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jiangxiao666:高中数学 精讲优练课型 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件 新人教版必修4_图文

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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

【知识提炼】 1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ . 它们对应坐标的乘积的和. 两个向量的数量积等于________________________ x1x2+y1y2 即:a·b=________ x1x2+y1y2=0 a⊥b?__________

数量积
向量垂直

2.与向量的模、夹角相关的三个重要公式
x ?y (1)向量的模:设a=(x,y),则|a|=________.
2 2

(2)两点间的距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则| AB|=

? x1 ? x 2 ? ? ? y1 ? y 2 ? ________________.
2

2

(3)向量的夹角公式:设两非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的 夹角为θ ,
x1x 2 ? y1 y 2

2 2 2 2 a?b x ? y ? x ? y 1 1 2 2 则cosθ = =__________________. | a || b |

【即时小测】 1.思考下列问题. (1)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积仍是向量,其坐标为(x1x2, y1y2)对吗? 提示:不对.向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积为实数,其值为 x1x2+y1y2.

(2)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则向量a在向量b方向上的投影能用 a,b的坐标表示吗? 提示:能.向量a在向量b方向上的投影为|a|cosθ (θ 为向量a与b的 夹角),而cosθ =
a?b a ? b x1x 2 ? y1 y 2 ? . ,所以|a|cosθ = 2 2 | a || b | b x 2 ? y2

2.已知a=(-3,4),b=(5,2),则a·b的值是( A.23 B.7 C.-23 D.-7

)

【解析】选D.由数量积的计算公式,a·b=(-3,4)·(5,2)= -3×5+4×2=-7.

3.已知向量a=(x-5,3),b=(2,x),且a⊥b,则由x的值构成的集合 是( ) B.{-1,6} D.{6}

A.{2,3} C.{2}

【解析】选C.因为a=(x-5,3),b=(2,x), 又a⊥b,所以a·b=2(x-5)+3x=0,解得x=2,则由x的值构成的集合 是{2}.

4.已知a=(1, 3 ),b=(-2,0),则|a+b|=______.
【解析】因为a+b=(-1, 3 ),

所以|a+b|= ? ?1?2 ?
答案:2

? 3?

2

? 2.

5.a=(-4,3),b=(1,2),则2|a|2-3a·b=______.

【解析】因为a=(-4,3),
所以2|a|2= 2 ?

?

? ?4 ?

2

? 32

? ? 50.
2

a·b=-4×1+3×2=2.
所以2|a|2-3a·b=50-3×2=44.

答案:44

【知识探究】 知识点1 平面向量数量积及模的表示

观察如图所示内容,回答下列问题:

问题1:向量的数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗? 问题2:向量的模的坐标表示可以解决哪些问题?

【总结提升】 1.数量积坐标表示的作用及记忆口诀 (1)作用:数量积的坐标表示的实质是用向量的坐标计算数量积的一 个公式;它实现了向量的数量积的运算与两向量的坐标的运算的转化, 从而将它们联系起来. (2)记忆口诀:数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”.

2.向量的模的坐标运算的实质 向量的模即为向量的长度,其大小应为平面直角坐标系中两点间的距 离,如a=(x,y),则在平面直角坐标系中,一定存在点A(x,y),使
2 得 OA=a=(x,y),所以| OA |=|a|= x 2 ? y,即 |a|为点A到原点的距离.

同样若A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB=(x2-x1,y2-y1),所以| AB |=

? x 2 ? x1 ?

2

2 即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式.由 ? ? y 2 ? y1 ? ,

此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算.

知识点2

向量垂直、夹角余弦值的坐标表示

观察如图所示内容,回答下列问题:

问题1:两个向量夹角公式的条件是什么? 问题2:两个向量的数量积和两个向量夹角的余弦值有何关系? 问题3:两个向量垂直条件与平行条件的运算有何区别?

【总结提升】 1.向量垂直的坐标表示 (1)记忆口诀和注意问题 注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条件不要混淆, “a⊥b?x1x2+y1y2=0”可简记为“对应相乘和为0”;“a∥b?x1y2x2y1=0”可简记为“交叉相乘差为0”. (2)可以解决的问题 应用公式可解决向量垂直,两条直线互相垂直等问题.

