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高三二轮复习不等式、基本不等式专题

不等式专题

课前概述:

①出题方向:不等式这个知识点一般单独成题的话会出现在选择或填空里面,有时简单有时比较难,相对而言属于中

等题(个别题会出在压轴填空题,跟别的知识结合);

②思路点拨:实际上不等式的题会有三种种出题类型,一种是不等式的恒成立问题,一种是线性规划问题,最后一种

是基本不等式的应用。见到每一种就按照掌握的知识技巧解答;

③方法要点:对于该知识点,一般是出现在小题里(选择填空)。由于不需要过程,只要结果对就行,于是方法就不是

很限制,只要能做出来就行,这时要灵活运用做题技巧,尤其是特例法,特殊值法,都可以尝试,关键是把题目给的

条件“凑”成要求的结果即可。

知识要点:基本不等式:

a+b ab≤ 2

(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.

(2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号.

注意:

1.在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定

值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误. 2.运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如 a2+b2≥2ab 逆用就是 ab≤a2+2 b2;a+2 b≥ ab

(a,b>0)逆用就是 ab≤??a+2 b??2 (a,b>0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等,使其满足重要不等

式中“正”“定”“等”的条件.

3.对使用基本不等式时等号取不到的情况,可考虑使用函数 y=x+mx (m>0)的单调性.

4.连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.

典例分析及练习:

类型一:有关不等式的几个常见问题:

例 1、(2015 届鄞州中学开学考)若关于 x 的不等式 x2 ? ax ? 2 ? 0 在区间?1, 5? 上有解,则实数 a 的取值范围为( )

A. (? 23 ,??) 5

B.[? 23 , 1] 5

C.(1,+∞)

D. (??, ? 23) 5

练习 1:若不等式 x 2 ? 2xy ? a(x 2 ? y 2 ) 对于一切正数 x 、 y 恒成立,则实数 a 的最小值为(



A、2

2 ?1
B、
2

C、 3 2

5 ?1
D、
2

练习 2.已知 x>0,y>0,2x+y=1,若 4x2 ? y2 ? xy ? 1 m ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是



4

例 2、 已知奇 函数 f (x) 在 [?1,1] 上 是 增函 数,且 f (1) ? 1. 若 对所 有的 x ?[?1,1] , 都 存在 a ?[?1,1] 使 不等式

f (x) ? t 2 ? 4at ?1成立,则实数 t 的取值范围是

练习:已知定义在 R 上的单调递增奇函数 f(x),若当 o ? ? ? ? 时,f(cos2θ+2msin θ)+f(-2m-2)<0 恒成立,则实数 m 2
的取值范围是________. 归纳总结:当不等式中求某个字母的最值或取值范围时,首先应该想到能不能分离参数。当能分离时先分离再运算, 如果不能分离时再用常规题型解答。

例 3.(2013 届五校联考)已知 a,b, c, d 为常数,若不等式 b ? x ? d ? 0 的解集为 (?1, ? 1) (1 ,1) ,则不等式

x?a x?c

32

bx ? dx ?1 ? 0 的解集为



ax ?1 cx ?1

练习:关于 x 的不等式 (log2 x)2 ? b log2 x ? c ? 0 ( b, c 为实常数)的解集为[2,16] ,则关于 x 的不等式

c ? 22x ? b ? 2x ?1 ? 0 的解集为

归纳总结:如果出现上面这类题型时,一定要先分析出题人的意图,看他们打算考察哪个知识类型(这个方法要靠平

时的多积累才能分析出来),否则用常规方法解答很耗时间。 例 4、已知函数 f (x) ? x2 ? a ,当 x?N * 时, f (x) ? f (3) 恒成 立,则实数 a 的取值范围为
x 练习 1、实数 a,b, c, d 满足 (b ? a 2 ? 3a)2 ? (c ? d ? 2)2 ? 0 ,则 (a ? c)2 ? (b ? d)2 的最小值是

. 。

练习 2.已知抛物线 C :

y2

? 4x ,O 为坐标原点,F

PO 为其焦点,当点 P 在抛物线 C 上运动时,

的最大值为(

)

PF

A. 2 3 3

B. 4 3

C. 5 2

D. 5 4

练习 3.已知点 M (4,0) ,点 P 在曲线 y 2 ? 8x 上运动,点 Q 在曲线 (x ? 2)2 ? y2 ? 1 上运动,则 PM 2 的最小值 PQ



.

