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广东省深圳市2013年高考数学一模试卷(理科)


广东省深圳市 2013 年高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.在每 小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2013?深圳一模)化简 sin2013°的结果是( A.sin33° B.cos33° C.﹣sin33° )

D.﹣cos33°

考 点: 专 题: 分 析: 解

运用诱导公式化简求值.

计算题.

将所求式子中的角变形后利用诱导公式化简即可得到结果.

解:sin2013°=sin(360°×5+213°)=sin213°=sin(180°+33°)=

答:﹣sin33°. 故选 C 点 此题考查了运用诱导公式化简求值, 熟练掌握诱导公式是解

评:本题的关键.

2. (5 分) (2013?深圳一模)已知 i 是虚数单位,则复数 i13(1+i) =( A.1+i ) B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i

考 点: 专 题: 分

复数代数形式的乘除运算..

计算题.

利用 i2=﹣1 化简 i13,然后直接利用复数的乘法运算得到结

析:果. 解 解:i13(1+i)=(i2)6?i(1+i)=(﹣1)6?i(1+i)=﹣1+i.

答:故选 C. 点 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了基本概念,属

评:会考题型.

3. (5 分) (2013?深圳一模)如图是一个几何体的三视图,根据 图中数据,可得该几何体的表面积、体积分别是( )

A.32π、

B.16π、

C.12π、

D.8π、

考 点:

由三视图求面积、体积..

专 题: 分

计算题.

利用三视图复原的几何体的形状以及三视图的数据直接求

析:解几何体个表面积与体积. 解 解:三视图复原的几何体是半径为 2 的半球,

答:所以半球的表面积为半个球的表面积与底面积的和: 2πr2+πr2=3πr2=12π. 半球的体积为: 故选 C. 点 本题考查几何体的三视图与几何体的关系, 三视图复原几何 = .

评:体的形状是解题的关键,注意公式的正确应用.

4. (5 分) (2013?深圳一模)双曲线 x2﹣my2=1 的实轴长是虚轴 长的 2 倍,则 m 等于( A. B. ) C.2 D.4

考 点: 专 题: 分

双曲线的简单性质..

圆锥曲线的定义、性质与方程.

利用双曲线的标准方程即可得出 a 与 b 的关系, 即可得到 m

析:的值.

解 答:

解:双曲线 x2﹣my2=1 化为

,∴ a2=1,

, ,解

∵ 实轴长是虚轴长的 2 倍,∴ 2a=2×2b,化为 a2=4b2, 得 m=4. 故选 D.



熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、 虚轴的定义是解题的关

评:键.

5. (5 分) (2013?深圳一模)等差数列{an}中,a1,a2,a3 分别是 下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个 数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 2 8 11 ) B.15 C.12 D.20 第二列 3 6 9 第三列 5 14 13

则 a4 的值为( A.18

考 点: 专 题:

等差数列的性质..

等差数列与等比数列.



由题意可得 a1 =3,a2 =8,a3=13,可得此等差数列的公差 d

析:的值,故把 a3 加上 4,即得 a4 的值. 解 解:由题意可得 a1 =3,a2 =8,a3=13,故此等差数列的公差

答:为 5,故 a4=a3+d=18, 故选 A. 点 本题主要考查等差数列的定义和性质,等差数列的通项公

评:式,属于中档题.

6. (5 分) (2013?深圳一模)我们把各位数字之和为 6 的四位数 称为“六合数( ” 如 2013 是“六合数”) , 则“六合数”中首位为 2 的“六 合数”共有( A.18 个 ) B.15 个 C.12 个 D.9 个

考 点: 专 题: 分

排列、组合及简单计数问题..

新定义.

先设满足题意的“六合数”为

,根据“六合数”的含义得

析:a+b+c=4,于是满足条件的 a,b,c 可分四种情形,再对每 一种情形求出种数,即可得出“六合数”中首位为 2 的“六合 数”共有多少种. 解 解:设满足题意的“六合数”为 ,则 a+b+c=4,于是满足

答:条件的 a,b,c 可分以下四种情形: (1)一个为 4,两个为 0,共有 3 种; (2)一个为 3,一个为 1,一个为 0,共有 A =6 种; (3)两个为 2,一个为 0,共有 3 种; (4)一个为 2,两个为 1,共有 3 种. 则“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有 15 种. 故选 B. 点 本小题主要考查排列、组合及简单计数问题等基础知识,考

评:查运算求解能力,考查分类讨论思想.属于基础题.