2.平面向量夹角的余弦公式的应用条件及使用策略 (1)应用条件 已知两个非零向量的坐标,可以利用该公式求得夹角的余弦值. (2)在不同表示形式下求向量夹角的策略 ①当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角,需求出a·b,|a|和|b| 或直接得出它们之间的关系. ②若a,b是坐标形式,则可直接利用公式cosθ = 求解.
x1x 2 ? y1 y 2 x12 ? y12 ? x 2 2 ? y 2 2

【题型探究】 类型一 平面向量数量积的坐标运算

【典例】1.(2015·三明高一检测)已知向量a=(2,1),b=(x,2),
且a·b=1,则x的值为( )

A.- 1

2.已知向量a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1),求 (1)2a·(b-a). (2)(a+2b)·c. (3)a·(b·c).

2

B. 1

2

C.-1

D.1

【解题探究】1.典例1中,利用哪个条件建立关于x的方程? 提示:根据a·b=1建立关于x的方程. 2.典例2中,向量数量积的运算满足哪些运算律? 提示:向量数量积的运算满足数乘结合律(λa)·b=λ(a·b) =a·(λb);满足分配律(a+b)·c=a·c+b·c.

【解析】1.选A.因为a=(2,1),b=(x,2),所以a·b=2x+1×2=1, 解得x=- 1 .
2

2.(1)方法一:2a=2(1,3)=(2,6), b-a=(2,5)-(1,3)=(1,2), 所以2a·(b-a)=(2,6)·(1,2)=2×1+6×2=14. 方法二:2a·(b-a)=2a·b-2a2 =2(1×2+3×5)-2(1+9)=14.

(2)方法一: a+2b=(1,3)+2(2,5)=(1,3)+(4,10)=(5,13), (a+2b)·c=(5,13)·(2,1)=5×2+13×1=23. 方法二:(a+2b)·c=a·c+2b·c =1×2+3×1+2(2×2+5×1)=23. (3)因为b·c=2×2+5×1=9, 所以a·(b·c)=9a=9(1,3)=(9,27).

【方法技巧】数量积运算的途径及注意点 (1)两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算; 二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. (2)注意点:对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,注意把握 图形特征,并写出相应点的坐标即可求解.

【变式训练】已知a=(2,-1),b=(3,-2),则(3a-b)·(a-2b) =________. 【解析】因为a·b=2×3+(-1)×(-2)=8,a2=22+(-1)2=5, b2=32+(-2)2=13, 所以(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3×5-7×8+2×13=-15. 答案:-15

【一题多解】本题还可以采用以下方法: 因为a=(2,-1),b=(3,-2), 所以3a-b=(6,-3)-(3,-2)=(3,-1), a-2b=(2,-1)-(6,-4)=(-4,3). 所以(3a-b)·(a-2b)=3×(-4)+(-1)×3 =-15. 答案:-15

类型二

向量的模的问题

【典例】1.(2015·石家庄高一检测)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2), 且a∥b,则|a+b|=(
A. 5 B. 5 2

)
C.2 5 D.5

2.若向量a的始点A(-2,4),终点B(2,1),求

(1)a的模.
(2)与向量a平行的单位向量的坐标.

(3)与向量a垂直的单位向量的坐标.

【解题探究】1.典例1中如何求x的值?向量的模的坐标表达式是什么?
提示:由a∥b利用向量共线的坐标表示求x的值.向量a=(x,y)的模为

|a|= x 2 ? y 2 .
2.典例2中与向量a平行的单位向量是什么?与向量a垂直的单位向量可

以表示成什么?
提示:与向量a平行的单位向量是±
a ,与向量a垂直的单位向量可以 a

表示为a·e=0.

【解析】1.选B.因为a=(x,1),b=(1,-2),且a∥b, 所以-2x-1×1=0,解得x=- 1 .
2 1 所以 a ? b ? (? 1 , 1) ? ?1 , ? 2? ? ( , ? 1) 2 2

1 2 5 2 a ? b ? ( ) ? ? ?1? ? . 2 2

2.(1)因为a= AB=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以|a|= 42 ? ? ?3?2 ? 5.
? ) (2)与向量a平行的单位向量是± a ? ? 1(4,-3),即坐标为 ( , 5 5 4 3
a 5

