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高二回归分析的基本思想及其初步应用






高二

学科

数学

内容标题 编稿老师

回归分析的基本思想及其初步应用 沈凯

1. 线性回归的计算 (1)列表: xi , y i , xi y i , xi , y i (2)计算: x ?
n
2 2

1 1 ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) , y ? ( y1 ? y 2 ? ? ? y n ) n n
n i ?1

i ?1 n

2 2 2 2 ? xi2 ? x12 ? x2 ? ? ? xn , ? yi2 ? y12 ? y 2 ? ? ? y n

i ?1

? xi yi ? x1 y1 ? x2 y 2 ? ? ? xn y n
i ?1 n

(3) b ?

? xi y i ? n x y
i ?1

n

? x ? nx
2 i

2

a ? y ? bx

(4) r ?

i ?1 n

? ( xi ? x)( yi ? y )
n i ?1

n

?

i ?1 n

? xi y i ? n x y
n i ?1

n

i ?1

? ( xi ? x ) 2 ? ? ( y i ? y ) 2

( ? xi2 ? n x)( ? yi2 ? n y )
i ?1

? (5)线性回归直线: y ? bx ? a
2. 总偏差平方和: ( y1 ? y) ? ? ? ( y n ? y) ? ? ( yi ? y)
2 2 i ?1 n 2

? ? 3. 残差: ei ? y i ? y i

? ? ? 4. 残差平方和: ? ( yi ? yi ) ? ( y1 ? y1 ) ? ? ? ( y n ? y n )
2 2 i ?1

n

2

【典型例题】
[例 1] 为研究某市家庭年平均收入与年平均生活支出的关系, 该市统计调查队随机调查 了 10 个家庭,数据如下: i 家庭编号) 1 ( 2 1.1 1.0 3 1.3 1.2 4 1.5 1.0 5 1.5 1.3 6 1.8 1.5 7 2.0 1.3 8 2.2 1.7 9 2.4 2.0 10 2.8 2.5

x i (收入)
(支出)

0.8 0.7

求回归直线方程

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解:列表

i
xi yi yi yi
xi2 y i2

1 0.8 0.7 0.5

2 1.1 1.0 1.1

3 1.3 1.2 1.56

4 1.5 1.0 1.5

5 1.5 1.3 1.95

6 1.8 1.5 2.7

7 2 1.3 2.6

8 2 1.7 3.4

9 2.4 2.0 4.8

10 2.8 2.5 7.0

6 0.6 1.21 4 0.4 1.0 9 1.44 1.0 1.69 2.25 1.69 2.89 4.0 6.25 1.69 2.25 2.25 3.24 4.0 4.0 5.76 7.84

x ? 1.72 , y ? 1.42
i ?1

? xi2 ? 32.88 , ? yi2 ? 22.7 , ? xi yi ? 27.17
i ?1 i ?1

n

n

n

r ? 0.950, b ? 0.833, a ? ?0.013
∴ 回归直线 y ? 0.833 x ? 0.013

? [例 2] 线性回归方程 y ? bx ? a 过定点
解: a ? y ? b x ,

.

? ∴ y ? bx ? y ? b x ,

? ∴ y ? y ? b( x ? x ) ,

∴ 过定点( x, y ).

[例 3] 某市煤气消耗量与使用煤气户数的历史资料如下: i(年) x(户数,万户)
3

1 1

2 1.2 7

3 1.6 9.8

4 1.8 12

5 2 12.1

6 2.5 14.5

7 3.2 20

8 4 24

9 4.2 25.4

10 4.5 27.5

y (煤气量, 百方米 ) 6

(1)检验是否线性相关; (2)求回归方程; (3) 若该市政府计划下一步再扩大 5 千煤气用户, 试预测该市煤气消耗量将达到多少?

i
xi

1 1

2 1.2

3 1.6

4 1.8

5 2.0

6 2.5

7 3.2

8 4

9 4.2

10 4.5

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yi xi yi
xi2 y i2

6 6 1 36

7 8.42 1.44 49

9.8 15.68 2.56 96.04

12 21.6 3.24 144

12.1 24.2 4 146.41

14.5 36.25 6.25 210.25

20 64 10.24 400

24 96 16 576

25.4 106.98 17.64 645.16

27.5 123.75 20.25 756.25

x ? 2.6, y ? 15.83 , r ? 0.998 线性相关

? b ? 6.06, a ? 0.07 ,∴ y ? 6.06 x ? 0.07
∴ 煤气消耗量将达 3037 万米 3

? x0 ? 4.5 ? 0.5 ? 5 代入 y ? 30.37

[例 4] 某种书每册的成本费 y(元)与印刷册数 x(千册)有关,经统计得到数据如下: x y 1 10.15 2 5.52 3 4.08 5 2.85 10 2.11 20 1.62 30 1.41 50 1.30 100 1.21 200 1.15

检验每册书成本费 y 与印刷册数倒数 的回归方程. 解:首先设变量 u ?

