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高中数学1.2.1子集、全集、补集

1.2.1 子集、全集、补集(一)
教学目标:理解子集、真子集概念,会判断和证明两个集合包含关系,会判断简单集合的相 等关系. 教学重点:子集的概念,真子集的概念. 教学难点:元素与子集,属于与包含间的区别;描述法给定集合的运算. 课 型:新授课 教学手段:讲、议结合法 教学过程: 一、创设情境 在研究数的时候,通常都要考虑数与数之间的相等与不相等(大于或小于)关系,而对 于集合而言,类似的关系就是“包含”与“相等”关系 二、活动尝试 1.回答概念:集合、元素、有限集、无限集、空集、列举法、描述法、文氏图 2.用列举法表示下列集合:
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① {x | x3 ? 2 x2 ? x ? 2 ? 0} ②数字和为 5 的两位数}

{-1,1,2} {14,23,32,41,50}

1 1 1 1 1 3.用描述法表示集合: {1, , , , } {x | x ? , n ? N *且n ? 5} 2 3 4 5 n 4.用列举法表示: “与 2 相差 3 的所有整数所组成的集合” {x ? Z || x ? 2 |? 3} ={-1,5}

5.问题:观察下列两组集合,说出集合 A 与集合 B 的关系(共性) (1)A={-1,1},B={-1,0,1,2} (2)A=N,B=R (3)A={ x x 为北京人},B= { x x 为中国人} (4)A= ? ,B={0} (集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素) 三、师生探究 通过观察上述集合间具有如下特殊性 (1)集合 A 的元素-1,1 同时是集合 B 的元素. (2)集合 A 中所有元素,都是集合 B 的元素. (3)集合 A 中所有元素都是集合 B 的元素. (4)A 中没有元素,而 B 中含有一个元素 0,自然 A 中“元素”也是 B 中元素. 由上述特殊性可得其一般性,即集合 A 都是集合 B 的一部分.从而有下述结论. 四、数学理论 1.子集 定义:一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的任何一个 元素都是集合 B 的元素,我们就说集合 A 包含于集合 B,或集合 B 包 含集合 A.记作 A ? B(或 B ? A) ,这时我们也说集合 A 是集合 B 的子集. 请同学们各自举两个例子,互相交换看法,验证所举例子是否符合定义. 2.真子集:对于两个集合 A 与 B,如果 A ? B ,并且 A ? B ,我们就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作:A B 或 B A, 读作 A 真包含于 B 或 B 真包含 A 这应理解为:若 A ? B,且存在 b∈B,但 b ? A,称 A 是 B 的真子集.
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注意:子集与真子集符号的方向 3.当集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A 时,则记作 A B(或 B A). 如:A={2,4},B={3,5,7},则 A B. 4.说明 (1)空集是任何集合的子集 Φ ? A
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(2)空集是任何非空集合的真子集 Φ A 若 A≠Φ ,则Φ (3)任何一个集合是它本身的子集 A ? A
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A

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(4)易混符号 ①“ ? ”与“ ? ” :元素与集合之间是属于关系; 集合与集合之间是包含关系 如 1 ? N ,?1 ? N , N ? R, Φ
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? R,{1} ? {1,2,3}
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②{0}与Φ :{0}是含有一个元素 0 的集合,Φ 是不含任何元素的集合 如 Φ ? {0} 不能写成Φ ={0},Φ ∈{0}
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五、巩固运用 例 1(1) 写出 N,Z,Q,R 的包含关系,并用文氏图表示 (2)判断下列写法是否正确 ①Φ ? A ②Φ A ③ A ? A ④A A

N Q R Z

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解(1) :N ? Z ? Q ? R (2)①正确;②错误,因为 A 可能是空集;③正确;④错误; 思考 1: A ? B 与 B ? A 能否同时成立? 结论:如果 A ? B,同时 B ? A,那么 A=B. 如:{a,b,c,d}与{b,c,d,a}相等;{2,3,4}与{3,4,2}相等;{2,3}与{3,2}相等. 问:A={x|x=2m+1,m∈Z},B={x|x=2n-1,n∈Z}.(A=B) 稍微复杂的式子特别是用描述法给出的要认真分辨. 思考 2:若 A B,B C,则 A C? 真子集关系也具有传递性若 A B,B C,则 A C. 例 2 写出{a、b}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集. 分析:寻求子集、真子集主要依据是定义. 解:依定义:{a,b}的所有子集是 ? 、{a}、{b}、{a,b},其中真子集有 ? 、{a}、{b}. 变式:写出集合{1,2,3}的所有子集 解:Φ 、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3} 猜想:(1)集合{a,b,c,d}的所有子集的个数是多少?( 2 ? 16 )
4