7. (5 分) (2013?宁波模拟)函数 y=ln|x﹣1|的图象与函数 y=﹣ 2cosπx(﹣2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( A.8 B.6 C.4 D.2 )

考 点: 专 题: 分

数列的求和;根的存在性及根的个数判断..

计算题;函数的性质及应用.

由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象, 由对

析:称性可得答案. 解 解:由图象变化的法则可知:

答:y=lnx 的图象作关于 y 轴的对称后和原来的一起构成 y=ln|x|

的图象,向右平移 1 个单位得到 y=ln|x﹣1|的图象,再把 x 轴上方的不动,下方的对折上去可得 g(x)=ln|x﹣1||的图 象; 又 f(x)=﹣2cosπx 的周期为 T=2,如图所示: 两图象都关于直线 x=1 对称,且共有 6 个交点, 由中点坐标公式可得:xA+xB=﹣2,xD+xC=2,xE+xF=6 故所有交点的横坐标之和为 6 故选 B



本题考查函数图象的作法, 熟练作出函数的图象是解决问题

评:的关键,属中档题.

8. (5 分) (2013?深圳一模)定义函数 y=f(x) ,x∈D,若存在 常数 C,对任意的 x1∈D,存在唯一的 x2∈D,使得 , 则称函数 f (x) 在 D 上的几何平均数为 C. 已 知 f(x)=2x,x∈[1,2],则函数 f(x)=2x 在[1,2]上的几何平 均数为( )

A.

B.2

C.

D.4

考 点: 专 题: 分

指数函数的单调性与特殊点..

新定义.

根据已知中对于函数 y=f(x) ,x∈D,若存在常数 C,对任 ,则称

析:意 x1∈D,存在唯一的 x2∈D,使得

函数 f(x)在 D 上的几何平均数为 C.我们易得若函数在 区间 D 上单调递增,则 C 应该等于函数在区间 D 上最大值 与最小值的几何平均数,由 f(x)=2x,D=[1,2],代入即 可得到答案. 解 解:根据已知中关于函数 f(x)在 D 上的几何平均数为 C

答:的定义, 结合 f(x)=2x 在区间[1,2]单调递增 则 x1=1 时,存在唯一的 x2=2 与之对应 故 C= 故选 C. 点 本题考查的知识点是函数单调性的性质, 其中根据函数在区 =2

评:间上的几何平均数的定义,判断出 C 等于函数在区间 D 上 最大值与最小值的几何平均数,是解答本题的关键.

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分, 满分 25 分.本大题分为必做题和选做题两部分. (一)必做题: 第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9. (5 分) (2013?深圳一模)若 ,则 a3= 80 .

考 点: 专 题: 分

二项式定理的应用..

计算题.

根据二项式展开式的通项公式为 Tr+1= ?(2x)r,可得 x3

3 析:的系数 a3= ?2 ,运算求得结果.



解:二项式展开式的通项公式为 Tr+1= ?(2x)r,故 x3 的

3 答:系数 a3= ?2 =80,

故答案为 80. 点 本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公

评:式,求展开式中某项的系数,属于中档题.

10. (5 分) (2013?深圳一模)容量为 60 的样本的频率分布直方 图共有 n(n>1)个小矩形,若其中一个小矩形的面积等于其余 n﹣1 个小矩形面积和的 ,则这个小矩形对应的频数是 10 .

考 点: 专 题: 分

频率分布直方图..

计算题;概率与统计.

根据其中一个小矩形的面积等于其余(n﹣1)个小矩形面积

析:之和的 ,设出这一个小矩形的面积是 x,则其余(n﹣1) 个小矩形面积之和为 5x,得到这一个小组的频率的值,用 概率乘以样本容量得到结果. 解 解:∵ 分类分步直方图共有 n 个小矩形,

答:其中一个小矩形的面积等于其余(n﹣1)个小矩形面积之和 的 , 设这一个小矩形的面积是 x,则其余(n﹣1)个小矩形面积 之和为 5x, ∵ x+5x=1, ∴ x= ∵ 样本容量为 60, 则这个小矩形对应的频数是 60× =10, 故答案为:10. 点 本题考查频率分布表, 考查频率分步直方图小正方形的面积

评:等于这组数据的频率, 注意小正方形的面积之间的关系不要 弄混,本题是一个基础题.

