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四川省古蔺县中学高中数学 2.7.2对数运算性质课件 新人教A版必修1

对数运算性质

一、复习
1、对数的定义 一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就 是ab=N,那么数b就叫做以a为底N的对数,记作 logaN=b,其中a叫做底数,N叫做真数,式子logaN叫 做对数式. 2、对数和指数的关系
式子 名称 a b N

指数式 对数式

ab=N logaN=b

底数 底数

指数 对数

幂 真数

3、思考:如果看到logaN=b这个式子会有何联想?

( 1 )a ? 0 (3)N ? 0

(2)a ? 1

(4)a ? N
b

二、对数的运算性质
b log a ? 1, (1) log a 1 ? 0, log a a ? b; a

(2)a

loga N

? a ? N.
b

log 2 4, log 2 2 之间的关系: 观察对数值 log 2 8,
(1)
(2)
(3)

log 2 8 ? log 2 4 ? log 2 2;
log 2 4 ? log 2 8 ? log 2 2;
log 2 22 ? 2 log 2 2.

猜想:积的对数等于对数的和 即:
log a ( MN ) ? log a M ? log a N .

证明:令 log a M ? p , log a N ? q,
? MN ? a p ? a q .

? log a ( MN ) ? p ? q ,即: log a ( MN ) ? log a M ? log a N .

思考:1、这个法则的适用条件是什么? 每个对数都有意义,即M>0,N>0; a>0且a≠1 . 2、这个法则的特点是什么? 等号左端是乘积的对数,右端是对数的和, 从左往右看是一个降级运算.

M 同理 : log a ? log a M ? log a N , N
log a M n ? n log a M 均成立.

自己动动 手验证一 下吧

证明(2):设 logaM=p,logaN=q.. 根据对数的定义可以写成M=ap,N=aq M ap ? ? q ? a p ?q , N a M ? log a ( ) ? p ? q. N

M 即 : log a ? log a M ? log a N . N

(3)

log a M ? n log a M .
n

证明(3):设

logaM=p.

根据对数的定义得 M=ap,Mn=aqn.

? log a M n ? np.
即: log a M n ? n log a M
引申: log a 1 M ? log a M n
n

成立,

成立.
证明 交给 你啦

三、例题1:观察下列解法是否正确,并说明理由 1 (1) log 9 3 ? log 9 27 (2) log 2 ? log 1 2 2 2
(3) log 2 (4 ? 4) lg10000 (4) lg1000

解:(1) log 9 3 ? log 9 27 ? log 9 (3 ? 27) ? log 9 81 ? 2 1 1 (2) log 2 ? log 1 2 ? log 2 ? 2 ? log 2 1 ? 0 2 2 2 (3) log 2 (4 ? 4) ? log 2 4 ? log 2 4 ? 4
lg10000 10000 (4) ? lg ? lg10 ? 1 lg1000 1000

错误原因:
第(2)题在同底的情况下才能运用对数运算法则. 第(3)题注意法则(1)的内容是:
log a ( MN ) ? log a M ? log a N

第(4)题错!法则(2)的内容是:
M log a ? log a M ? log a N N

答案: (2) -2

(3) 3

4 (4) 3

例2 用logax,logay,logaz表示下列各式:
2 x ? y xy x 3 5 (1) log a ; (2) log a x y ; (3) log a ; (4) log a 3 . z yz z

解:
(1) log a xy ? log a xy ? log a z ? log a x ? log a y ? log a z, z

(2) log a x3 y 5 ? log a x3 ? log a y 5 ? 3log a x ? 5log a y,
x 1 (3) log a ? log a x ? log a yz ? log a x ? (log a y ? log a z ) yz 2

1 ? log a x ? log a y ? log a z, 2

(4) log a

x2 ? y
3

z

? log a x 2 ? y ? log a 3 z ? log a x 2 ? log a

y ? log a z

1 3

1 1 ? 2log 2 x ? log a y ? log a z. 2 3

四、练习 计算: (1) log 2 (47 ? 25 ) 答案: (1) 19 (2)
(2) lg 5 100 2 5

五、小结

对数的运算性质

(1) log a 1 ? 0 , log a a ? 1 , log a a b ? b
(2)a loga N ? a b ? N
(3) log a ( MN ) ? log a M ? log a N

M (4) log a ? log a M ? log a N N (5) log a M n ? n log a M
(6) log a 1 M ? log a M n
n


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