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高三数学集合与函数单元训练


2009-2010 年高三数学第一轮复习单元训练
(集合与函数部分)
一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.)

1、用二分法求 f ( x) ? 0 的近似解(精确到 0.1) ,利用计算器得 f (2) ? 0, f (3) ? 0 ,
f (2.5) ? 0, f (2.75) ? 0, f (2.625) ? 0, f (2.5625) ? 0 ,则近似解所在区间是(



A. (2.5,2.75) 2、设集合 M = {x | x ?

B. (2.5625,2.625)

C. (2.625,2.75)

D. (2.5,2.5625)

k 1 k 1 ? , k ? Z } ,N = {x | x ? ? , k ? Z } , 则( ) 2 4 4 2 A.M=N B.M ? N C.M ? N D.M ? N= ? x ?3 ( x ? 0) 1 3、已知 函数 f ( x) ? ? ,那么 f [ f ( )] 的值为 ( ) 4 log x ( x ? 0 ) ? 2 1 1 A. 9 B. C. ? 9 D. ? 9 9 x?3 4.为了得到函数 y ? lg 的图像, 只需把函数 y ? lg x 的图像上所有的点 ( 10 A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 5、幂函数(1) y=x-1 以及(2)直线 y=x, (3)y=1, (4)x=1 将直角坐 标系第一象限分成八个“卦限” :Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ,



(如图所示) ,则函数 y=x 的图象在第一象限中经过的“卦限”是 ( ) A、Ⅳ、Ⅶ B、Ⅳ、Ⅷ C、Ⅲ、Ⅷ D、Ⅲ、 Ⅶ

-3/2

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 6 、设函数 f ( x) ? ? 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( ? x ? 6, x ? 0
(?3,1) ? (3,??)



A

B (?3,1) ? (2,??) D (??,?3) ? (1,3)

C (?1,1) ? (3,??)

2 2 ) , B( , 0) ,顶点 C、D 位于第一 2 2 象限,直线 l : x ? t (0 ? t ? 2) 将正方形 ABCD 分成两部分,记位于直线 l 左

7、如图,正方形 ABCD 的顶点 A(0,

侧阴影部分的面积为 f (t ) ,则函数 S ? f (t ) 的图象大致是( ) 8、.对于正实数 ? ,记 M ? 为满足下述条件的函数 f ( x) 构成的集合: ?x1 , x2 ? R 且

x2 ? x1 ,有 ?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) .下列结论中正确的是 (
A.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 B.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 g ( x) ? 0 ,则
f ( x) ? M ?1 g ( x) ?2

)

C.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 D.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 ?1 ? ?2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2
二、填空题:(本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分.)

9、若 x ? R, n ? N * ,规定:H x ? x( x ? 1)( x ? 2) ????? ( x ? n ? 1) ,例如:

n

H

4 ?4

? (?4) ? (?3) ? (?2) ? (?1) ? 24 ,则 f ( x ) ? x ? H x ? 2 的奇偶性为
2

5

10、 y ? (log1 a) x 在 R 上为减函数,则 a ? 11、已知函数 f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当 0<x<3 时,f(x) 的图象如图所示,则不等式 f(x)cosx<0 的解集 是 . a?3 12、关于 x 的方程 5 x ? 有负根,则 a 的取值范围是__________ 5?a 13、汽车在匀速行驶过程中,汽油平均消耗率 g (即每小时的汽油耗油量,单位:
L/h ) km / h )之间满足: 与汽车行驶的平均速度 v (单位:

g?

1 (v ? 40)2 ? 3 1600 ( 0 ? v ? 150 ),

若定义“汽油的使用率最高”为每千米汽油平均消耗量最少(单位: L / km ),则汽油 的使用率最高时,汽车速度是 14、若函数 y
km / h .

1 ? ( )|1? x| ? m 的图象存在有零点,则 m 的取值范围是__________ 2

15、定义域和值域均为 ?? a, a ?(常数 a ? 0 )的函数 y ? f ?x ? 和 y ? g ?x ? 的图像如图 所示,给出下列四个命题: (1)函数 y= f ? ? g ? x ?? ? 有且仅有三个零点; (2)函数 y ? g ? ? f ? x ?? ? 有且仅有三个零点; (3)函数 y= f ? ? f ? x ?? ? 有且仅有九个零点;

(4)函数 y= g ? ? g ? x ?? ? 有且仅有一个零点; 那么,其中正确命题的序号是_________ 考室:______班级______ 姓名_____
选 择 题 答 题 区
1.用 2B 铅笔填涂; 2.修改时用橡皮擦干净; 3.填涂的正确方法是: 1 2 3 4

考试座位号______
5 6 7 8

答题卡

[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]

[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]

9. . 13.



