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28三角函数的最值


一、高考要求
1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象 等, 求三角函数的最大值和最小值. 2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和 最小值. 3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来 解决.

二、重点解析
最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一, 需要综 合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函 数基本关系式、三角变换等, 也是函数内容的交汇点, 常见方 法有: 1.涉及正、余弦函数以及 asin?+bcos?, 可考虑利用三角函 数的有界性.

2.形如 y=asin2x+bsinx+c 或 y=acos2x+bsinx+c 的函数可通 过适当变换、配方求解. 3.形如 sinx+cosx, sinxcosx 在关系式中时, 可考虑换元法 处理.

三、知识要点

常见的三角换元

1.若 x2+y2=1, 可设 x=cos?, y=sin?; 2.若 a≤x2+y2≤b, 可设 x=rcos?, y=rsin?, a≤r2≤b; 3.对于 1-x2 , 由于 |x|≤1, 可设 x=cos?(0≤?≤?) 或 x=sin? (- ? ≤?≤ ? ); 2 2 4.对于 1+x2 , 可设 x=tan?(- ? <?< ? ) 或 x=cot?(0<?<?); 2 2 5.对于 x2-1 , 可设 x=sec?(0≤?< ? 或 ? <?<?) 或 x=csc? 2 2 ? ≤?<0 或 0<?≤ ? ); (2 2

6.对于 x+y+z=xyz, 由在 △ABC 中, 有 tanA+tanB+tanC=tanA tanBtanC, 可设 x=tanA, y=tanB, z=tanC(A+B+C=?); 7.令 t=sinx+cosx, 则 2sinxcosx=t2-1, t?[- 2, 2 ].

典型例题
1.求函数 y=2sec2x+cot4x 的最值. 解: y=2(1+tan2x)+cot4x=2+tan2x+tan2x+cot4x
≥2+3
3

tan2x?tan2x?cot4x =2+3=5.

仅当 tan2x=cot4x, 即 tanx=?1 时取等号.

∴当 x=k?? ? (k?Z) 时, y 取最小值 5; 4
y 无最大值.

x 2.求函数 y=(1+cosx)sin 2 (0<x<?) 的最值. 解: 由已知 y>0, 只需考察 y2 的最值. 2 x +cos2 x +cos2 x 2sin 2 2 )3 = 16 . 2 2=4cos2 x cos2 x sin2 x ≤2( ∵y 2 2 2 3 27 2 x =cos2 x , 即 tan x = 2 (∵0<x<?) 时取等号. 仅当 2sin 2 2 2 2 2 时, y2 取最大值 16 . ∴当 x=2arctan 27 2 ∴当 x=2arctan 2 时, y 取最大值 4 3 ; 2 9 y 无最小值.

3.已知函数 f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x. (1)求 f(x) 的最小正周 ? 期; (2)若 x?[0, 2 ], 求 f(x) 的最大值、最小值. 解: (1)∵f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x =(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x =cos2x-sin2x ∴f(x) 的最小正周期为 ?. = 2 cos(2x+ ? ). 4

? (2)∵x?[0, 2 ], ∴2x+ ? ?[ ? , 5? ]. 4 4 4

∴当 2x+ ? = ? , 即 x=0 时, f(x) 取得最大值 1; 4 4

3? ∴当 2x+ ? =?, 即 x= 8 时, f(x) 取得最小值 - 2 . 4

4.设 0≤x≤?, 求函数 y=sin2x-8(sinx+cosx)+19 的最大值和最 小值. 解: y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+19. 令 t=sinx+cosx, 则 t= 2 sin(x+ ? ), y=t2-1-8t+19=(t-4)2+2. 4 ∵0≤x≤?, ∴ ? ≤x+ ? ≤ 5? . 4 4 4 2 ∴- 2 ≤sin(x+ ? )≤1. ∴-1≤t≤ 2 . 4

∴当 t=-1, 即 x=? 时, y 取最大值 27. 当 t= 2 , 即 x= ? 时, y 取最小值 20-8 2 . 4

5.已知函数 f(x)=2asin2x-2 3 asinx?cosx+a+b(a?0) 的定义域 为[0, ? ], 值域为 [-5, 1], 求常数 a, b 的值. 2 解: f(x)=a(1-cos2x)- 3 asin2x+a+b =-a(cos2x+ 3 sin2x)+2a+b

由已知 x?[0, ? ], ∴2x+ ? ?[ ? , 7? ], 6 6 6 2 ∴- 1 ≤sin(2x+ ? )≤1. 因此由 f(x) 的值域为 [-5, 1] 可得: 2 6 a>0, a<0, -2a×(- 1 )+2a+b=1, 或 -2a×(- 1 )+2a+b=-5, 2 2 -2a×1+2a+b=-5, -2a×1+2a+b=1.
解得: a=2, b=-5 或 a=-2, b=1.

