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第5讲 简便计算(四)——裂项相消法


第5讲

简便计算(四)—— 列项相消法(拆分法)

一:裂项相消法(拆分法) :把一个分数拆成两个或两个以上分数相减或相
加的形式,然后再进行计算的方法叫做裂项相消法,也叫拆分法。

二:列项相消公式 (1)
1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(2)

k 1 1 ? ? n?n ? k ? n n ? k
1 1 1 1 ?( ? )? n(n ? k ) n n?k k
? ? 1 1 1 1 ?? ? ? ?? n ? n ? 1?? n ? 2 ? ? ? n ? n ? 1? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? 2
a?b 1 1 ? ? a?b a b

(3)

(4) (5) (6)

a 2 ? b2 b a ? ? a?b a b

三:数列 (1)定义:按一定的次序排列的一列数叫做数列。
(2)数列中的每一个数叫做这个数列的项。依次叫做这个数列的第一项(首项) 、第二 项、 、 、 、 、 、第 n 项(末项) 。 (3)项数:一个数列中有几个数字,项数就是几。 四:等差数列 (1)定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这 个数列就叫做等差数列。而这个常数叫做等差数列的公差。 (2)等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2 (3)等差数列的项数=(末项-首项)÷公差+1 (4)等差数列的末项=首项+公差×(项数-1)

三:经典例题 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 例 1、 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 5 ? 6 6 ? 7 7 ? 8
(例 1、例 2、例 3 的运算符号都是加号相连,分母都可以分解为两个连续正整数的积可用 公式

1 1 1 ? ? ) n(n ? 1) n n ? 1

- 17 -

1 1 1 1 1 1 1 例 2、 ? ? ? ? ? ? 2 6 12 20 30 42 56

1 1 1 1 1 1 1 1 1 例 3、 1+3 +5 +7 +9 +11 +13 +15 +17 +19 6 12 20 30 42 56 72 90 110

例 4、

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9 9 ?11 11?13

1 1 1 1 1 例 5、 ? ? ? ? 3 15 35 63 99

1 1 1 1 1 例 6、 1 +3 +5 +7 +9 3 15 35 63 99

- 18 -

例 7、

1 1 1 1 1 + + + + 1? 4 4 ? 7 7 ?10 10 ?13 13 ?16

例 8、

2 2 2 2 2 + + +? + + 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 2001? 2003 2003 ? 2005

3 5 7 9 11 13 15 例 9、 - + - + - + 2 6 12 20 30 42 56
数相加的和。可用公式

例 10、

35 49 63 77 91 105 ? ? ? ? ? 6 12 20 30 42 56

(例 9 和例 10 的运算符号是一减一加,分母能分解成两个连续数相乘,分子恰好是这两个

a?b 1 1 ? ? ) a?b a b

1 5 11 19 9701 9899 + 例 11、 + + + + ? ? 2 6 12 20 9702 9900
(观察到每个分数分母都比分子多 1,分解分母,可以看出分母都是两个两个连续的数相乘 的形式,想方设法将每个分数的分子都变为 1,可用列项相消法巧算。 )

- 19 -

7 13 21 31 43 57 73 91 例 12、 + + + + + + + 6 12 20 30 42 56 72 90
(观察到每个分数分子都比分母多 1,分解分母,可以看出分母都是两个两个连续的数相乘 的形式,想方设法将每个分数的分子都变为 1,可用列项相消法巧算。 )

例 13、 2

2

+ + + 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9 9 ?11

4

2

6

2

8

2

+ 10

2

例 14、

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 3 ? 4 ? 5 4 ? 5 ? 6 5 ? 6 ? 7

(观察到分子都是 1,分母是连续的三个数相乘,所以可以用公式

? ? 1 1 1 1 ?? ? ? ?? ) n ? n ? 1?? n ? 2 ? ? ? n ? n ? 1? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? 2

- 20 -

例 15、

12 ? 22 22 ? 32 32 ? 42 20012 ? 20022 ? ? ?? ? 1? 2 2?3 3? 4 2001? 2002
a 2 ? b2 b a ? ? 列项凑整,但不能相消。 ) a?b a b

(观察此题可用公式

四:考题精选 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1、 ? ? ? ? ? ? ? ? 6 12 20 30 42 56 72 90 110

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2、 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 11 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110

3、

1 1 1 1 1 ? ? ? ??? 2 ? 4 4 ? 6 6 ? 8 8 ?10 1998 ? 2000

- 21 -

4、

2 2 2 2 2 ? ? ? ?? ? 2 ? 4 4 ? 6 6 ? 8 8 ?10 98 ?100

1 1 1 1 1 5、 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 10 3 15 35 63 399

5 7 9 11 13 15 6、 1- + - + - + 6 12 20 30 42 56

7、

35 49 63 77 91 105 ? ? ? ? ? 6 12 20 30 42 56

- 22 -

8、

1 1 1 ? ?? ? 2 ? 3? 4 3? 4 ? 5 10 ?11?12

9、

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 1? 3 ? 5 3 ? 5 ? 7 5 ? 7 ? 9 7 ? 9 ?11 9 ?11?13 11?13 ?15

10、

1 1 1 1 ? ? ?? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2011

11、

12 ? 22 22 ? 32 32 ? 42 19992 ? 20002 ? ? ?? ? 1? 2 2?3 3? 4 1999 ? 2000

- 23 -

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