 常用的一种方法。 变式:如果再加上条件AC=BD,那么四边形 EFGH是什么图形?

H

探究 在上例中,如果再加上条件AC=BD,那么四 边形EFGH 是什么图形? 答:四边形EFGH是菱形 A H

1 1 因为EF ? AC, EH ? BD 2 2 且AC ? BD 所以EF ? EH 所以平行四边形 EFGH是菱形
B

E
D F G C

跟综练习: 1 、已知空间四边形ABCD,E、H分别是 边AB、AD的中点,F、G分别是边CB、 CF CG 2 CD上的点,且 = = ,求证:四 CB CD 3 边形EFGH是梯形
A H E D G

B

C

证明:如图,连接 BD ∵EH 是△ABD 的中位线,
1 ∴EH//BD,EH= 2 BD.
E

H

D

G

CF CG 2 ? ? 又在△BCD 中, CB CD 3 ,
2 ∴FG//BD,FG= 3 BD.

B

F

根据公理 4 ,EH//FG 又 FG >EH, ∴四边形 EFGH 的一组对边平行但不相等
∴四边形EFGH是梯形

练习 2. 在一块长方体形状木块的面 AC 上有一点 P , 过点P画一条直线和棱C 1D1平行,说明应该怎么画. 解: 如图(1)在平面ABCD上过点P作直线 MN∥CD,分别交AD,BC于M、N, 则由公理4得,MN∥C 1D1. D
M

C P
N

A

D 1

B B1

C1

A1 图(1)

等角定理

看一看: 平面上一个 角两边与另 外一个角两 边分别对应 平行,那么这 两个角相等 或互补

3

1

2

思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行 四边形,∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′ 的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何 ? C' C' B' B' A' A' D' D' C C B B

D

A
∠ADC=∠A′D′C′

D

A

∠ADC+∠B′A′D′=1800

等角定理
定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行,那么这两个角相等或互补.
AC // A?C?, ? AB // A?B?
C
C

? A
C?

B

? A

B
C?

?

A?

B?

?

B?

A?

等角定理推论:空间中如果两个角的两边 分别对应平行且方向相同,那么这两个角相等.

思考3

如图,在空间中AB// A′B′,AC// A′C′, 你能证明∠BAC与∠B′A′C′ 相等吗?

E? A? E D? C

C?

B?

A

D

B

等角定理
等角定理1:如果一个角的两边和另 一个角的两边分别对应平行,那么这 两个角相等或互补.
D
A B

E

C

A1

D1 E1 C1

B1

推论:如果一个角的两边和另一个角的两边 分别平行且方向相同,那么这两个角相等.

平面内两条直线的夹角:

相交直线构成的四个角中小于 0 或等于90 的角。

l2

l1

思考:异面直线不相交,那他们会不 会有夹角呢?

4.两条异面直线所成的角
在空间中任选一点 任选 O, 如图所示,a,b是两条异面直线,
过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′, b a′ ? O P a 则这两条线所成 b′ θ a′ 的锐角θ (或直角), 称为异面直线a,b所成的角.

平 移
O

若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b.

异面直线所成角的定义
b bˊ a aˊ

?

o

设a、b为两异面直线,在空间任选一 点O,过O点分别作直线 a? // a, b? // b ,我们 把 a?与b?所成的锐角(或直角)叫做异面 直线a与b所成的角(或夹角).

O点的取法:
一般来说,点O常取在两条异面 直线中的一条上。
b a b O

a1
a

返回

特别:夹角为直角称为两异面直线 垂直.记作 a ? b

a ? b 考一考: 在空间中可如何表示?
a a b b

相交

异面

注1:异面直线a、b所成角,只与a、b的相互位置有关, 而与点O位置无关.一般常把点O取在直线a或b上.

注2:异面直线所成角的取值范围: 0? ? ? ? 90? 注3:求异面直线所所成角的步骤: 一作、二证、三求解
O a’ b

选点 平移 定角 计算

α

a

异面直线所成的角
探究 (1)在长方体ABCD ? A?B?C ?D?中,有没有两条棱 所在的直线是相互垂直的异面直线? 如: AD与BB?, A?D?与BB? 等.
D?