或 (? , ).
x 3 ? , y 4 3 3 ?x 3 ? ? ? , x ? , x ? ? , ?y 4 ? ? 2 2 5 又因为|e|=1,所以x +y =1,联立 ? 解得 ? 5 或 ? ? ? ?x 2 ? y2 ? 1 4 , ?y ? ?y ? ? 4 . ? ? ? 5 5 ? ? 4 3 4 所以坐标为 ( 3, )或( ? , ? ). 5 5 5 5

4 3 5 5

(3)与向量a垂直的单位向量为e=(x,y),则a·e=4x-3y=0,所以

【延伸探究】 1.(变换条件)若将典例1中条件“a∥b”变为“a⊥b”,结论如何? 【解析】因为a⊥b,所以a·b=0,即x-2=0. 所以x=2,所以a=(2,1),所以a2=5. 又因为b2=5, 所以 a ? b ? ? a ? b ?2 ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ? 10.

2.(改变问法)若典例1中条件不变,求|2a-3b|的值?

【解析】 2a-3b= 2(? 1 , 1) ? 3(1, ? 2)
2

=(-1,2)-(3,-6)=(-4,8)

所以|2a-3b|= ? ?4 ? ? 82 ? 4 5.
2

【方法技巧】求向量的模的两种基本策略

(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2将向量的模的运算转化为向量与
向量的数量积的问题.

(2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),a·a=a2=x2+y2,于是有|a|=
x 2 ? y2 .

【补偿训练】已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是( A.1 B.2 C. 2 ) D. 2
2

【解析】因为|a|=|b|=1,a·b=0,展开(a-c)·(b-c)=0后得 |c|2=c·(a+b),由于a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,故 |a+b|= 2 ,设<a+b,c>=θ,则|c|2=c·(a+b)=|c|·|a+b|cosθ, 当|c|≠0时,|c|=|a+b|·cosθ= 2 cosθ≤

2 ,故|c|的最大值是 2 .

类型三

向量的夹角和垂直问题

【典例】1.(2015·长春高一检测)已知a=(1, 3 ),b=( 3 +1, 3 -1), 则a与b的夹角为________. 2.已知三个点A,B,C的坐标分别为(3,-4)、(6,-3)、(5-m,-3-m), 若△ABC为直角三角形,且∠A为直角,实数m的值为________. 3.已知|a|=1,a·b= 1 ,(a-b)·(a+b)= 1 ,求:
2 2

①a与b的夹角; ②a-b与a+b的夹角的余弦值.

【解题探究】1.典例1中,如何求a与b的夹角? 提示:利用cos θ =
x1x 2 ? y1 y 2 a ?b ? . 2 2 2 2 | a || b | x1 ? y1 ? x 2 ? y 2

2.典例2中∠A为直角得出什么样的结论? 提示:由∠A为直角,得出 AB ? AC. 即 AB ? AC ? 0. 3.典例3中解决本题的关键是什么? 提示:关键是求|b|,|a-b|和|a+b|的值,然后运用夹角公式求解.

【解析】1.由a=(1, 3 ),b=( 3 +1, 3 -1),得a·b= 3 +1+ 3 × ( 3 -1)=4,|a|=2,|b|=2 2 . 设a与b的夹角为θ,则cos θ= 答案: ?
4

a ?b 2 又0≤θ≤π,所以θ= ? . ? , | a || b | 2 4

2.由已知,得 AB =(3,1),
AC =(2-m,1-m).

因为△ABC为直角三角形,且∠A为直角, 所以 AB ? AC. 所以 AB ? AC =3(2-m)+(1-m)=0, 解得m= 7 .
4 答案: 7 4

3.①因为(a-b)·(a+b)=|a|2-|b|2= , 又因为|a|=1,所以|b|=
2 . 2
1 2 1? 2 2

1 2

设a与b的夹角为θ,则cos θ=

a ?b ? | a || b |

?

2 . 2

所以θ=45°.即a与b的夹角为45°.

②因为(a-b)2=a2-2a·b+b2= 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 ,
2 2 2

所以|a-b|=

2 . 2

因为(a+b)2=a2+2a·b+b2= 1 ? 2 ? ? ? , 所以|a+b|= 10 .
2

1 2

1 2

5 2

设a-b与a+b的夹角为φ, 则cosφ=

?a ? b ? ? ?a ? b ? ?
a?b a?b

1 2 2 10 ? 2 2

?