=-2asin(2x+ ? )+2a+b. 6

(1+sinx)(3+sinx) 6.求 y= 的最值及对应的 x 的集合. 2+sinx 1 sin2x+4sinx+3 (2+sinx)2-1 = 解: y= 2+sinx 2+sinx =2+sinx- 2+sinx . 1 令 2+sinx=t, 则 y=f(t)=t- t (1≤t≤3). 对于任意的 t1, t2?[1, 3], 且 t1<t2 有 1+t1t2 1 1 f(t1)-f(t2)=(t1- t )-(t2- t ) =(t1-t2)( t t ) <0. 1 2 1 2 即 f(t1)-f(t2)<0 ? f(t1)<f(t2). ∴f(t) 在 [1, 3] 上是增函数. ∴当 t=1 时, ymin=f(t)min=0, 此时, sinx=-1, x 的集合为: {x | x=2k?- ? , k?Z}; 2 当 t=3 时, ymax=f(t)max= 8 , 此时, sinx=1, x 的集合为: 3 {x | x=2k?+ ? , k?Z}. 2

7.函数 y=sin2x+acosx+ 5 a- 3 (0≤x≤ ? )的最大值为 1, 求 a 8 2 2 的值. a 2 a2 5 5 1 解: 由已知 y=-cos2x+acosx+ 8 a- 2 =-(cosx- 2 ) + 4 + 8 a- 1 . 2 a 2 a2 5 1 令 t=cosx, 则 y=-(t- 2) + 4 + 8 a- 2 (0≤t≤1). 讨论如下: 5 a 1 ①若 2 <0, 则 t=0 时, 由题设 ymax= 8 a- 2 =1. 12 解得 a= 5 (舍去). a ≤1, 则 t= a 时, 由题设 y = a2 + 5 a- 1 =1. ②若 0≤ 2 max 4 8 2 2 解得 a=-4(舍去)或 a= 3 . 2 13 3 a ③若 2 >1, 则 t=1 时, 由题设 ymax= 8 a- 2 =1. 20 解得 a= 13(舍去). 综上所述 a= 3 . 2

8.若方程 4sin2x-cos4x-a=0 恒有实数解, 求 a 的取值范围. 解法 1 从方程有解的角度考虑. 原方程即为: 2cos22x+2cos2x-3+a=0. 令 t=cos2x, 则 |t|≤1, 且 △=4(7-2a)≥0, 2t2+2t-3+a=0 恒有解. ∴ -2+ 4(7-2a) △=4(7-2a)≥0, | |≤1, 4 或 -2- 4(7-2a) | |≤1, 4 解得: -1≤a≤ 7 . 2 解法 2 从二次函数图象及性质考虑. 问题转化为: “a 为何值时, f(t)=2t2+2t+a-3 的图象与横轴至少有一个交 点的横坐标在 [-1, 1] 内.” 1 ∵f(t) 图象的对称轴为直线 t=- 2 , f(1)≥0, △≥0, ∴ f(-1)≥0, 或 f(-1)<0. 解得: -1≤a≤ 7 . 2

8.若方程 4sin2x-cos4x-a=0 恒有实数解, 求 a 的取值范围. 当 △=4(7-2a)≥0, 即 a≤ 7 时, 解法 3 正难则反, 从反面考虑. 2 若方程 f(t)=2t2+2t+a-3=0 的两根均在 [-1, 1] 之外, 则 1 ∵f(t) 图象的对称轴为直线 t=- 2 , ∴ f(1)<0. 解得: a<-1. 故满足条件的 a 的取值范围是 [-1, 7 ]. 2 解法 4 从分离参数的角度考虑. 原方程即为: 22x-2cos2x+3 =-2(cos2x+ 1 )2+ 7 . a=-2cos 2 2 ∵|cos2x|≤1,

∴ -1≤a≤ 7 . 2

课后练习
sin4x+cos4x+sin2xcos2x 1.求函数 f(x)= 的最小正周期、最大 2-sin2x 值和最小值. (sin2x+cos2x)2-sin2xcos2x 1-sin2xcos2x 解: 由已知 f(x)= = 2(1-sinxcosx) 2-2sinxcosx = 1 (1+sinxcosx)= 1 sin2x+ 1 . 2 2 4

∴f(x) 的最小正周期为 ?.