C?
B? C

(2)如果两条平行直线中的 D 一条与某一条直线垂直,那么, 另一条直线是否也与这条直线 A B 垂直? 垂直 (3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?

A?

不一定,如上图的立方体中 AB ? BB?, BC ? BB?, 直线AB与BC相交,

异面直线所成的角
例3 已知正方体 ABCD ? A?B?C ?D? . (1)哪些棱所在直线与直线 BA? 是异面直线? (2)直线BA? 和CC ? 的夹角是多少? (3)哪些棱所在的直线与直线 AA? 垂直? 解:(1)由异面直线的定义可知, D? C? 棱 AD, ? A? DC , ? C C?, ? D D?, D?C?, ?B?C? 所在 B? 的直线分别与直线 BA?是异面直线. D C ?B?BA? 为 (2)由 BB? // CC ? 可知, A B ?B?BA? ? 45?, 异面直线 BA? 与 CC ?的夹角, 所以 BA? 与 CC ? 的夹角为 45? . BC , ? CD , ? DA , ?A?B?, ?B?C?, ?C?D?, ?D?A? (3)直线 AB, ? 分别与直线 AA? 垂直.

异面直线所成的角的求法:
(1)通过直线平移,作出异面直线所成的角,把空间 问题转化为平面问题。(取点,平移,作角)

(2)利用平面几何知识,求出异面直线所成角的大小。
(构建与所作角有关的三角形,求角的大小) (3)作结论.(异面直线所成的角不大于90°)

一作(找)二证三求

练习 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,指 出下列各对线段所成的角:
1)AB与CC1; 2)A1 B1与AC; 3)A1B与D1B1。 A
D1
1

C1 B1

1)AB与CC1所成的角 9 0° 2)A1 B1与AC所成的角4 5° A 3)A1B与D1B1所成的角 6 0°

D B

C

练习:1、求直线AD1与B1C所成的夹角; 2、与直线BB1垂直的棱有多少条?

D1

C1
B1

1)直线AD1与B1C所成的夹角

A1

9 0°
2)与棱BB1垂直的棱有: 相交: A1B1、AB、B1C1、BC、
A D1 A1

D B

C

异面: A1D1、 AD、 D1C1、 DC、

C1 B1

垂直

相交垂直
异面垂直
A D B C

练习1:判断下图正方体中每对异面直线 所成的角是多少? 45° 1. A1B与D1C1 45 ° 2. A1B与C1C 45° 3. A1B与CD 90° D1 C 1 4. A1B与C1D
A1 B1 D A B C

5. A1B与B1D1

60°

6. B1B与AD
7. A1B与B1C

90° 60°

练习2:如图,在正方体中,与A1B成 45 °角的棱有( D )条
A、2
D1 A1

B、 3
C1 B1

C、6

D、 8

D A B

C

练习3:如图,在长方体中,AB = AD = 2 3

AA1=2,试求:
1、BC与A1C1所成角大小? 2、 AA1和BC所成角的大小?
D1
1

C1

A

B1 D C B

A

练习4:设点P是直线l外一点,过P与l 成30°角的异面直线有( A )
A、无数条 C、至多有两条 B、两条 D、一条

练习5:在四面体ABCD中,AD=BC, 且AD⊥BC,EF分别为AB、CD的中 点,则EF与BC所成角为多少度? A E B 45°

D F

C

思考题: 1、a与b是异面直线,且c∥a,则c与b一定( )。 (A)异面 (B)相交 (C)平行 (D)不平行 2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面 直线的对数是( )对。 ( A) 6 ( B) 3 (C)8 (D)12 3、一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以 确定( )平面。 (A)一个 (B)两个 (C)三个 (D)四个

D

A

B

4.空间两直线平行是指它们( ) A.无交点 B.共面且无交点 C.和同一条直线垂直 D.以上都不对 5.在空间,如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行,则这两个角( ) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.既不相等也不互补

B

C

练习6:已知异面直线a,b所成角为 50°,P为空间一点,则过P点与a,b 所成角都是30 °直线有几条?

2条

练习1 在如图所示的长方体中,AB= 3 ,且 AA1=1,求直线BA1和CD所成角的度数.