11. (5 分) (2013?深圳一模) 已知 Ω={ (x, y) |x+y≤6, x≥0, y≥0}, A={(x,y)|x≤4,y≥0,x﹣y2≥0},若向区域 Ω 上随机投一点 P, 则点 P 落入区域 A 的概率是 .

考 点: 专 题: 分

定积分在求面积中的应用;几何概型..

计算题;导数的概念及应用;概率与统计.

作出 Ω 对应的平面区域,得到如图的 Rt△ OBC,其中 B(6,

析:0) ,C(0,6) .而 A={(x,y)|x≤4,y≥0,x﹣y2≥0}表示的 平面区域是在区域 Ω 内部,位于曲线 y= 下方、直线 x=4

左边且在 x 轴上方的平面区域.利用定积分公式算出 A 对 应的平面区域的面积 S1= ,再由 Rt△ OBC 的面积为 18,结 合几何概型计算公式即可算出所求的概率. 解 解:∵ Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},

答:∴ 作出 Ω 对应的平面区域, 得到如图的 Rt△ OBC, 其中 B (6 , 0) ,C(0,6) 又∵ A={(x,y)|x≤4,y≥0,x﹣y2≥0}, ∴ 作出 A 对应的平面区域,得到曲线 y= 左边, 且在 x 轴上方的平面区域, 下方、直线 x=4

其面积为 S1=

dx=

= =18

=

=

∵ Rt△OBC 的面积为 S=

∴ 向区域 Ω 上随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率 P= = = 故答案为:



本题给出两个由不等式组确定的平面区域 Ω 和 A, 求向区域

评:Ω 内投点能使点落在 A 内的概率. 着重考查了运用定积分公 式计算曲边三角形的面积和几何概型计算公式等知识, 属于 中档题.

12. (5 分) (2013?深圳一模)若执行图中的框图,输入 N=13, 则输出的数等于 . (注:“S=0”,即为“S←0”或为“S:=0”. )

考 点: 专 题: 分

程序框图..

图表型.

分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺 + +…+

可知: 该程序的作用是累加并输出 S= 析:序, 的值. 解 解:分析程序中各变量、各语句的作用,

答:再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是累加并输出 S= = . 故答案为: . 点 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模 + +…+ =1﹣

评:块最重要的题型,属于基础题.

2 13. (5 分) (2013?深圳一模) 设集合 A={ (x, y) ( | x﹣4) +y2=1}, 2 2 B={ (x, y) ( | x﹣t) + (y﹣at+2) =1}, 如果命题“?t∈R, A∩ B≠?”

是真命题,则实数 a 的取值范围是



考 点: 专 题: 分

特称命题..

计算题;直线与圆.

首先要将条件进行转化,即命题 P:A∩ B≠空集为假命题,

析:再结合集合 A、 B 的特征利用数形结合即可获得必要的条件, 解不等式组即可获得问题的解答. 解 解:∵ A={(x,y)|(x﹣4)2+y2=1},表示平面坐标系中以

答:M(4,0)为圆心,半径为 1 的圆, B={(x,y)|(x﹣t)2+(y﹣at+2)2=1},表示以 N(t,at ﹣2)为圆心,半径为 1 的圆,且其圆心 N 在直线 ax﹣y﹣ 2=0 上,如图. 如果命题“?t∈R,A∩ B≠?”是真命题,即两圆有公共点,则圆 心 M 到直线 ax﹣y﹣2=0 的距离不大于 2, 即 ,解得 0≤a≤ .

∴ 实数 a 的取值范围是 故答案为: .





本题考查的是集合运算和命题的真假判断与应用的综合类

评:问题.在解答的过程当中充分体现了圆的知识、集合运算的 知识以及命题的知识. 同时问题转化的思想也在此题中得到 了很好的体现.值得同学们体会和反思.

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两 题全答的,只计算前一题的得分. 14. (3 分) (2013?深圳一模) (坐标系与参数方程选做题)在直 角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系.曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,曲线 C2 的

极坐标方程为 ρsinθ﹣ρcosθ=3,则 C1 与 C2 交点在直角坐标系中 的坐标为 (2,5) .

