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等比数列教案

等比数列教案 一、 教材分析 “等比数列”是中职数学教材第五章第三节,在此之前,学生已学习了 等差数 列 ,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是 《 数列》这一章中两个 最重要的数列之一 ,因此,在 《数列》一章中 ,占据 重要 的地位。主要内容 是等比数列的概念及通项公式, 是研究数列的重要载体,与实际生活有密切的联 系,如存款利息、购房贷款、等都要用等比数列的知识来解决,在研究过程中体 现了由特殊到一般的数学思想, 同时, 也能大大培养学生的探索精神和参与意识, 有助于将课堂教学向以学生为主体,教师为主导的方向推进。 二、学情分析: 由于前面已经讲过等差数列,学生对数列的只是已经有所了解,但是大部分 学生数学基础较差,理解能力,运算能力,思维能力等方面参差不齐;同时学生 学好数学的自信心不强,学习积极性不高。 三、教学目标 1、 知识目标:使学生理解等比数列的概念,掌握其通项公式,并能运用定义 及其通项公式解决一些简单的实际问题。 2、能力目标:培养用不完全归纳法去发现并解决问题的能力(即归纳、猜想 能力) ,方程的思想,计算能力。 3、情感目标:通过对等比数列通项公式的推导,培养学生发现意识、创新意 识。 四、教学重点、难点 1、重点:理解等比数列的定义及通项公式 ,关键是讲清“等比”的特点。 2、难点: 应用等比数列的定义及通项公式,解决简单问题 五、教学过程 <一>创设情境 国王奖赏国际象棋发明者的事例: 发明者要求:在第1个方格放一颗麦粒,在第2个方格放2颗麦粒,在第 3个方格上放4颗麦粒,在第4个方格上放8颗麦粒,以此类推,直到第 64 个 方格,国王能否满足他的要求呢? 师问:这个事例可以转化为什么样的数学问题? 生:可以与数列联系起来(有了等差数列的基础,学生比较容易想到) 师:根据各个方格的麦粒数,我们可以得到什么样的数列呢? 生:棋盘上的麦粒数构成的数列为:1,2,4,8,16,32,64,…263. 【设计意图】设计意图:通过趣味性的典故,体会故事中用麦粒填充象棋盘的空 格, 从前后两格麦粒粒数及所有空格麦粒粒数的变化情况,来引导学生提高学生 的学习兴趣,激发学生发现等比数列。 师:我们再来观察这几个数列, 1、2,4,8,16, ……① 5、25、125、625、……② 1、-1/2、1/4、-1/8 ……③ 2,2,2,2,2, ……④ 师问:以上 4 个数列是够有功合同和特点?若有,试说出它们的共同特征? 生:从第二项起,每一项与它前面的一项的比都等于同一个常数(观察数列,

找共同特征) 师:像①②③④这样的数列和等差数列一样,是一类很重要的的数列,能否试 着给这样的数列取个名字呢? 生:等比数列。 师:那么究竟什么样的数列才称为等比数列呢? 师生共同总结定义 定义:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一 个常数,那么这个数列叫等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用 q 表示。 (q≠0) 【设计意图:】由学生通过“观察、分析、归纳”尝试得出等比数列的定义,并 与等差数列的定义进行比较,而通过对公比 q 的范围的具体分析,有利于学生 对等比数列的掌握,同时为后面等比数列的通项埋下了伏笔。 <二>巩固练习:提出问题 指出下列数列是不是等比数列? (1) 2, 4, 16, 64, … (2) 16, 8, 1, 2, 0,… (3) 2, -2, 2, -2, 2 (4) 1, 1, 1, 1, 1 (5)a, a, a, a, a, … 【设计意图】 :进一步巩固等比数列的定义 教师提出问题: 思考 一:等比数列的每一项和公比是否能为零? 思考二:从第三项或第四项起的每一项与它的前一项之比是同一个常数,这个 数列是否是等比数列? 思考三:常数项是否一定是等比数列? 教师强调注意事项: 1.由于等比数列的每一项都可能作为分母,所以每一项均不能为零,因此 q 也不 能为零 2.如果一个数列不是从第 2 项起, 而是从第 3 项或第 4 项起每一项与它的前一项 之比是同一个常数,那么这个数列不是等比数列 3.常数列都是等差数列,但却不一定是等比数列。若常数项各项都为 0,则它不 是等比数列;当常数列各项都不为 0 时,它才是等比数列 【设计意图:】目的在于让学生通过问题自主思考,加深对等比数列定义的掌握. 实际应用案例: 案例一:变形虫分裂问题 如变形虫分裂问题 .假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形 虫,再假设开始有一个变形虫,经过一个单位时间它分裂为两个变形虫,经过 两个单位时间就有了四个变形虫,…,一直进行下去,记录下每个单位时间的 变形虫个数得到了一列数 案例二:退耕还林问题 西部地区的环境问题正引起越来越广泛的关注,其中一个重要的举措即是退耕 还林。王师傅是当地一名热心群众,退休后,他决心用一个月的时间做下面的 事:第一天,他自己种一棵树;第二天,他发动两个人和他一起每人种一棵树; 第三天,这三个人每人再发动两个