D1

C1

A1

B1

D
A

C

B

30

O

练习2
如图,在四面体ABCD中,E,F分别是棱AD, BC上的点,且 EF ? 3 , 求异面直线AB和CD所成的角. A E
AE BF 1 ? ? ,已知AB=CD=3, ED FC 2

D
B F C

本节小结
基本知识 (1)空间直线的三种位置关系.
(2)平行线的传递性. (3)等角定理. (4)异面直线所成的角.

基本方法 把空间中问题通过平移转化为平面问题.

两条直线的位置关系

空间中的直线与直线之间有三种位置关系:
相交直线: 同一平面内,有且只有一 个公共点; 平行直线: 同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点

共面直线

平行直线 二、空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性

公理4 平行于同一直线的两直线互相平行
若a∥b,b∥c, 则a∥c
空间中的平行线具有传递性
c
a

a α

b

c

等角定理
定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行,那么这两个角相等或互补.
AC // A?C?, ? AB // A?B?
C
C

? A
C?

B

? A

B
C?

?

A?

B?

?

B?

A?

等角定理:空间中如果两个角的两边分别 对应平行且方向相同,那么这两个角相等.

异面直线所成的角的求法:
(1)通过直线平移,作出异面直线所成的角,把空间 问题转化为平面问题。(取点,平移,作角)

(2)利用平面几何知识,求出异面直线所成角的大小。
(构建与所作角有关的三角形,求角的大小) (3)作结论.(异面直线所成的角不大于90°)

一作(找)二证三求

平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
如果a//b,b//c,那么a//c 空间中的平行线具有传递性 C F D F

D
A C

B

E

A

B

三条平行线共面

E 三条平行线不共面

空间中角的两边平行是否也有以上结论 请看图: D C
A B

D1

c1
B1

A1

?ADC ? ?A1D1C1
0

看图得出:

?ADC ? ?D1 A1B1 ? 180
定理: 空间中如果两个角的两边分别 对应平行,那么这两个角相等或互补.

小结:
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线. 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 辅助平面衬托法 平移,转化为相交直线所成的角

公理4: 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理: 空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 异面直线的求法: 一作(找)、二证、三求解

典例剖析
例2 如图,在长方体中,已知AA1=AD=a, AB= 3 a,求AB1与BC1所成的角的余弦值.

D1
A1

C1 B1 a

D
A

C

3a

B

a

典例剖析
例1 如图表示一个正方体: (1)求直线BA1与CC1的夹角的度数. (2)哪些棱所在的直线与直线AA1垂直?

D1 A1 D B1

C1

C
B

A

典例赏析

作业:
1.阅读教材第44页至第47页; 2.在课本上完成: 习题2.1 A组 3,4,5,7,8题; B组1 3.书面作业: 习题2.1 A组5,6;补充作业:(见下页)

补充作业

高一(9)
座位号
5 19

姓名
蔡梓凯 王浩龙

数学
104 104

座位号
17 29

姓名
许雨婷 陈炜聪

数学
82 78

48
54 34 41 90-150 6 40-49 5

黄海漫
苏家文 许柏桦 何佳锋 80-89 1 30-39 11 70-79

104
98 96 93 60-69 4 20-29 6

45
43 26

祝孟杰
曾佳玉 陈希颖

77
75 72

50-59 12 10--19 3 6 0-9 1

平均分 51.90909

高一(10)
座位号 18 32 24 31 46 57 姓名 黄家敏 黄宏林 徐望远 黄浩楠 黄晓暖 张壁弘 数学 136 117 104 103 101 100 座位号 4 20 26 13 15 19 姓名 黄小莉 林铭周 黄珠玲 黄培平 黄晓如 陈勤伟 数学 81 80 77 75 75 75

23
90-150 7 40-49 8

高衔
80-89 2 30-39 10 70-79

95
60-69 4 20-29 8 5 10--19 3 50-59 8 0-9 2 平均分 50.8

90-150

80-89

平均分

70-79
4 10班 7 2 4 9班 6 1

60-69

50-59

5

8

50.8

12

6

51.90909

40-49

30-39

20-29 8

10--19

0-9

10班

8

10 6

3

2

9班

5

11

3

1


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必修二2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系_图文.ppt
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