考 点:

点的极坐标和直角坐标的互化;参数方程化成普通方程..

专 题: 分

直线与圆.

利用消去参数 t 将曲线 C1 的参数方程化成直角坐标方程, 再

析:将曲线 C2 的极坐标方程也化成直角坐标的方程,把曲线 C1 与 C2 的方程组成方程组解出对应的方程组的解,即得曲线 C1 与 C2 的交点坐标. 解 解:由曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,消去参数 t

答:化为普通方程:y=x2+1(x≥0) , 曲线 C2 的极坐标方程为 ρsinθ﹣ρcosθ=3 的直角坐标方程为: y﹣x=3; 解方程组 ,可得 (不合,舍去)或 ,

故曲线 C1 与 C2 的交点坐标为(2,5) , 故答案为: (2,5) . 点 本题主要考查把参数方程或极坐标方程化为普通方程的方

评:法,求两条曲线的交点坐标,属于中档题.

15. (3 分) (2013?深圳一模)如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E(E 在 A,O 之间) ,EF⊥ BC,垂足为 F.若, 则 AB=6,CF?CB=5,则 AE= 1 .

考 点: 专 题: 分

与圆有关的比例线段..

选作题.

在 Rt△ BEC 中,由射影定理可得 EC2=CF?CB,由垂径定理

析:可得 CE=ED,再利用相交弦定理即可求出 AE. 解 解:在 Rt△ BCE 中,EC2=CF?CB=5,∴ EC2=5.

答:∵ AB⊥ CD,∴ CE=ED. 由相交弦定理可得 AE?EB=CE?EB=CE2=5. ∴ (3﹣OE)?(3+OE)=5,解得 OE=2,∴ AE=3﹣OE=1. 故答案为 1. 点 评: 熟练掌握射影定理、垂径定理、相交弦定理是解题的关键.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说 明、证明过程和演算步骤.

16. (12 分) (2013?深圳一模)已知函数 ,点 A、B 分别是函数 y=f(x) 图象上的最高点和最低点. (1)求点 A、B 的坐标以及 的值;

(2)设点 A、B 分别在角 α、β 的终边上,求 tan(α﹣2β)的值.

考 点: 专 题: 分 析:

两角和与差的正切函数;平面向量数量积的运算..

三角函数的图像与性质.

(1)根据 x 的范围以及正弦函数的定义域和值域,求得 , 由此求得图象上的最高顶、 最低点的 坐标及 的值.

(2)由点 A(1,2) 、B(5,﹣1)分别在角 α、β 的终边 上,求得 tanα、tanβ 的值,从而利用二倍角公式求得 tan2β 的值,再利用两角和的正切公式求得 tan(α﹣2β)的值. 解 解: (1)∵ 0≤x≤5,∴ . ,即 x=1 时, ,…(1 分) …(2 分) ,f(x)取得最大

答:∴ 当 值 2; 当 小值﹣1.

,即 x=5 时,

,f(x)取得最

因此,点 A、B 的坐标分别是 A(1,2) 、B(5,﹣1) . (4 分) ∴ . …(6 分)



(2)∵ 点 A(1,2) 、B(5,﹣1)分别在角 α、β 的终边上, ∴ tanα=2, ∵ ,…(8 分) ,…(10 分)

∴ 点

. …(12 分)

本小题主要考查了三角函数 f(x)=Asin(ωx+? )的图象与

评:性质,三角恒等变换,以及平面向量的数量积等基础知识, 考查了简单的数学运算能力,属于中档题.

17. (12 分) (2013?深圳一模)一次考试中,五名同学的数学、 物理成绩如下表所示: 学生 A1 A2 91 89 A3 93 89 A4 95 92 A5 97 93

数学(x 分)89 物理(y 分)87

(1)请在如图的直角坐标系中作出这些数据的散点图,并求出 这些数据的回归方程;

(2) 要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选 2 人参加一项活 动,以 X 表示选中的同学的物理成绩高于 90 分的人数,求随机 变量 X 的分布列及数学期望 E(X)的值.