1 之间是否具有线性相关关系,如有,求 y 对 x x

1 ,题目所给的数据变成如下表所示的数据: x
0.33 4.08 0.2 2.85 0.1 2.11 0.05 1.62 0.03 1.41 0.02 1.30 0.01 1.21 0.005 1.15

ui yi

1 10.15

0.5 5.52

经计算得 r ? 0.9998 ? 0.75 ,从而认为 u 与 y 之间具有线性相关关系,

? ? ? 由公式得 a ? 1.125, b ? 8.973 ,所以 y ? 1.125 ? 8.973 x
最后回代 u ?

1 8.973 ? ,可得 y ? 1.125 ? x x

[例 5] 营养学家为研究食物中蛋白质含量对婴幼儿生长的影响, 调查了一批年龄在两个 月到三岁的婴幼儿, 将他们按食物中蛋白质含量的高低分为高蛋白食物组和低蛋白食物组两 组,并测量身高,得到下面的数据:高蛋白食物组 年龄 身高 0.2 54 0.5 54.3 0.8 63 1 66 1 69 1.4 73 1.8 82 2 83 2 80.3 2.5 91 2.5 93.2 3 94 2.7 94

低蛋白食物组 年龄 0.4 0.7 1 1 1.5 2 2 2.4 2.8 3 1.3 1.8 0.2 3

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身高

52

55

61

63.4

66

68.5

67.9

72

76

74

65

69

51

77

身高与年龄近似有线性关系,检验:不同食物的婴幼儿的身高有无差异;若存在,这种 差异有何特点? 解:对高蛋白的食物组,设年龄 x,身高为 y,则
n n n 1 n 1 n S xx ? ? xi2 ? ( ? xi ) 2 ? 9.69, S xy ? ? xi yi ? ( ? xi )( ? yi ) ? 154 .81 i ?1 i ?1 i ?1 n i ?1 n i ?1

? S xy ? 154 .81 ? 15.97 , a ? 76.8 ? 15.97 ?1.65 ? 50.40 ? b? S xx 9.69
回归方程 y ? 50.40 ? 15.97 x 对低蛋白食物组,设年龄为 x,身高为 y,同样可得线性回归方程为

y ? 51.226 ? 8.686 x ,通过对斜率、截距进行比较,可以看出不同食物对婴儿的身高
有显著的差异,且高蛋白食物组同龄婴幼儿身高明显高些.

[例 6] 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元) ,有如下的统计资 料: x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

若由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系,试求: (1)线性回归方程; (2)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少? (3)计算总偏差平方和、残差平方和及回归平方和. (4)求 R 并说明模型的拟合效果. 解析: (1)列表如下:
2

i
x y

1 2 2.2 4.4 4
5

2 3 3.8 11.4 9

3 4 5.5 22.0 16

4 5 6.5 32.5 25

5 6 7.0 42.0 36

xi yi

x2
5 i ?1 i ?1

x ? 4, y ? 5, ? xi2 ? 90, ? xi yi ? 112 .3

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b?

i ?1 5

? xi y i ? 5 xy
i ?1

5

? xi2 ? 5 x

2

?

112 .3 ? 5 ? 4 ? 5 ? 1.23 90 ? 5 ? 4 2

于是 a ? y ? b x ? 5 ? 1.23 ? 4 ? 0.08 ∴ 线性回归方程为: y ? 1.23 x ? 0.08

? (2)当 x ? 10 时, y ? 1.23 ? 10 ? 0.08 ? 12.38 (万元)
即估计使用 10 年时维修费用约是 12.38 万元. (3)总偏差平方和: ? ( yi ? y) ? 15.78
2 i ?1 n

? 残差平方和: y1 ? 2.46 ? 0.08 ? 2.54
? ? ? ? ? y 2 ? 3.77, y3 ? 5, y 4 ? 6.23, y5 ? 7.46 , ? ( yi ? yi ) 2 ? 0.651
i ?1 n

回归平方和: 15.78 ? 0.651 ? 15.129 (4) R ? 1 ?
2 i ?1 n

? ? ( yi ? yi ) 2
i ?1

n

? 1?

? ( yi ? y) 2

0.651 ? 0.9587 15 .78

模型拟合效果较好,使用年限解释了 95.87%的维修费用支出.