? 即 x=k?+ ? (k?Z) 时, f(x) 取最大值 3 ; ∴当 2x=2k?+ 2 4 4 ? 即 x=k?- ? (k?Z) 时, f(x) 取最小值 1 . ∴当 2x=2k?- 2 4 4

2.函数 y=acosx+b(a, b为常数), 若 -7≤y≤1, 求 bsinx+acosx 的最大值. a+b=1, 解: 由已知当 a>0 时, -a+b=-7, 解得 a=4, b=-3, 此时, bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=5sin(x+?) (tan?=- 4 ). 3 当 a=0 时, 不合题意. a+b=-7, 当 a<0 时, -a+b=1, 解得 a=-4, b=-3, 此时, bsinx+acosx=-3sinx-4cosx=5sin(x+?) (tan?= 4 ). 3 综上所述, bsinx+acosx 的最大值为 5.

3.求函数 y=cos2x-2asinx-a(a 为定值)的最大值 M. 解: y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2-a+1. 令 sinx=t, 则 y=-(t+a)2+a2-a+1(-1≤t≤1). 若 -a<-1, 即 a>1, 则当 t=-1 时, y 有最大值 M=-(-1+a)2+a2-a+1=a;

若 -1≤-a≤1, 即 -1≤a≤1, 则当 t=-a 时, y 有最大值 M=-(-a+a)2+a2-a+1=a2-a+1;
若 -a>1, 即 a<-1, 则当 t=1 时, y 有最大值 M=-(1+a)2+a2-a+1=-3a. -3a, a<-1, 综上所述, M= a2-a+1, -1≤a≤1, a, a>1.

4.当 a≥0 时, 求函数 f(x)=(sinx+a)(cosx+a) 的最大值、最小值 以及相应的 x 的取值. 解: f(x)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2 令 t=sinx+cosx, 则 t= 2 cos(x- ? ) 且 t?[- 2 , 2 ], 4 1 1 f(x)=g(t)= 2 (t2-1)+at+a2= 2 [(t+a)2+a2-1]. ∵a 为常数, ∴只需求 y=(t+a)2 的最值. ∵t?[- 2 , 2 ], 且 a≥0, ∴当 t= 2 , 即 x=2k?+ ? (k?Z) 时, f(x) 取最大值 a2+ 2 a+ 1 . 4 2 若 0≤a≤ 2 , 则 - 2 ≤-a≤0, 当 t=-a 即 2 x=2k??arccos(- 2 a)+ ? (k?Z) 时, f(x) 取最小值 1 (a2-1); 2 4 若 a> 2 , 则当 t=- 2 , 即 x=2k?+ 5? (k?Z) 时, 4 f(x) 取最小值 a2- 2 a+ 1 . 2

5.设 ? ?[0, ? ], 且 cos2?+2msin?-2m-2<0 恒成立, 求 m 的取 2 值范围. 解法 1 由已知 0≤sin?≤1 且 1-sin2?+2msin?-2m-2<0 恒成立. 令 t=sin?, 则 0≤t≤1 且 1-t2+2mt-2m-2<0 恒成立. 即 f(t)=t2-2mt+2m+1=(t-m)2-m2+2m+1>0 对 t?[0, 1] 恒成立. 故可讨论如下: (1)若 m<0, 则 f(0)>0. 即 2m+1>0. 解得 m>- 1 , ∴- 1 <m<0; 2 2 (2)若 0≤m≤1, 则 f(m)>0. 即 -m2+2m+1>0. 亦即 m2-2m-1<0. 解得: 1- 2<m<1+ 2 , ∴0≤m≤1; (3)若 m>1, 则 f(1)>0. 即 0?m+2>0. ∴m?R, ∴m>1. 综上所述 m>- 1. 即 m 的取值范围是 (- 1 , +∞). 2 2

5.设 ? ?[0, ? ], 且 cos2?+2msin?-2m-2<0 恒成立, 求 m 的取 2 值范围. 解法 2 题中不等式即为 2(1-sin?)m>-1-sin2?. ∵??[0, ? ], ∴0≤sin?≤1. 2 当 sin?=1 时, 不等式显然恒成立, 此时 m?R; 1+sin2? 当 0≤sin?<1 时, m>- 2(1-sin?) 恒成立.