考 线性回归方程;离散型随机变量的期望与方差.. 点 : 专 概率与统计. 题 : 分 (1) 把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中, 析 得到散点图, 再根据所给的数据先做出数据的平均数, 即样本 : 中心点, 根据最小二乘法做出线性回归方程的系数, 写出线性 回归方程. (2)根据题意得到变量 X 的可能取值,结合变量对应的事件 写出变量的概率,写出分布列,做出期望值. 解 解: (1)散点图如图所示.…(1 分)

答 = : =93, = =90,

, , , . . …(5 分) …(6 分) …(7 分) . …(10 分)

故这些数据的回归方程是:

(2)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2. ; 故 X 的分布列为: X p …(11 分) ∴ E(X)= + + =1. …(12 分) 0 1 2 ;

点 本题主要考查读图表、线性回归方程、概率、随机变量分布列 评 以及数学期望等基础知识, 考查运用概率统计知识解决简单实 : 际问题的能力,数据处理能力.

18. (14 分) (2013?深圳一模)如图 1,⊙ O 的直径 AB=4,点 C、 D 为⊙ O 上两点,且∠ CAB=45°,∠ DAB=60°,F 为 的中点.沿直 径 AB 折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图 2) . (1)求证:OF∥ 平面 ACD; (2)求二面角 C﹣AD﹣B 的余弦值; (3)在 上是否存在点 G,使得 FG∥ 平面 ACD?若存在,试指 出点 G 的位置,并求直线 AG 与平面 ACD 所成角的正弦值;若 不存在,请说明理由.

考 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;二面 点:角的平面角及求法.. 专 空间角. 题: 分 (1)以 O 为坐标原点,以 AB 所在直线为 y 轴,以 OC 所 析:在直线为 z 轴建立空间直角坐标系, 求出向量 与 的坐标, 利用向量共线的坐标表示求证 OF∥ AC,从而说明线面平行; (2)根据,∠ DAB=60°求出 D 点坐标,然后求出平面 ACD 的一个法向量,找出平面 ADB 的一个法向量,利用两平面 法向量所成角的余弦值求解二面角 C﹣AD﹣B 的余弦值; (3)假设在 上存在点 G,使得 FG∥ 平面 ACD,根据(1) 中的结论,利用两面平行的判定定理得到平面 OFG∥ 平面 ACD, 从而得到 OG∥ AD, 利用共线向量基本定理得到 G 的坐标 (含 有参数) ,然后由向量 的模等于圆的半径求出 G 点坐标, 最后利用向量 与平面 ACD 的法向量所成角的关系求直线 AG 与平面 ACD 所成角的正弦值. 解 (1)证明:如图,因为∠ CAB=45°,连结 OC,则 OC⊥ AB. 答:以 AB 所在的直线为 y 轴,以 OC 所在的直线为 z 轴,以 O 为原点,作空间直角坐标系 O﹣xyz, 则 A(0,﹣2,0) ,C(0,0,2) .

, ∵ 点 F 为 的中点,∴ 点 F 的坐标为 .∴ ,即 OF∥ AC. ,

∵ OF?平面 ACD,AC?平面 ACD,∴ OF∥ 平面 ACD. (2)解:∵ ∠ DAB=60°,∴ 点 D 的坐标 . 设二面角 C﹣AD﹣B 的大小为 θ, 的一个法向量. 由 有 , .∴ = 即 . 为平面 ACD ,

取 x=1,解得

取平面 ADB 的一个法向量 =(0,0,1) , ∴ .

(3)设在 上存在点 G,使得 FG∥ 平面 ACD,∵ OF∥ 平面 ACD,∴ 平面 OFG∥ 平面 ACD,则有 OG∥ AD. 设 又∵ ,∴ ,∵ ,∴ ,解得 λ=±1(舍去﹣ .

1) .∴

,则 G 为 的中点.

因此,在 上存在点 G,使得 FG∥ 平面 ACD,且点 G 为 的 中点. 设直线 AG 与平面 ACD 所成角为 α, ∵ 根据(2)的计算 量, ∴ , 为平面 ACD 的一个法向

. 因此,直线 AG 与平面 ACD 所成角的正弦值为 .

点 本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面角、二面角及 评:三角函数等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理 论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能力,此题是中 档题.

19. (14 分) (2013?深圳一模)已知数列{an}满足:a1=1,a2=a (a≠0) , (1)判断数列 (2)求 an; (其中 p 为非零常数,n∈N*) . 是不是等比数列?

(3)当 a=1 时,令

,Sn 为数列{bn}的前 n 项和,求 Sn.