10 .



11 .



12 .

.

14.__________.

15.__________

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 75 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. )

16、设 f ( x) 是定义在[-1,1]上的奇函数,且其图象上任意两点连线的斜率均小于零. (1)证明 f ( x) 在[-1,1]上是减函数; (2)如果 f ( x ? c), f ( x ? c 2 ) 的定义域的交集为空集,求实数 c 的取值范围;

17、二次函数 f(x)满足 f (x+1)-f (x)=2x 且 f (0)=1. ⑴求 f (x)的解析式; ⑵在区间[-1,1]上,y=f (x)的图象恒在 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的范围.

2 2 18、已知条件 p :函数 f ( x) ? log3 x ? 3(1 ? x ? 3) ,设 F ( x) ? f ( x) ? f ( x )

.(1)求 F ( x) 的最大值及最小值. 求实数 m 的取值范围.

(2)若条件 q :“ | F ( x) ? m |? 2 ”,且 p是q 的充分条件,

19. 某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在 2009 年度进行一系列促销 活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量 x 万件与年促销t万元之间满 足 3-x 与t+1 成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是 1 万 件,已知 2009 年生产化妆品的设备折旧,维修等固定费用为 3 万元,每生产 1 万件化妆品需再投入 32 万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为:其 生产成本的 150%“与平均每件促销费的一半”之和,则当年生产的化妆品正 好能销完. ⑴将 2009 年的利润 y(万元)表示为促销费t(万元)的函数 ⑵该企业 2009 年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? (注:利 润=销售收入—生产成本—促销费,生产成本=固定费用+生产费用)

20、对于函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 2(a ? 0) ,若存在实数 x0 ,使 f ( x0 ) ? x0 成 立,则称 x0 为 f ( x) 的不动点. ⑴、当 a=2,b=-2 时,求 f ( x) 的不动点;

⑵、若对于任何实数 b,函数 f ( x) 恒有两相异的不动点,求实数 a 的取值范 围; ⑶、在⑵的条件下,若 y ? f ( x) 的图象上 A、B 两点的横坐标是函数 f ( x) 的 不动点,且直线 y ? kx ? 围.
1 2a ? 1
2

是线段 AB 的垂直平分线,求实数 b 的取值范

1 21、已知 f(x)在(-1,1)上有定义,f( )=-1,且满足 x,y∈(-1,1)有 f(x)+f(y) 2

=f(

x? y ) 1 ? xy

⑴证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数;?⑵对数列 x1= f(xn);? ⑶求证
1 1 1 2n ? 5 ? ??? ?? f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) n?2

2xn 1 ,xn+1= ,求 2 1? xn2

参考答案
1、D ; 2、B ; 3、B ; 4、C ; 5、D ; 6、A ; 7、C ; 8、C 解析:对于 ?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) ,即有
?? ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ,令 ? k ,有 ?? ? k ? ? ,不妨设 f ( x) ? M?1 , x2 ? x1 x2 ? x1

g ( x) ? M? 2 ,即有 ??1 ? k f ? ?1 , ??2 ? kg ? ?2 ,因此有 ??1 ? ?2 ? k f ? kg ? ?1 ? ?2 ,
因此有 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 . 9、偶函数 ; -3<a<1; 13、
1 10、 ( ,1) ; 2
π π 11、? 2 ,-1?∪(0,1)∪? 2 ,3?; ? ? ? ?

