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高中数学必修5一元二次不等式及其解法知识点总结


高中数学必修 5 一元二次不等式及其解法知识点总结
一.一元二次不等式 只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是 2 的不等式, 称为一元二次不等式 (了解) 二.一元二次不等式的解法 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: 判别式 ? ? b ? 4ac
2

??0

??0

??0

二次函数 y ? ax2 ? bx ? c

? a ? 0? 的图象
有两个相异实数根 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0
2

x1,2 ?

? a ? 0? 的根
ax2 ? bx ? c ? 0
一元二次 不等式的 解集

?b ? ? 2a

有两个相等实数根

x1 ? x2 ? ?

? x1 ? x2 ?

b 2a

没有实数根

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? a ? 0?
ax2 ? bx ? c ? 0

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

? a ? 0?
于0在两根之外

?x x

1

? x ? x2 ?

?

?

注: (1)当二次项系数不是正数时,把它化成正数;解集可简记为小于0在两根之间,大

(2)题目中不等式带等号,解集中带等号,题目中不带等号,解集中也不带 (3)解题时要充分利用二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集 间的关系 (4)恒成立问题: y ? ax ? bx ? c
2

若a>0, ? ? 0 ,则y>0恒成立 若a<0, ? ? 0 ,则y<0恒成立

( ? )f ? x ? 恒成立,只需m< ( ? )f ? x ?min (5)若m<
若m> ( ? ) f ? x ? 恒成立,只需m> ( ? )f ? x ?max

三.跟踪训练 1.若不等式 ax
2

1 1? ? bx ? 2 ? 0 的解集 ? ? x | ? ? x ? ? 则 a ? b 值是( ? 2 3?

)

A. ?10

B. ?14
2

C . 10

D. 14

2.集合 M={x|0 ? x ? 2},N={x |x -2x-3<0},则 M N 为( ) A、{x|0 ? x ? 2} B、{x|0<x<2} C、{x|-1<x<3} D、{x |x>0} 3.若不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ? ?
2

? 1 1? , ? ,则 a ? b 的值为_ ? 2 3?

4.求下列不等式的解集 (1)4 x -4 x >15 (3) x -3 x -10<0
2 2

(2)13-4 x >0 (4) x (9- x )>0

2

5.已知集合M={ x | x -16<0} ,N={ x | x -4 x +3>0},求 M

2

2

N

2 2 2 6. )已知集合 A={x| x ? a ? 0 ,其中 a ? 0 },B={x| x ? 3x ? 4 ? 0 },且 A ? B = R,求

实数 a 的取值范围

7.解关于 x 的不等式 ax

2

? (a ? 1) x ? 1 ? 0

8.已知: f ( x) ? ax2 ? (b ? 8) x ? a ? ab ,当 x ? (?3,2) 时, f ( x) ? 0 ; x ? (??,?3) ? (2,??) 时, f ( x) ? 0 (1)求 y ? f ( x) 的解析式 (2)c 为何值时, ax ? bx ? c ? 0 的解集为 R.
2


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