考 点: 专 题: 分 析:

数列的求和;等比关系的确定..

综合题;等差数列与等比数列.

(1)由 an+2=p? 义即可判断数列

可求得

=p?

,利用等比数列的定

是否为等比数列; ? … ?a1= (apn 2) × (apn 3) ×…×
﹣ ﹣

(2) 利用累乘法 an= (ap0)×1 即可求得 an; (3)当 a=1 时,bn=

=np2n 1,利用错位相减法与分类讨


论思想即可求得数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解 答: 令 cn= ∵ a≠0, ∴ c1≠0,故 ∴ 数列 =p(非零常数) , 是等比数列,…(3 分) ,则 c1=a,cn+1=pcn. 解: (1)由 an+2=p? 得 =p? …(1 分)

(2)∵ 数列{cn}是首项为 a,公比为 p 的等比数列, ∴ cn=c1?pn 1=a?pn 1,
﹣ ﹣



=apn 1.


…(4 分) ? … ?a1= (apn 2) × (apn 3) ×…× (ap0)
﹣ ﹣

当 n≥2 时, an= ×1=an
﹣1

,…(6 分)

∵ a1 满足上式, ∴ an=an
﹣1

,n∈N*. = ?

…(7 分)
﹣ ﹣

(3)∵

=(apn)×(a?pn 1)=a2p2n 1, =np2n 1.
﹣ ﹣

∴ 当 a=1 时,bn=

…(8 分)

∴ Sn=1×p1+2×p3+…+n×p2n 1,① p2Sn=1×p3+…+(n﹣1)p2n 1+n×p2n+1②


∴ 当 p2≠1,即 p≠±1 时,① ﹣② 得: (1﹣p2)Sn=p1+p3+…+p2n ﹣np2n+1, ∴ Sn= ﹣ ,p≠±1.

﹣1

…(11 分) ,…(12 分) .…

而当 p=1 时,Sn=1+2+…+n=

当 p=﹣1 时,Sn=(﹣1)+(﹣2)+…+(﹣n)=﹣ (13 分)

综上所述,Sn=

…(14 分)



本题考查等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递

评:推数列求通项、错位求和等知识,考查了学生的运算能力, 以及化归与转化、分类讨论的思想,属于难题.

20. (14 分) (2013?深圳一模)已知两点 F1(﹣1,0)及 F2(1, 0) ,点 P 在以 F1、F2 为焦点的椭圆 C 上,且|PF1|、|F1F2|、|PF2| 构成等差数列. (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点, 点 M, N 是直线 l 上的两点, 且 F1M⊥ l, F2N⊥ l. 求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值.

考 直线与圆锥曲线的综合问题;数列与解析几何的综合;椭圆 点:的简单性质..

专 圆锥曲线中的最值与范围问题. 题: 分 (1) 依题意, 设椭圆 C 的方程为 , c=1. 再利用|PF1|、

析: |F1F2|、|PF2|构成等差数列,即可得到 a,利用 b2=a2﹣c2 得到 a 即可得到椭圆的方程; (2) 将直线 l 的方程 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程 3x2+4y2=12 中,得到关于 x 的一元二次方程,由直线 l 与椭圆 C 仅有一 个公共点知,△ =0,即可得到 m,k 的关系式,利用点到直 线的距离公式即可得到 d1=|F1M|,d2=|F2N|. 法一:当 k≠0 时,设直线 l 的倾斜角为 θ,则|d1﹣ d2|=|MN|×|tanθ|,即可得到四边形 F1MNF2 面积 S 的表达式, 利用基本不等式的性质即可得出 S 的最大值; 法二:利用 d1 及 d2 表示出 及 d1d2,进而得到 ,再利用二次函数的单 调性即可得出其最大值. 解 解: (1)依题意,设椭圆 C 的方程为 .

答: ∵ |PF1|、|F1F2|、 |PF2|构成等差数列, ∴ 2a=|PF1|+|PF|2=2|F1F2|=4, a=2. 又∵ c=1,∴ b2=3.∴ 椭圆 C 的方程为 .

(2) 将直线 l 的方程 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程 3x2+4y2=12

中,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0. 由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知, △ =64k2m2﹣4 (4k2+3) (4m2﹣12)=0, 化简得:m2=4k2+3. 设 , ,

法一:当 k≠0 时,设直线 l 的倾斜角为 θ, 则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|, ∴ , = ∵ m2=4k2+3, ∴ 当 k≠0 时, , . . , , .