[例 7] 炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,必须 掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系, 如果已测得炉料熔化完毕的钢水的含碳量 x 与冶炼时间 y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据,如下表所示: x(0.01%) y(分钟) 104 100 180 200 190 210 177 185 147 155 134 135 150 170 191 205 204 235 121 125

(1)画出散点图; (2)如果 y 与 x 具有线性相关关系,求回归直线方程; (3)预测当钢水含碳量为 160 个 0.01%时,应冶炼多少分钟? 解析: (1)画出的散点图如图所示

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(2)由已知条件制成下表:

i
xi yi xi yi

1 104 100 10400

2 180 200 36000

3 190 210 39900

4 177 185 32745

5 147 155 22785

i
xi yi xi yi

6 134 135 18090
10 2

7 150 170 25500

8 191 205 39155
10 2

9 204 235 47940

10 121 125 15125
10

∴ x ? 159 .8, y ? 172 , ? xi ? 265448 , ? yi ? 312350 , ? xi yi ? 287640 ,
i ?1 i ?1 i ?1
10

∴ b?

i ?1 10

? xi y i ? 10 x y
i ?1

? x ? 10 x
2 i

2

? 1.267 ,

? a ? y ? b x ? ?30.47 ,

? 所求回归直线方程为 y ? 1.267 x ? 30.47 . ? (3)当 x ? 160 时, y ? 1.267 ? 160 ? 30.47 ? 172 (分钟) ,即大约冶炼 172 分钟

[例 8] 一个工厂在某年里每月新产品的总成本 y(万元)与该月产量 x(万件)之间有 如下一组对应数据: x y x y 1.08 2.25 1.59 2.92 1.12 2.37 1.68 3.03 1.19 2.40 1.80 3.14 1.28 2.55 1.87 3.26 1.36 2.64 1.98 3.36 1.48 2.75 2.07 3.50

(1)画出散点图; (2)求月总成本 y 与月产量 x 之间的回归直线方程. 解: (1)散点图如图所示

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(2)经计算可得 x ?
12 12

12 18.5 34.17 ,y ? ? 2.8475 , ? xi2 ? 29.808 i ?1 12 12

i ?1

? yi2 ? 99.2081, ? xi yi ? 54.243
i ?1
12

18.5 ? 2.8475 i ?1 12 b ? 12 ? ? 1.215 18.5 2 2 2 ? xi ? 12 x 29.808 ? 12 ? ( ) i ?1 12 18.5 ? a ? y ? b x ? 2.8475 ? 1.215 ? ? 0.974 12 ? xi yi ? 12 x y 54.243 ? 12 ?
? 故所求的回归直线方程 y ? 1.215 x ? 0.974

【模拟试题】 (答题时间:30 分钟)
1. 在画两个变量的散点图时,下面哪个叙述是正确的( A. 预报变量在 x 轴上,解释变量在 y 轴上 B. 解释变量在 x 轴上,预报变量在 y 轴上 C. 可以选择两个变量中任意一个变量在 x 轴上 D. 可以选择两个变量中任意一个变量在 y 轴上 2. 一位母亲记录了儿子 3~9 岁的身高,由此建立的身高与年龄的回归横型为 用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高, 则正确的叙述是 ( y ? 7.19 x ? 73.93 , A. 身高一定是 145.83cm C. 身高在 145.83cm 以下 B. 身高在 145.83cm 以上 D. 身高在 145.83cm 左右 ) )

3. 两个变量 y 与 x 的回归模型中, 分别选择了 4 个不同模型, 它们的相关指数 R2 如下, 其中拟合效果最好的模型是(
2

) B. 模型 2 的相关指数 R 为 0.80 D. 模型 4 的相关指数 R 为 0.25
2 2

A. 模型 1 的相关指数 R 为 0.98 C. 模型 3 的相关指数 R 为 0.50
2

4. 工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为 y ? 60 ? 90 x ,下 列判断正确的是( )
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A. 劳动生产率为 1000 元时,工资为 50 元 B. 劳动生产率提高 1000 元时,工资提高 150 元 C. 劳动生产率提高 1000 元时,工资提高 90 元 D. 劳动生产率为 1000 元时,工资为 90 元 5. 在回归分析中,残差图中纵坐标为( A. 残差 B. 样本编号 C. x )

D. e n

6. 通过 e1 , e2 ?, en 来判断模拟型拟合的效果,判断原始数据中是否存在可疑数据,这 种分工称为( A. 回归分析 ) B. 独立性检验分析 C. 残差分析 D. 散点图分析

7. 一台机器使用的时间较长,但还可以使用,它按不同的转速生产出来的某机械零件 有一些会有缺点,每小时生产有缺点零件的多少,随机器的运转的速度而变化,下表为抽样 试验的结果: 转速 x (转/秒) 每小时生产有缺点的零件数 y (件) (1)变量 y 对 x 进行相关性检验; (2)如果 y 对 x 有线性相关关系,求回归直线方程; (3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 10 个,那么机器的运转 速度应控制在什么范围内? 11 9 8 16 14 12 8 5

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【试题答案】
1. B 2. D 3. A 4. C 5. A 6. C 7. 解: r ? 0.995 ,所以 y 与 x 有线性相关关系,

? y ? 0.7286 x ? 0.8571 ,

, y ? 10, x ? 14.9 0 1 3

∴ x 小于 14.9013.

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