5 . 5

所以cosφ= 5 .即(a-b)与(a+b)的夹角的余弦值为 5 .
5 5

【延伸探究】典例2中若把条件中的“∠A为直角”去掉,结果如何?

【解析】由已知得 AB =(3,1), BC =(-1-m,-m), AC =(2-m,1-m),
由△ABC为直角三角形,则当∠A为直角时,由原题得m= 当∠B为直角时,AB ? BC ,
3 则 AB ? BC =3(-1-m)-m=0,得m=- . 4 7 . 4

当∠C为直角时,AC ? BC , 则 AC ? BC =(2-m)(-1-m)+(1-m)(-m)=0, 即m2-m-1=0,解得m= 1 ? 5 .
2
7 4 3 1? 5 . 4 2

综上知,当△ABC为直角三角形时,m的值为 , ? ,

【方法技巧】解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法:先利用平面向量的坐标表示出这两个向量的数量积a·b 及|a||b|,再由cos θ =
a?b ? | a || b | x1x 2 ? y1 y 2 x ? y ? x 2 ? y2
2 1 2 1 2 2

直接求出cos θ .

(2)注意事项:利用三角函数值cos θ 求θ 的值时,应注意角θ 的取值 范围是0°≤θ ≤180°.利用cos θ = a ? b 判断θ 的值时,要注意
| a || b |

cos θ <0时,有两种情况:一是θ 是钝角,二是θ 为180°;cos θ >0 时,也有两种情况:一是θ 是锐角,二是θ 为0°.

【变式训练】(2014·湖北高考)设向量a=(3,3),b=(1,-1),若 (a+λ b)⊥(a-λ b),则实数λ =________. 【解析】因为a+λb=(3+λ,3-λ),a-λb=(3-λ,3+λ), 因为(a+λb)⊥(a-λb), 所以(3+λ)(3-λ)+(3-λ)(3+λ)=0, 解得λ=±3. 答案:±3

【误区警示】解题时要明确知道(a+λ b)⊥(a-λ b)的充要条件是

(a+λ b)·(a-λ b)=0,不要与向量平行的充要条件弄混.

【补偿训练】1.a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18), 则a,b夹角的余弦值等于(
A. 8 65 B. ? 8 65 C.

)
16 65 D. ? 16 65

【解析】选C.设b=(x,y),a,b的夹角为θ,则2a+b=(8+x,6+y) =(3,18),解得x=-5,y=12, 故b=(-5,12).由cosθ= a ? b ? 16 .
| a || b | 65

2.已知A(2,1),B(3,2),C(-1,5),求证△ABC是锐角三角形. 【解题指南】△ABC是锐角三角形,即三个内角都是锐角,分别求出 相应向量夹角的余弦值,确定该三角形三个内角的余弦值均大于 0即 可.

【证明】由条件得 AB =(1,1),BC =(-4,3), CA=(3,-4),
因为 AB ? BC =-4+3=-1<0,

所以 AB、 BC 的夹角是钝角,从而∠ABC为锐角.
同理∠BCA,∠BAC也为锐角,所以△ABC是锐角三角形.

规范解答

平面向量数量积坐标运算的综合应用

【典例】(12分)(2015·南昌高一检测)已知点A(-1,0),点B(0,1),

点P(x,x-1).
(1)求证:∠APB恒为锐角.

(2)若四边形ABPQ为菱形,求 BQ ? AQ 的值.

【审题指导】(1)要证∠APB恒为锐角,只需证明cos∠APB>0,及 ∠APB≠0°. (2)要求 BQ ? AQ 的值,只需由 AB ?| BP |及 PQ ? BA求出P,Q两点的坐标.

【规范解答】(1)因为P(x,x-1),

(2)因为四边形ABPQ为菱形,

【题后悟道】 1.注意函数与方程思想的应用 解答向量坐标运算问题时,要注意函数、方程有关知识的应用.如本 例中, PA ? PB =2x2-2x+2=2(x2-x+1),可以用二次函数的知识求最值. 解方程(x+1)(x-2)-(x-1)x=0,可以判断两个向量是否共线.

2.重视向量及其运算的几何意义的应用 在解答向量问题时,恰当利用向量及其运算的几何意义可以达到建立 向量模型解题的目的.如本例中,由四边形ABPQ为菱形,可推
AB ? BP , PQ ? BA.


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