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高一数学第四章(第13课时)两角和差的正弦余弦正切(2)


高中数学教案

第四章三角函数(第 13 课时)



题:4 6
王新敞
奎屯 新疆

两角和与差的正弦、余弦、正切(2)

教学目的: 能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式,并进而推得两角和的正 弦公式,并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形 教学重点: 由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式 教学难点: 进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
王新敞
奎屯 新疆

一、复习引入: 1.两角和与差的余弦公式:
cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

2.求 cos75?的值
解:cos75?=cos(45?+30?)=cos45?cos30??sin45?sin30? =
2 2 ? 3 2 ? 2 2 ? 1 2 ? 6 ? 4 2

3.计算:cos65?cos115??cos25?sin115? 解:原式= cos65?cos115??sin65?sin115?=cos(65?+115?)=cos180?=?1 4 计算:?cos70?cos20?+sin110?sin20?
王新敞
奎屯 新疆

原式=?cos70?cos20?+sin70?sin20?=?cos(70?+20?)=0 5.已知锐角?,?满足 cos?= 解:∵cos?=
3 5 3 5

cos(?+?)= ?
4 5

5 13

求 cos?

王新敞
奎屯

新疆

∴sin?=
5 13

又∵cos(?+?)= ? ∴?+?为钝角 ∴sin(?+?)=
12 13

<0

∴cos?=cos[(?+?)??]=cos(?+?)cos?+sin(?+?)sin? =?
5 13 ? 3 5 ? 12 13 ? 4 5 ? 33 65
第 1 页(共 4 页)

(角变换技巧)

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第四章三角函数(第 13 课时)

二、讲解新课: 两角和与差的正弦 1 推导 sin(?+?)=cos[
王新敞
奎屯 新疆

?
2

?(?+?)]=cos[(
?
2

?
2

??)??] ??)sin?

=cos(

??)cos?+sin(

?
2

=sin?cos?+cos?sin? 即: 以??代?得:
王新敞
奎屯 新疆

sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? sin ? cos ?

(S?+?) (S???)

2 公式的分析,结构解剖,嘱记 三、讲解范例: 例 1 不查表,求下列各式的值: 1? sin75? 2? sin13?cos17?+cos13?sin17?

解:1?原式= sin(30?+45?)= sin30?cos45?+cos30?sin45? =
1 2 ? 2 2 ? 3 2 ? 2 2 ? 2 ? 4
1 2

6

2?原式= sin(13?+17?)=sin30?= 例2 求证:cos?+ 3 sin?=2sin( 证一(构造辅助角): 左边=2(
1 2

?
6

+?)

cos?+

3 2

sin?)=2(sin

?
6

cos?+cos

?
6

sin?)

=2sin(

?
6

+?)=右边
?
6 1 2

证二:右边=2(sin

?
6

cos?+cos

sin?)=2(

cos?+

3 2

sin?)

= cos?+ 3 sin?=左边 例3 已知 sin(?+?)=
2 3

,sin(???)=

2 5



tan ? tan ?

的值

第 2 页(共 4 页)

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第四章三角函数(第 13 课时)

解: ∵sin(?+?)= sin(???)=
2 5

2 3

∴sin?cos?+cos?sin?= ∴sin?cos??cos?sin?=
8 15

2 3

① ②
8

2 5

①+②:sin?cos?= ①?②:cos?sin?= 四、练习

2 15
5 13

?

tan ? tan ?

=

sin ? cos ? cos ? sin ?

?

15 ? 4 2 15

1 在△ABC 中,已知 cosA =
王新敞
奎屯 新疆

,cosB =

4 5

,则 cosC 的值为( A )
16 65 或 56 65
王新敞
奎屯 新疆

(A)

16 65

(B)

56 65

(C)

(D)?

16 65

解:因为 C = ? ? (A + B), 所以 cosC = ? cos(A + B) 又因为 A,B?(0, ?), 所以 sinA =
12 13

, sinB =
12 13

3 5

,
3 5 4 ? 3? 5 13 ? 4 5 ? 16
王新敞
奎屯 新疆

所以 cosC = ? cos(A + B) = sinAsinB ? cosAcosB =

?

65 5 13

2 已知
王新敞
奎屯 新疆

?
4

? ? ?

3? 4

0 , ? ? ?

?
4

cos( ,

?
4

??)? ?

3 5

sin( ,

? ?) ?



求 sin(? + ?)的值 解:∵
?
4 ? ? ? 3? 4 3 5
3? 4 5 13



?
2

?

?
4

?? ? ?

又 cos(

?
4

??) ? ?

∴ sin(
? 3? 4

?
4

??) ?

4 5

∵0 ? ? ? 又 sin(
3? 4

?
4 ? ?) ?



? ? ? ? 3? 4 ? ?) ? ? 12 13 3? 4 3? 4

∴ cos(

∴sin(? + ?) = ?sin[? + (? + ?)] = ? sin[(

?
4

??)? (

? ? )]

? ? [sin( ? ?[ 4 5

?
4

? ? ) cos( 12 13 )? 3 5 ?

3? 4 5 13

? ? ) ? cos( 63 65

?
4

? ? ) sin(

? ? )]

? (?

]?

五、小结 两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角” “角变换” “逆 向运用公式”
王新敞
奎屯 新疆

第 3 页(共 4 页)

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第四章三角函数(第 13 课时)

六、课后作业: 1 已知 sin? + sin? =
王新敞
奎屯 新疆

2 2

,求 cos? + cos?的范围

解:设 cos? + cos? = t, 则(sin? + sin?) + (cos? + cos?) = ∴2 + 2cos(? ? ?) =
1 2
2 2

1 2

+ t

2

+ t

2

即 cos(? ? ?) = ∴?1≤
1 2

1 2

t ?
2

3 4

又∵?1≤cos(? ? ?)≤1
14 2
1 2

t ?
2

3 4

≤1

∴?

≤t≤

14 2
1 10

2 已知 sin(?+?) =
王新敞
奎屯 新疆

,sin(???) =

,求

tan ? tan ?

的值

3 1 ? ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ? ? 10 2 ? 解:由题设: ? ? 1 1 ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ? cos ? sin ? ? 10 5 ? ?

从而:

tan ? tan ?

?

sin ? cos ? cos ? sin ?

?

3 10

?5 ?

3 2

或设:x =

tan ? tan ?



sin( ? ? ? ) sin( ? ? ? )

? 5

sin( ? ? ? )

tan ? ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? ? tan ? tan ? tan ?
tan ? tan ?
3 2



cos ? cos ? sin( ? ? ? ) cos ? cos ?
3 2

?1 ? ?1

x ?1 x ?1

? 5

∴x =



=

七、板书设计(略) 八、课后记:

第 4 页(共 4 页)


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