12、

80 km / h .;

14、-1≤m<0



15、 (1)(4)

16、解: (1)由已知对任意的 x1 、 x2 ? [?1,1] ,且 x1 ? x 2 ,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,从而 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 异号,所以 f ( x) 在[-1,1]上是减函数. 2 2 2 (2)因为 f ( x ? c) 的定义域是 [c ? 1, c ? 1] , f ( x ? c ) 的定义域是 [c ? 1, c ? 1] , 2 2 因为以上两个集合的交集为空集,所以 c ? 1 ? c ? 1或c ? 1 ? c ? 1 解得: c ? 2或c ? ?1

x1 ? x2 与

17、解: (1)设 f(x)=ax2+bx+c,由 f(0)=1 得 c=1,故 f(x)=ax2+bx+1.
+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x. 即 2ax+a+b=2x,所以

∵f(x

?2a ? 2 ?a ? 1 , ,? ? ? ?a ? b ? 0 ?b ? ?1
∴f(x)=x2-x+1. (2)由题意得 x2-x+1>2x+m 在[-1, 1]上恒成立. 即 x2-3x+1-m>0 在[-1, 1]上恒成立. 设 3 g(x)= x2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线 x=2 ,所以 g(x) 在[-1,1]上递减.故只需 g(1)>0,即 12-3×1+1-m>0,解得 m<-1.
f ( x) ? log3 x ? 3,

18 (


1? x ? 9







1


2

?

x x 2 2 2 ) , ? F ( x) ? f ( x) ? f ( x ) ? (log3 ? 3) ? log3 ? 3

=

log32 x ? 4 log3 x ? 6

1? x ? 3

x 2 2 ; 令 t ? log3 ,则 t ? ?0,1? , F ( x) ? t ? 4t ? 6 ? (t ? 2) ? 2 ? F ( x) max ? 6 . F ( x) min ? 3

(2) | F ( x) ? m |? 2 ? m ? 2 ? F ( x) ? m ? 2 因为 p 是 q
4 ? m?5。

?m ? 2 ? 3 ?? 的充分条件, ?m ? 2 ? 6



∴m 的取值范围是 4 ? m ? 5
k 2 将 t ? 0, x ? 1代入 k ? 2,? x ? 3 ? t ?1 t ?1 当年生产 x(万件)时,年生产成本=年生产费用+固定费用=32x+3=32(3- 2 2 1 )+3,当销售 x(万件)时,年销售收入=150%[32(3- +3]+ t 由 t ?1 t ?1 2 题意,生产 x 万件化妆品正好销完 ∴年利润=年销售收入-年生产成本-促销
19. 解:(Ⅰ)由题意: 3 ? x ?

费 即y?

? t 2 ? 98t ? 35 (t≥0) 2(t ? 1)
t ? 1 32 t ? 1 32 ? ) ≤ 50 - 2 16 = 42 万件 当且仅当 ? 即 t =7 2 t ?1 2 t ?1

( Ⅱ ) ∵ y ? 50 ? ( 时,ymax=42

∴当促销费定在 7 万元时,利润增大.

20、解? f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 2(a ? 0),

f ( x) ? 2 x 2 ? x ? 4. 设 x 为其不动点,即 2 x 2 ? x ? 4 ? x. 则 2 x 2 ? 2 x ? 4 ? 0. ? x1 ? ?1, x2 ? 2.即f ( x) 的不动点是-1,2. 2 (2)由 f ( x) ? x 得: ax ? bx ? b ? 2 ? 0 . 由已知,此方程有相异二实根, ? x ? 0 恒成
(1)当 a=2,b=-2 时,
2 立,即 b ? 4a(b ? 2) ? 0. 即 b ? 4ab ? 8a ? 0 对任意 b ? R 恒成
2

立.? ? b ? 0.

?16a 2 ? 32a ? 0

? 0 ? a ? 2.

(3)设 A( x1 , x1 ), B( x2 , x2 ) ,直线 y ? kx ?

? k ? ?1 是线段 AB 的垂直平分线, 2a ? 1 b , 记 AB 的中点 M ( x0 , x0 ). 由(2)知 x0 ? ? 2a 1 b b 1 ? M在y ? kx ? 2 上,? ? ? ? 2 . 化简得: 2a 2a 2a ? 1 2a ? 1 a 1 1 2 2 时,等号成立) .即 b?? 2 ?? ?? ?? (当a ? 1 4 2 2a ? 1 1 2a ? 2 2a ? a a
2

1

b??

2 . 4

21、解、(Ⅰ)证明:令 x=y=0,∴2f(0)=f(0),∴f(0)=0 x)=f(0)=0 ∴f(x)+f(-x)=0 ∴f(-x)=-f(x) (Ⅱ)解:f(x1)=f(

令 y=-x,则 f(x)+f(- ∴f(x)为奇函数

2 xn x ? xn 1 )=-1,f(xn+1)=f( )=f( n )=f(xn)+f(xn)=2f(xn) 2 2 1 ? xn ? x n 1 ? xn
∴f(xn)=-2n


-1

f ( xn?1 ) =2 即{f(xn)}是以-1 为首项,2 为公比的等比数列 f ( xn )

(Ⅲ)解:
1 1 1 1 1 1 ? ??? ? (1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) 2 2 2

1 n 1 1 ? ? 2 ? ?(2 ? n?1 ) ? ?2 ? n?1 ? ?2 1 2 2 1? 2 1?