练习 4.设 P(a,b) 是直线 y ? ?x 上的点,若对曲线 y ? 1 (x ? 0) 上的任意一点 Q 恒有 PQ ? 3 ,则实数 a 的取值范 x

围是



?5b ? 2(a ? c)

练习 5、设实数 a,b, c 满足 ??b 2 ? ac ??a ? 0

, 若 5a ? 8b ? 4c 的最大值和最小值分别为 M , m ,则 M ? m 的值为( ) a?b

A. 9

32
B.
3

49
C.
3

D. 19

练习

6、点

P

为椭圆

x a

2 2

? y2 b2

? 1?a ? 0, b ? 0?在第一象限的弧上任意一点,过 P 引 x 轴, y 轴的平行线,分别交直线

y

?

?

b a

x

于 Q, R

,交

y

轴, x

轴于

M,

N

两点,记 ?OMQ 与 ?ONR 的面积分别为

S1, S2

,当 ab

?

2

时, S12

?

S

2 2



最小值为

.

练习 7、已知圆 O1 : (x ? 2)2 ? y2 ? 16 和圆 O2 : x2 ? y2 ? r 2 (0 ? r ? 2) ,动圆 M 与圆 O1 和圆 O2 都相切,动圆圆心 M 的轨迹为两个椭圆,设这两个椭圆的离心率分别为 e1 和 e2 ( e1 ? e2 ),则 e1 ? 2e2 的最小值为( )

A. 3 ? 2 2 4

B. 3 2

C. 2

D. 3 8

归纳总结:如果出现类似这类题型,首先看看题目考察的是哪个知识,如果没有明确思路的话,一般题目要求求什么,

就用函数思想把什么表示出来,然后再转换成不等式的形式求解

例 5.设 x, y 为实数,若 4x2 ? y2 ? 1 ,则 x ? y 的最大值是

练习.函数 y ? 1? x ? 1? x 的最大值是

;最小值是

.

归纳总结:参数方程法也是对于解不等式类型题的一种常用方法

例 6.若实数 a, b, c 满足 a2 ? b2 ? c2 ? 1,则 3ab ? 3bc ? 2c2 的最大值为________.

【知识点】基本不等式

? ? 【解析】: 3ab ? 3bc ? 2c2 ? 3

2a

? ???

2 2

b

? ???

?

3???

3 6

b

?? ?? ???

?

6 3

c

? ???

?

2c2

? ? ?

3 2

? ??

2a

2

?

1 2

b2

? ??

?

3 2

? ??

3 2

b

2

?

2 3

c

2

? ??

?

2c

2

?3

a2

? b2

? c2

?3

【思路点拨】可结合基本不等式对所求式子用基本不等式凑出已知条件中的定值进行解答.

例 7、若等差数列{an} 满足 a12 ? a120 ? 10 ,则 S ? a10 ? a11 ? ... ? a19 的最大值为 ( )

A.60

B.50

【知识点】等差数列的性质

C. 45

D.40

? ? 【解析】:设等差数列的公差为 d ,因为 a12 ? a120 ? 10 ,所以 a10 ? 9d 2 ? a102 ? 10,

而S

?

a10

?

a11

? ... ?

a19

? 10a10

?

45d

,可得 a10

?

S

? 45d 10

? ,代入 a10

? 9d ?2

? a102

? 10,

? ? 整理得 1352 ? 452 d 2 ? 360dS ? 2S2 ?1000 ? 0,

? ?? ? 由关于 d 的二次方程有实根可得 ? ? 3602 S2 ? 4 1352 ? 452 2S2 ?1000 ? 0,

化简可 S 2 ? 2500 得,解得 S ? 50

【思路点拨】设等差数列的公差为 d

? ,易得 a10

? 9d ?2

?

a102

? 10,由求和公式可得 a10

?

S

? 45d 10

,代入

?a10 ? 9d ?2 ? a102 ? 10,整理可得关于 d 的方程,由 ? ? 0 可得 S 的不等式,解不等式可得.

类型二:基本不等式的常见题型及应用 (1)题型一:“1”的灵活代换: 例 1. 已知 x>0,y>0,且 2x+y=1,则1x+2y的最小值是_____________.