令 t=1-sin?, 则 t?(0, 1], 且 1+(1-t)2 t 1 m>=1-( 2 + t ) 恒成立. 2t t 1 易证 g(t)=1-( 2 + t ) 在 (0, 1] 上单调递增, 有最大值 - 1 , 2 ∴m>- 1. 即 m 的取值范围是 (- 1, +∞). 2 2

6.设 0≤?≤?, P=sin2?+sin?-cos?. (1)若 t=sin?-cos?, 用含 t 的式子表示 P; (2)确定 P 的取值范围, 并求出 P 的最大值和最 小值. 解: (1)∵t=sin?-cos?, ∴t2=1-2sin?cos?=1-sin2?. ∴sin2?=1-t2. ∴P=1-t2+t. 即 P=-t2+t+1. (2)t=sin?-cos?= 2 sin(?- ? ). ∵0≤?≤?, ∴- ? ≤?- ? ≤ 3? , 4 4 4 4 2 ∴- 2 ≤sin(?- ? )≤1. ∴-1≤t≤ 2 . 4 ∵P=-t2+t+1 的图象是开口向下的抛物线, 其对称轴为 直线 t= 1 , 2 ∴当 t= 1 时, P 取最大值 5 ; 当 t=-1 时, P 取最小值 -1. 2 4 从而 P 的取值范围是[-1, 5 ]. 4

7.已知 f(x)=2cos2x+ 3 sin2x+a(a?R), (1)若 x?R, 求 f(x) 的 单调增区间; (2)若 x?[0, ? ] 时, f(x) 的最大值为 4, 求 a 的值; 2 (3)在 (2) 的条件下, 求满足 f(x)=1 且 x?[-?, ?] 的 x 的集合.
解: (1)f(x)=1+cos2x+ 3 sin2x+a=2sin(2x+ ? )+a+1. 6 由 2k?- ? ≤2x+ ? ≤2k?+ ? 得: k?- ? ≤x≤k?+ ? . 2 6 2 3 6

∴f(x) 的单调递增区间为 [k?- 3 , k?+ ? ](k?Z); 6 ? (2)由 2x+ ? = ? 得 x= ? ?[0, 2 ], 6 6 2 故当 x= ? 时, f(x) 取最大值 3+a. 由题设 3+a=4, ∴a=1. 6

?

(3)在 (2) 的条件下, f(x)=2sin(2x+ ? )+2. 6 1 ∵f(x)=1, ∴sin(2x+ ? )=- 2 . 又由题设 2x+ ? ?[- 11 ?, 13?], 6 6 6 6 ? =- 5? 或 - ? 或 7? 或 11 ?. ∴x=- ? , - ? , ? , 5? . ∴2x+ 6 2 6 2 6 6 6 6 6 ? ? 5? 故所求集合为 { - 2 , - 6 , ? , 6 }. 2

8.设 f(x)=cos2x+asinx- a - 1 (0≤x≤ ? ). (1)用 a 表示 f(x) 的最 4 2 2 大值 M(a); (2)当 M(a)=2时, 求 a 的值. 2x+asinx- a + 1 . 令 t=sinx, 则 0≤t≤1, 故有: 解: (1)f(x)=-sin 4 2 2 2+at- a + 1 =-(t- a )2+ a - a + 1 (0≤t≤1). f(x)=g(t)=-t 4 2 2 4 4 2 要求 f(x) 的最大值 M(a), 可分情况讨论如下: a ①当 2 <0, 即 a<0 时, g(t) 在 [0, 1] 上为减函数. 1 a ∴M(a)=g(0)= 2 - 4 ; a ②当 0≤ 2 ≤1, 即 0≤a≤2 时, g(t) 在 [0, 1] 上先增后减. a a2 a 1 ∴M(a)=g( 2)= 4 - 4 + 2 ; a ③若 2 >1, 即 a>2 时, g(t) 在 [0, 1] 上为增函数. 3 1 ∴M(a)=g(1)= 4 a- 2 .

1 a a<0, 2- 4, a2 a 1 ∴M(a)= 4 - 4 + 2 , 0≤a≤2, 3 a- 1 , a>2. 2 4 (2)由(1)知, 若 1 - a =2, 则 a=-6; 2 4 a2 a 1 若 4 - 4 + 2 =2, 即 a2-a-6=0, 解得 a=3 或 -2. 均不合题意, 舍去; 3 1 若 4 a- 2 =2, 则 a= 10 . 3 10 综上所述, a 的值为 -6 或 3 .


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