(2)集合 ?a1 , a2 ?, an ? 的所有子集的个数是多少?( 2 )
n

注:如果一个集合的元素有 n 个,那么这个集合的子集有 2n 个,真子集有 2n-1 个. 六、回顾反思 1.概念:子集、集合相等、真子集 2.性质: (1)空集是任何集合的子集 Φ ? A
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(2)空集是任何非空集合的真子集 Φ A (A≠Φ ) (3)任何一个集合是它本身的子集 A ? A
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(4)含 n 个元素的集合的子集数为 2 ;非空子集数为 2 ? 1 ;真子集数为 2 ? 1 ;非空真
n n n

子集数为 2 ? 2
n

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七、课外练习 1.下列各题中,指出关系式 A ? B、A ? B、A B、A B、A=B 中哪些成立: (1)A={1,3,5,7},B={3,5,7}. 解:因 B 中每一个元素都是 A 的元素,而 A 中每一个元素不一定都是 B 的元素, 故 A ? B 及 A B 成立. (2)A={1,2,4,8},B={x|x 是 8 的约数}. 解:因 x 是 8 的约数,则 x:1,2,4,8 那么集合 A 的元素都是集合 B 的元素,集合 B 的元素也都是集合 A 的元素,故 A=B. 式子 A ? B、A ? B、A=B 成立. 2.判断下列式子是否正确,并说明理由. (1)2 ? {x|x≤10} 解:不正确.因数 2 不是集合,也就不会是{x|x≤10}的子集. (2)2∈{x|x≤10} 解:正确.因数 2 是集合{x|x≤10}中数.故可用“∈”. (3){2} {x|x≤10} 解:正确.因{2}是{x|x≤10}的真子集. (4) ? ∈{x|x≤10} 解:不正确.因为 ? 是集合,不是集合{x|x≤10}的元素. (5) ? {x|x≤10} 解:不正确.因为 ? 是任何非空集合的真子集. (6) ? {x|x≤10} 解:正确.因为 ? 是任何非空集合的真子集. (7){4,5,6,7} {2,3,5,7,11} 解:正确.因为{4,5,6,7}中 4,6 不是{2,3,5,7,11}的元素. (8){4,5,6,7} {2,3,5,7,11} 解:正确.因为{4,5,6,7}中不含{2,3,5,7,11}中的 2,3,11. 3.设集合 A={四边形},B={平行四边形},C={矩形} D={正方形},试用 Venn 图表示它们 之间的关系。 4.已知 A={x|x<-2 或 x>3},B={x|4x+m<0},当 A ? B 时,求实数 m 的取值范围. 分析:该题中集合运用描述法给出,集合的元素是无限的,要准确判断两集合间关系. 需用数形结合.

解:将 A 及 B 两集合在数轴上表示出来 要使 A ? B,则 B 中的元素必须都是 A 中元素 即 B 中元素必须都位于阴影部分内 那么由 x<-2 或 x>3 及 x<-

m 知 4



m <-2 即 m>8 4

故实数 m 取值范围是 m>8
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5.满足 ? 解析:由 ? 又由 A

A ? {a, b, c, d} 的集合 A 有多少个? A 可知,集合 A 必为非空集合;

? {a, b, c, d} 可知,此题即为求集合 {a, b, c, d} 的所有非空子集。

满足条件的集合 A 有

{a},{b},{c},{d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d} , {b, c, d} ,{a, b, c, d }共十五个非空子集。
此题可以利用有限集合的非空子集的个数的公式 2 ? 1 进行检验, 2 ? 1 ? 15 ,正确。
n

4

答案:15 6.已知 A ? {x, y}, B ? {1, xy} ,若 A ? B ,求 x, y 。 解析: A ? B ,即 A.B 两集合的元素相同,有两种可能:

?x ? 1 ?x ? 1 解得 ? ? ? y ? xy ?y ? R
∴ x ? 1或 y ? 1。 答案: x ? 1 或 y ? 1 。



? x ? xy ?x ? R 解得 ? ? ?y ? 1 ?y ? 1

八、教学后记 本节讲子集, 先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系, 并引出子集的概念, 然后, 对比集合的“包含”与“相等”关系,得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质
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