人加入他们的行列,每人种一棵树。如此继续,记录下每天他们种的树的棵树 便得到一列数。 【设计意图】通过具体的实例使学生进一步巩固等比数列的定义,激起学生的 好奇心,也容易让学生接纳,激发学生求知欲望,并且积极思考。 <三>探索问题 等比数列的通项公式: 法一:不完全归纳法 等差数列 等比数列 a2 ? q ? a2 ? a1q a2 ? a1 ? d a1 a3 ? q ? a3 ? a2 q ? a1q 2 类比 a3 ? a1 ? 2d a2

a4 ? a1 ? 3d
…… 由此归纳等差数列 的通项公式可得:

a4 ? q ? a4 ? a3q ? a1q 3 a3
由此归纳等比数列的通项公式可得 得 an ? a1q n?1

an ? a1 ? (n ?1)d
其中a1与q均 不 为 零 ,n当 ?1 时上面等式也成立

【设计意图】 :类比等差数列的不完全归纳法,进而归纳得到等比数列的通项公 式 法二:累加法

【设计意图: 】类比等差数列求通项公式的方法,通过叠乘法得到等比数列的通 项公式。同时也渗透方程思想,可“知三求一” 。培养学生不断探究,归纳总结 的能力。 <四>例题分析 例1. 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第 2项. 【设计意图】:目的在于巩固等比数列的通项公式 例 2:袁隆平在培育某水稻新品种时 ,如果第一代得到 120 粒种子,并且从第 一代起由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的 120 粒种子,到第 5 代可 以得到这个新品种的种子多少粒?(结果保留两位有效数字) 【设计意图】利用多媒体先介绍一下世界杂交水稻之父 —袁隆平,展示袁隆平 的照片,引起学生的好奇心,通过对实际问题的解决使学生进一步熟悉公式, 加强学生的应用意识,同时对这节课的难点在这里得到完全解决。 巩固练习: 1、求下列等比数列的第 4 项与第 6 项: ⑴5,-15,45……. ⑵1,2,4 ….. 2、⑴ 一个等比数列的第 4 项是 7,公比 1/2,求它的第一项; ⑵ 一 个 等 比 数 列 的 第 2 项 是 10 , 第 3 项 是 20 , 求 它 的 第 1 项 与第 4 项。 3、已知等比数列的{an}得 a2=2,a5= 54,求 q 【设计意图】 :现学现用,让学生有发表见解的机会,巩固所学知识。 等比中项: 与等差中项类似, 在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那 么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。

G ? ? ab
师问: 思考一:2,-6 之间是否存在等比中项? 思考二:1 和 4 的等比中项是什么? 思考三:若 G2=ab,则 G 是否一定是 a 与 b 的等比中项? 【设计意图】 :让学生通过思考自主探究出等比中项的注意事项:1.G 是 a 与 b 的等比中项,则 a 与 b 的符号相同,符号相反的两个实数不存在等比中项。 2. 等比中项有两个,切互为相反数。当 G2=ab 时,G 不一定是 a 与 b 的等差中项。 <五>课堂小结 1、等比数列的定义及其通项公式 2、等比数列通项公式的应用 3、在发现等比数列 的定义及其通项公式过程中用了观察、 归纳、猜想等数 学方法,体现了由特殊到一般的数学思 想,在判断数列是否是等比数列时运用 了分类讨论思想。 4、等比中项 5、等差数列与等比数列的对比 数列 等差数列 等比数列

定义

n ? 2, an ? an?1 ? d

n ? 2,

an ? q(q ? 0) an?1

公差(比) 通项公式 引申

公差 d∈R

公比 q≠0

an ? a1 ? (n ? 1)d an ? am ? (n ? m)d

an ? a1q n?1 an ? am q n?m

【设计意图】:巩固本节课所学内容,突出重点,让学生能在思维中形成主线, 思路清晰。 <六>作业及思考题 1、课本 P144 练习 A 第 1、2、4 题。 2、对照等差数列,试猜想等比数列的一些相应的性质。 3、探究活动: ①一位数学家曾经说过,你如果能将一张报纸 对折 38 次,我就能顺着 它在今天晚上爬上月球。 ②一尺之棰,日取其半,万世不竭 【设计意图】 :根据学生素质的差异进行分层训练,既使学生掌握基础知识,达 到“温故而知新”的效果,又使学有余力的学生有所提高 。


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