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裂项相消教案


教学内容

高中必修教材 5

第二章 数列

课型

高三复习课

教学目的和要 求

1. 2.

使学生够熟练掌握应用裂项相消法给数列求和。 让学生能够准确辨认出这类问题(应用裂项相消法求和)的形式 ,即什 么时候用。 掌握如何拆项,如何提系数,消去之后余项是什么,即怎么用。

重点:应用裂项相消法解决如下形式的给数列求和的问题 教学重点和难 点

Sn ?

c c c c ,其中 an 为等差数列。 ? ? ?? ? a1a2 a2 a3 a3a4 an an?1

难点:如何裂项,裂项后是否与原式相等。

教学方法 引导性教学 教具

黑板

1 1 1 1 例1: ? ? ?? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ?n - 1? 求Sn 方法: 1 1 1 1 ?等差 : 形如kx ? b 例2: ? ? ?? ? 1、公式法? n ?2n -1??2n ? 1? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 等比 : 形如ab
裂项求和 2、分组求和
板书设计

例3:将例2分子全换成3 例4:an ? 高考题1 高考题2 1 , 求Sn . 4n 2 - 1

? 1.裂项 ? 3、裂项求和? 2.消 ?3.找余项 ?

教学过程 环节一 复习引入 回忆数列求和的方法,在什么时候用

求Sn 方法: ? 等差 : 形如kx ? b 例an ? 2n 1、公式法? n n ?等比 : 形如ab 例an ? 2 2、分组求和 例an ? 2n ? 2 n
环节二 点出本节重点内容:数列求和方法 3,裂项相消法求和,并给出例题。

1 1 1 1 例1: ? ? ?? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ?n - 1?
让同学回忆并且思考解题方法,提问解题思路。 鉴于本节内容是高三一轮复习课,学生可能对裂项相消法已经有一定的认识, 所以做出了如下两种预设,视情况而选择。 预设情景一:学生在看到问题后就认识到要裂项 直接提问学生要怎么拆 思考拆的对不对,怎样验证 (逆运算,通分) 预设情景二:学生不知道要裂项,而要把分母相乘,再通分 经简单计算发现让学生体会到这种方式巨大的计算量,请学生思考为什么 通分,引导学生通过其他方法来减少项数,观察原式,继而寻找规律,引导学 生把 1 1 1 1 1 1 1 中的 和 分出来变成两项, 中的 和 分出来变成两项, 中的 1? 2 1 2 2?3 2 3 n?n ? 1?

1 1 和 分出来变成两项。 n n ?1 1 1 1 对三个分数 进行观察,由于分母不相同不易比较,于是通分变成如 2?3 2 3 1 3 2 下 ,再观察不难发现,后两式相减即为前式。于是总结出裂项 2?3 2?3 2?3 1 1 1 1 1 1 的方法 。 ? - , ? 2 ? 3 2 3 n?n ? 1? n n - 1
思考当拆的对不对,怎样验证 (逆运算,通分) 把每一项都拆开,观察特点,一负一正相抵消。 问题:

1 1 能不能消, 能不能消,为什么。 n n ?1

环节三 环节四

回顾解题过程,总结解题步骤:1、裂项 (加检验) 2、消 3、找余项

1 1 1 1 例2: ? ? ?? ? ?2n -1??2n ? 1? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7
1 1 1 ? 让学生先自己完成,分享结果,提问大家是不是如下拆法 1? 3 1 3 ,要求

教学过程 同学检验,强调检验的重要性。 问题:

1 1 怎么拆? 怎么拆? 2?5 3? 8

总结:分母之间差几就在前面乘几分之一 环节五 例 3 将上题分子全部变成 3 问题:是否还能应用裂项求和(提公因式)

环节六

例4:已知 an ?

1 , 求Sn . 4n 2 - 1

请直接说出答案,和例 2 其实是一道题目,换汤不换药。 (平方差公式) 环节七

高考题1:

?an ?满足:a3 ? 7,a5 ? a7 ? 26, ?an ?的前n项和为Sn . 已知等差数列 ?1?.求an及Sn ?2?.令b n ?
1 n ? N * , 求数列?bn ? 的前n项和Tn . a -1
2 n

?

?

(1)根据等差数列的特点可解,无障碍 解得a n ? 2n ? 1

(2)

将a n带入bn得到b n ? 法给数列求和 .

1 1 ? .继而应用裂项相消 2 ?2n ? 1? -1 4n?n ? 1?

环节八

高考题2:

?an ?的前n项和Sn,点(n, 已知数列 ?1?.求?an ?和?b n ?的通项. ?2?.设C n ?

Sn 1 11 )在直线y ? x ? 上.数列?b n ? n 2 2 * 满足b n ? 2 - 2bn ?1 ? b n ? 0 n ? N , 且b 3 ? 5, b8 ? 10.

?

?

1 , 数列?Cn ? 的前n项和Tn , 求Tn . ?3an - 17??3bn - 5?

本题第一问考察了: 1.点在直线上 2. 已知Sn求an 3.等差数列的性质(等差 中项) 得到an ? n ? 5, bn ? n ? 2. 第二问:将an,bn带入C n , C n ? 求和. 1 , 继而应用裂项相消法 ?3n - 2??3n ? 1?


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