练习 1.(2012·浙江)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( )

24 A. 5

28 B. 5

C.5

D.6

练习 2、已知 x , y 为正实数,且 x ? 2 y ? 3 。则 3x ? y 的最小值为

; 则 2x( y ? 1) 的最大值为



xy

练习 3.已知正数 x,y 满足:x+4y=x y,则 x+y 的最小值为



练习 4.若正实数 x,y 满足 1 ? 9 ? 1 ,则 x+y 的最小值是(



x ?1 y

(A)15 (B)16 (C)18 (D)19 (2)题型二:(思路)求谁保留谁,把不符合的代换掉

例 2、已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是 ( )

A.3

B.4

C.92

D.121

练习 1.(2011·浙江)设 x,y 为实数.若 4x2+y2+xy=1,则 2x+y 的最大值是________.

练习 2、已知实数 a ? 0,b ? 0 ,且 ab ? 1,那么 a 2 ? b2 的最大值为 a?b

练习 3.(姜山中学 2015 届 12 月月考题)若正实数 x, y 满足 x ? 2 y ? 4 ? 4xy ,且不等式 (x ? 2 y)a2 ? 2a ? 2xy ? 34 ? 0

恒成立,则实数 a 的取值范围是



(3)题型三:柯西不等式(这个内容属于选修 4-5 的内容,虽然不学,但是对于做题帮助很大)

例 3.设 a . b ? R? , a ? b, x, y ? (0, ??) ,则 a2 ? b2 ? (a ? b)2 ,当且仅当 a ? b 时,上式取等号,利用以上结论,

x y x?y

xy

可以得到函数 f (x) ? 2 ? 9 (x ? (0, 1)) 的最小值为(

x 1? 2x

2

A.169

B.121

C.25

) D.16

总结(规律和特点):

练习 1、设 0 ? m ? 1 ,若 1 ? 3 ? k 恒成立,则 k 的最大值为 3 m 1? 3m
练习 2、已知 x, y ? (0, ??), 1 ? 2 ? 2,则2x ? y 的最小值为 x y ?1

练习 3、若不等式 1 ? 1 ? ? >0 对于满足条件 a > b > c 的实数 a 、b 、c 恒成立,则实数 ? 的取值范围是______ a?b b?c c?a

练习

4、(2014

届四川高考)设

a

?

b

?

0

,则

a2

?

1 ab

?

1
a?a ?

b?

的最小值为

练习 5

、对任意实数 x ?1,

y

?

1 2

,不等式 x2 a2 (2 y ?1)

?

4y2 a2 (x ?1)

? 1恒成立,则实数 a 的最大值为(



A. 2

B. 4

14
C.
2

D. 2 2

【综合练习训练】

1、设二次函数 f (x) ? ax2 ? 4x ? c(x ? R) 的值域为[0, ??),则 1 ? 9 的最大值为____________. c ?1 a ?9

2、已知二次函数 f(x)= ? x2+2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则 ? ?1 ? c ?1 的最小值为

.

c?

3、已知 f (x) ? ax2 ? bx ? c,(0 ? 2a ? b), ?x ? R, f (x) ? 0恒成立,则

f (1) 的最小值为

f (0) ? f (?1)

4、已知 实数 x 、 y 、 z 满足 x ? y ? z ? 0 , x2 ? y2 ? z2 ? 1,则 x 的最大值为

.

5、已知实数 x, y ,实数 a ? 1,b ? 1,且 ax ? by ? 2 ,

(1)若 ab ? 4 ,则 1 ? 1 =_________,(2) a2 ? b ? 8 ,则 2 ? 1 的最大值___________

xy

xy

6、已知正实数 a, b 满足 1 ? 2 ? 3 ,则 ?a ?1??b ? 2?的最小值是(



ab

16
A.
3

50
B.
9

49

C.

D. 6

9

7、已知 a2 ? 2b2 ? 1,求 a ? b 的最小值

8.已知正数 x,y 满足 xy+x+2y=6,则 xy 的最大值为

.

