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【高考状元】数学错题本:第3章函数易错题含解析

我的高考数学错题本 第 3 章 函数易错题 易错点 1 求函数定义域时条件考虑不充分 【例 1】 求函数 y ? 1 3 ? 2x ? x 2 2 ? ( x ? 1) 0 的定义域. 【错解】由题意得 3 ? 2 x ? x ? 0 ,解得 ?3 ? x ? 1 ,所以原函数的定义域为 [?3,1] . 【错因】忽视分母不为零;误以为 ( x ? 1) =1 对任意实数成立.在求函数的定义域时应注意以下几点①分式的 分母不为零;②偶次根式被开方式非负;③对数的真数大于零;④零的零次幂没有意义;⑤函数的定义域是非 空的数集. 【正解】由题意得 ? 0 ?3 ? 2 x ? x 2 ? 0 ?x ?1 ? 0 ,解得 ? ? ?3 ? x ? 1 ,所以原函数的定义域为 ? ?3, ?1? ? ? ?1,1? . ? x ? ?1 【纠错训练】 (2015 湖北高考)函数 f ( x) ? 4? | x | ? lg A. (2, 3) B. (2, 4] x2 ? 5x ? 6 的定义域为( ) x?3 C. (2, 3) ? (3, 4] D. (?1, 3) ? (3, 6] x2 ? 5x ? 6 ? 0 ,解之得 x?3 【解析】由函数 y ? f ( x ) 的表达式可知,函数 f ( x) 的定义域应满足条件: 4? | x |? 0 , ?2 ? x ? 2, x ? 2, x ? 3 ,即函数 f ( x) 的定义域为 (2, 3) ? (3, 4] ,故应选 C . 易错点 2 求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域” 2 【例 2】 已知函数 f ? x ? ? log3 x ? 2, x ? ?1,9? ,求函数 y ? ? f ? x ?? ? f x 2 的值域. 【错解】设 t ? log 3 x ,? x ? ?1,9? ,? t ? ? 0, 2? ,? y ? t ? 6t ? 6 ,? t ? ? 0, 2? ,?函数的值域是 ? 6, 22? . 2 ? ? 【错因】求函数 y ? ? f ? x ?? ? f x 2 定义域时,应考虑 ? 2 ? ? ?1? x ? 9 . 2 ?1 ? x ? 9 2 【正解】因为 f ? x ? 的定义域为 ?1,9? , ? ?1 ? x ? 9 ?1 ? x ? 9 2 2 ,解得 y ? ? f ? x ?? ? f x 2 的定义域为 [1,3] , 2 ? ? 设 t ? log 3 x ,? x ? ?1,3? ,? t ? ? 0,1? ,? y ? t ? 6t ? 6 ,? t ? ? 0,1? ,? 函数 y ? ? f ? x ?? ? f x 2 的值域为 ? ? ?6,13? . 【纠错训练】奇函数 f ( x ) )是定义在 ( ?1,1) 上的减函数,且 f (1 ? a ) ? f (2a ? 1) ? 0 ,求实数的取值范围. 【解析】由 f (1 ? a ) ? f (2a ? 1) ? 0 ,得 f (1 ? a ) ? ? f (2a ? 1) ∵ f ( x ) 是奇函数,∴ f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,∴ f (1 ? a ) ? f (1 ? 2a ) ? ?1 ? 1 ? a ? 1 ? 又∵ f ( x ) 是定义在 ( ?1,1) 上的减函数,∴ ? ?1 ? 1 ? 2a ? 1 ,解得 0 ? a ? 1 . ?1 ? a ? 1 ? 2a ? 即所求实数的取值范围是 0 ? a ? 1 . 易错点 3 判断函数奇偶性时忽视定义域 【例 3】 判断函数 f ( x) ? (1 ? x) 1? x 的奇偶性. 1? x 【错解】∵ f ( x) ? (1 ? x) 1? x 1? x (1 ? x) 2 ? 1 ? x 2 = 1? x 1? x 2 2 ∴ f (? x) ? 1 ? (? x) ? 1 ? x ? f ( x) ∴ f ( x) ? (1 ? x) 1? x 是偶函数 1? x 【错因】对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是: 函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件. 【正解】 f ( x) ? (1 ? x) 1? x 1? x 有意义时必须满足 ? 0 ? ?1 ? x ? 1 即函数的定义域是{| ?1 ? x ? 1 }, 1? x 1? x 由于定义域不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 【纠错训练】 (2015 高考北京,文 3)下列函数中为偶函数的是( A. y ? x sin x 2 ) D. y ? 2 ?x B. y ? x cos x 2 C. y ? ln x 【解析】根据偶函数的定义 f ( ? x ) ? f ( x ) ,A 选项为奇函数,B 选项为偶函数,C 选项定义域为 (0, ??) 不具有 奇偶性,D 选项既不是奇函数,也不是偶函数,故选 B. 【知识点归类点拔】 (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件,因此在判断函数的奇偶性时一定要 先研究函数的定义域。 (2)函数 f ? x ? 具有奇偶性,则 f ? x ? ? f ? ? x ? 或 f ? x ? ? ? f ? ? x ? 是对定义域内 x 的恒等式。常常利用这一点求解函数 中字母参数的值。 易错点 4 【例 4】 求复合函数单调区间时忽视定义域 函数 y ? log 0.5 (4 ? 3 x ? x ) 的单调递增区间是______________. 2 2 【错解一】∵外层函数为减函数,内层函数 u ? 4 ? 3 x ? x 减区间为 [ , ??) ,∴原函数增区间为 [ , ??)

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