1 1 1 2n ? 5 ? ??? ?? f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) n?2

而?

2n ? 5 1 1 ? ?( 2 ? ) ? ?2 ? ? ?2 n?2 n?2 n?2

附题 1、已知函数 f ( x) ? x ? 1 ,设 g1 ( x) ? f ( x) , gn ( x) ? f ( gn?1 ( x)) (n ? 1, n ? N ? ) (1)求 g2 ( x) , g3 ( x) 的表达式,并猜想 gn ( x) (n ? N ? ) 的表达式(直接写出猜想结 果)

(2) 若关于 x 的函数 y ? x 2 ? ? gi ( x)(n ? N ? ) 在区间 (??, ?1] 上的最小值为 6, 求n
i ?1

n

的值。 (符号“ ? ”表示求和,例如: ? i ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n 。 )
i ?1
i ?1

n

n

解、 (1)? g1 ( x) ? f ( x) ? x ?1 ,? g2 ( x) ? f ( g1 ( x)) ? f ( x ?1) ? ( x ?1) ?1 ? x ? 2

g3 ( x) ? f ( g2 ( x)) ? f ( x ? 2) ? ( x ? 2) ? 1 ? x ? 3 ,? 猜想 gn ( x) ? x ? n
(2)? gn ( x) ? x ? n ,? ? gi ( x) ? g1 ( x) ? g2 ( x) ? ?? ? g n ( x) ? nx ?
i ?1 n

n(n ? 1) 2

? y ? x 2 ? ? gi ( x) ? x 2 ? nx ?
i ?1

n

n(n ? 1) n n2 ? 2n ? ( x ? )2 ? 2 2 4

(1)当 ? 数

n n n 2 ? 2n ? ?1 ,即 n ? 2 时,函数 y ? ( x ? )2 ? 在区间 (??, ?1] 上是减函 2 2 4

? 当 x ? ?1 时, ymin ?
(2)当 ?

n2 ? n ? 2 ? 6 ,即 n2 ? n ? 10 ? 0 ,该方程没有整数解 2

n n 2 ? 2n ? ?1 ,即 n ? 2 时, ymin ? ? 6 ,解得 n ? 4 ,综上所述, n ? 4 2 4

附题 2、 已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x) 在 x = -1 处取得最小值 m-1(m ? 0 ).设函数 f ( x ) ?
g ( x) x

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值 (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点. 解:(1)设 g ? x ? ? ax 2 ?bx ?c ,则 g? ? x ? ? 2ax ?b ; 又 g? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行
? 2a ? 2 , a ? 1 , 又 g ? x ? 在 x ? ?1 取极小值, ?

b ? ?1 , b ? 2 2

? g ? ?1? ? a ? b ? c ? 1? 2 ? c ? m ?1 ,
P ? xo , yo ?

c ? m ; f ? x? ?

g ? x? m ? x? ?2 , x x



则 PQ ? x ? ? y0 ? 2 ?
2 2 0

2

? m? m2 2 ? x ? ? x0 ? ? ? 2 x0 ? 2 ? 2 ? 2 2m 2 ? 2 x0 ? x0 ?
2 0

2

?2 2 m2 ? 2 ? 4m ? ?

2 ; 2

m 2 k x ? ? ? k 1x ? (2) 由 y ?f x 1? k ? x ? 2 x ? m ?0 ?*? ? ?? ? ? ?2 0 ,得 ? x m m 当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 x ? ? ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2 1 当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 ,若 m ? 0 , k ? 1 ? , m

函 数 y ? f? x x 两 个 零 点 x ? ?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? ; 若 ?? k有
2 ?1 ? k ? k ?1

m?0,

k ? 1?
x?

1 ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 m
? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1

?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ?


k ? 1? 1 , 函数 m

当 k ? 1 时 , 方 程 ?*? 有一 解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 有一零点 x ? y ? f ? x? ? kx
1 k ?1

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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