9、已知正实数 a,b 满足 2a ? b ?1 ,则 4a2 ? b2 ? 1 的最小值为

.

ab

10、已知向量 a ? ( 1 ?1,1) , b ? (1, 1 ) (x ? 0, y ? 0) ,若 a ? b ,则 x ? 4y 的最小值为

x

y

11、已知 x, y 满足方程 x2 ? y ?1 ? 0 ,当 x ? 3 时,则 m ? 3x ? y ? 5 ? x ? 3y ? 7 的最小值为__

_.

x ?1

y?2

12、已知 x ? 0, y ? 0 ,且 2 ? 1 ? 1,若 x ? 2y ? m2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围为



xy

13.若对任意 x ?[1, 2] ,不等式 4x ? a ? 2?x ?1? a2 ? 0(a ? R) 恒成立,则 a 的取值范围是( )

A. a ? 5 或 a ? ?2 2

B. a ? 17 或 a ? ?4 4

C. a ? 17 或 a ? ?2 4

14、若正数 a,b 满足 1 ? 1 ? 1,则 1 ? 9 的最小值为(

)

ab

a ?1 b ?1

A.1 B.6 C.9 D.16

15、设 a, b ? R ? , a ? b ? 2a2b2 ? 4 ,则 1 ? 1 的最小值是



ab

16.双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a

? 0, b ? 0) 的离心率是 2,则 b2 ?1 的最小值是 3a

D. a ? 5 或 a ? ?4 2


17.已知实数 x, y 满足 x ? y ? 0 且 x ? y ?1 ,则 2 ? 1 的最小值是



x ? 3y x ? y

18.(理)若正数 x, y 满足 x2 ? 4 y2 ? x ? 2 y ? 1,则 xy 的最大值为__

__.

(文)已知正数 x, y 满足 x2 ? 2xy ? 4 y2 ? 1,则 x ? y 的取值范围是__ __.

19.在 ?ABC中,已知 AB ? AC ? 9,sin B ? cos A? sin C, S?ABC ? 6 , P 为线段 AB 上的点,且

CP ? x ? CA ? y ? CB ,则 3 ? 4x 的最小值为__________。 | CA | | CB | x 3y

【答案:3】

20.若 2? 4a ? 2a ? 3b ? 2?9b ? 2a ? 3b ?1, 则 2a ? 3b 的取值范围是

.

【答案:(1,2]】

21.已知实数 x,

y 满足 3x

? 3y

? 9x

? 9 y ,则

27 x 3x

? 27 y ? 3y

的取值范围是________.

22、正实数

x1, x2 及函数

f

(x) 满足 2x

?

1? 1?

f f

(x) (x)

,且

f

(x1) ?

f

(x2 )

? 1,则

f

( x1

?

x2 ) 的最小值为__



23.已知实数 x, y ? 0 且 xy ? 2 ,则 x 3 ? 8 y 3 的最小值是



x2 ? 4y2 ? 8

24.

x, y ? R ,则 u(x, y) ? x2 ? 81 ? 2xy ? 18

x2

x

2 ? y2 的最小值是



25.实数 x, y, z 满足 x2 ? y 2 ? z 2 ? 1,则 xy ? yz 的最小值为( )

【答案:C】

A. ? 1 2

B. ? 2 3

C. ? 2 2

D. ? 2 4

【(下一题)答案: 3, 7 , 21 77

26、已知 x2 ? y2 ? z2 ? 1(x ? 0) ,则 2 3 xy ?4 yz z ? 2 的最大值是

,取到最大值时的 x =

,y =



27、已知实数 a,b, c 满足 1 a2 ? 1 b2 ? c2 ? 1 ,则 ab ? 2bc ? 2ca 的取值范围是( ) 44

A. (??, 4]

B.[?4, 4] C.[?2, 4]

D. [?1, 4]

【答案:C】

28、实数 x, y 满足 4x2 ? 5xy ? 4 y2 ? 5 ,设 S ? x2 ? y2 ,则 1 ? 1 ?



Smax Smin

29、已知 x, y 均为正数,且 xy ? 2x ? y ?1,则 x ? y 的最小值为

.

【答案:5】

30、(理)己知 a ? 0,b ? 0, c ? 1且 a ? b ? 1, 则 ( a2 ?1 ? 2) ? c ? 2 的最小值为

ab

c ?1

(文)己知 a

? 0,b

?

0, 且 a ? b

? 1, 则 ?? ?

1 a2

?

1???? ??

1 b2

? 1?? 的最小值为_______, ?

a2 ?1 的最小值为 ab



31、设 x, y 是正实数,且 x ? y ? 3 ,则 y2 ? x2 的最小值是



x ?1 y ?1

32.若实数 x, y 满足 2cos2 ? x ? y ?1? ? ? x ?1?2 ? ? y ?1?2 ? 2xy , 则 xy 的最小值为
x ? y ?1


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