当 k=0 时,四边形 F1MNF2 是矩形, 所以四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 法二: ∵ . ∴ 四边形 F1MNF2 的面积 = =



. ,

= 当且仅当 k=0 时, ,故 . .



所以四边形 F1MNF2 的面积 S 的最大值为

点 本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的 评:位置关系、等差数列、二次函数的单调性、基本不等式的性 质等基础知识,考查运算能力、推理论证以及分析问题、解 决问题的能力,考查数形结合、化归与转化思想.

21. (14 分) (2013?深圳一模)已知 =2lnx+bx,且直线 y=2x﹣2 与曲线 y=g(x)相切.

,g(x)

(1)若对[1,+∞)内的一切实数 x,不等式 f(x)≥g(x)恒成 立,求实数 a 的取值范围; (2)当 a=1 时,求最大的正整数 k,使得对[e,3](e=2.71828… 是自然对数的底数)内的任意 k 个实数 x1,x2,…,xk 都有 f(x1) +f(x2)+…+f(xk﹣1)≤16g(xk)成立; (3)求证: .

考 点: 专 题: 分

导数在最大值、最小值问题中的应用;函数恒成立问题..

压轴题;导数的综合应用.

(1)首先设出直线 y=2x﹣2 与曲线 y=g(x)的切点,把切

析:点代入两曲线方程后联立可求得 b 的值,解出 g(x)后把 f (x)和 g(x)的解析式代入 f(x)≥g(x) ,分离变量 a 后 对函数进行两次求导得到函数在区间[1,+∞)内的最小值, 则实数 a 的范围可求; (2)当 a=1 时可证得函数 f(x)在[e,3]上为增函数,而 g (x)也是增函数,把不等式左边放大取最大值,右边取最 小值,代入后即可求解最大的正整数 k; (3)该命题是与自然数有关的不等式,采用数学归纳法证 明,由归纳假设证明 n=k+1 成立时,穿插运用分析法. 解 解: (1)设点(x0,y0)为直线 y=2x﹣2 与曲线 y=g(x)的

答:切点,则有 2lnx0+bx0=2x0﹣2① ∵ ,∴ ②

由② 得, 2x0﹣2=bx0, 代入① 得 x0=1, 所以 b=0, 则g (x) =2lnx. 由 f(x)≥g(x) ,即 ,整理得 ,

∵ x≥1,∴ 要使不等式 f(x)≥g(x)恒成立,必须 a≤x2﹣2xlnx 恒成立.

设 h(x)=x2﹣2xlnx, ∵ 数,



,∴ 当 x≥1 时,h''(x)≥0,则 h'(x)是增函

∴ h'(x)≥h'(1)=0,∴ h(x)是增函数,则 h(x)≥h(1) =1,∴ a≤1. 又 a>0,因此,实数 a 的取值范围是 0<a≤1. (2)当 a=1 时, [e,3]上是增函数, f(x)在[e,3]上的最大值为 . ,∵ ,∴ f(x)在

要对[e,3]内的任意 k 个实数 x1,x2,…,xk,都有 f(x1) +f(x2)+…+f(xk﹣1)≤16g(xk)成立, 必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,∵ 当 x1=x2=…=xk﹣1=3 时不等式左边取得最大值, xk=e 时不等式右边取得最小值.∴ (k﹣1)f(3)≤16g(3) , 即 ,解得 k≤13.

因此,k 的最大值为 13. (3)证明:1°当 n=1 时,左边= ,右边=ln3, 根据(1)的推导有,x∈(1,+∞)时,f(x)>g(x) ,即 . 令 x=3,得 ,即 .

因此,n=1 时不等式成立.

2°假设当 n=k 时不等式成立,即 则当 n=k+1 时,



, 要证 n=k+1 时命题成立,即证 , 即证 在不等式 . 中,令 ,得 . ∴ n=k+1 时命题也成立. 综上所述,不等式 点 对一切 n∈N*成立.

本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义

评:及其应用、不等式的求解与证明、数学归纳法等综合知识, 考查学生的计算推理能力及分析问题、 解决问题的能力及创 新意识,属难题.


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