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第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案[1]


第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案

试 题 1、(满分 20 分)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前没行一段距离才能 停住。我们称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析事故的一个重要的因素。在一个限 速为 40 千米/时的路段上,先后有 A、B 两辆汽车发生交通事故。事故后,交通警察现场测 得 A 车的刹车距离超过 12 米,不足 15 米,B 车的刹车距离超过 11 米,不足 12 米。又知 A、 B 两种车型的刹车距离 S(米)与车速 x(千米/时)之间有如下关系: 如果仅仅考虑汽车的车速因素,哪辆车应 负责任?

2.(满分 20 分)北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》,在这个节目中曾经有这样 一个抢答题:小晰蜴体长 15cm,体重 15g,问:当小晰蜴长到体长为 20cm 时,它的体重大约 是多少(选择答案:20g,25g,35g,40g)?尝试用数学分析出合理的解答。 3. (满分 20 分)受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐。在通常的情况下, 船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋。下面是某港口顺某季节每天的时 间与水深关系表:

时刻 0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00

水深(米) 5.0 6.2 7.1 7.5 7.3 6.5 5.3 4.1

时刻 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00

水深(米)时刻 3.1 16:00 2.5 17:00 2.4 18:00 3.5 19:00 4.4 20:00 5.6 21:00 6.7 22:00 7.2 23:00

水深(米) 7.4 6.9 5.9 4.4 3.3 2.5 2.7 3.8

(1)请在坐标纸上,根据表中的数据,用连续曲线描出时间与水深关系的函数图像; (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4 米,安全条例规定至少要有 1.5 的安 全间隙(船底与洋底的距离),问该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度为 4 米,安全间隙为 1.5 米,该船在 2:00 开始卸货,吃水深度以每 小时 0.3 米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域? 4.(满分 20 分)2000 年末,某商家迎来店庆,为了吸引顾客,采取“满一百送二十,

连环送”的酬宾方式,即顾客在店内花钱满 100 元(这 100 元可以是现金,也可是奖励券, 或二者合计),就送 20 元奖励券;满 200 元,就送 40 元奖励券,满 300 元,就送 60 元奖 励券;...。当日,花钱最多的一顾客用现金 70000 元,如果按照酬宾方式,他最多能得到 多少优惠呢?相当于商家打了几折销售? 5.(满分 20 分)某城市准备举行书画展览,为了保证展品安全,展览的保卫部门准 备安排保安员值班。情况如下: ①展览大厅是长方形,内设均匀颁的 m×n 个长方形展区,如图所示(下图是一个 3×4 个展 区的示意图) 。在展厅中, 展览的书画被挂在每个展区的外墙上, 参观者在通道上浏览书画。

② 保安员站在固定的位置上,不允许转身,只能监视他的左右两侧和正前方,形如“T”形 的区域。且一个保安员的正前方不安排其它保安员。 ③ 不考虑保安员的轮岗、换班问题。 ④ 展口的安全意味着每一个展区的四面外墙都在保安员的监视范围内。 问题:(1)对于如上图所示的展厅中,最少需要几个保安员能使展品安全?在图中标明保 安员的位置(不要求证明)。

(2) 假如展要有 n×m 品安全?请证明你的结论。 竞赛参考答案

个展区, 最少需要多少个保安员能使展

1.解法一 由题意得这两辆汽车的刹车距离分别满足如下的关系式: 解法一: 解法一

12<

<15,

11< 分别求解这两个不等式,得

<12,

30<

<

<35,

12<

<

<

<45.

可见,A 车无责任,B 车应付责任。

解法二:如果 解法二

=

=40km/h,则可以算得

=20m,

=10m。由于 A 车实际刹车距离没

有超过它按限速行驶的刹车距离 车距离 =10m。

=20m;而 B 车实际刹车距离超过了它按限速行驶时的刹

可见 A 车无责任,B 车应付责任。 2.解 2.解:假设小晰蜴从 15cm 长到 20cm,体形是相似的。这时晰蜴的体重正比于它的 体积,而体积与体长的立方成正比。

记体长为 l 的晰蜴的体重为

,因此有

合理的答案应该是 35g。 3.解 3.解:(1)描点作图,设 x 表示时间,y 表示水深。

(2)由题目条件,水深至少为 5.5 米时才能保证货船驶入港口的安全。为此在上图中

做一条 y=5.5 的水平直线 a。图象在 a 止方时,其对应的 x 范围为货船驶入港口的安全时间 段,从图中可以看出,这个时间段约为 0:30 到 5:40 分,或 13:00 到 18:20(有 10 分钟左 右的偏差可以算对),在港口停留的时间大约为 5 小时。 也可以用线性插值方法,在已知点中,若相邻两点在直线 a 的异侧,设加在它们中间且 过直线 a 的点与它们共线。于是

利用点(0,5)和(1,6.2),得 利用点(5,6.5)和(6,5.3),得 件的时间段约为 0:25-5:50。

=(5.5-5)/(6.2-5)=0.417,对应的时间为 0:25; =5.83,对应的时间为 5:50。由此得到第一个满足条

同理, 利用点 (12,4.4) 和(13,5.6), 得 和(19,4.4),得 12:55-18:16。

=12.92,对应的时间为 12:55; 利用点 (18,5.9)

=18.27,对应的时间为 18:16。由此得到第二个满足条件的时间段约为

(3)2:00 时水深为 7.1 米,船需要的安全水深随着卸货时间的变化公式为: y=5.5-0.3(x-2); 其中 2<x<5.83,此处利用了插值的结果。在上面的函数图象中画出该图象,看出与原 图象的交点大约在 7:00 左右(有 10 分钟左右上午偏差可以算正确),故知在 7:00 以前该 货船一定要离开码头驶到较深的安全水域。 注: 此处也可利用(6,5.3),(7,4.1)做线性插值,得 y=-1.2x+12.5 与 y=5.5-0.(x-2), 联立可求得 x=7.1,即 7:06;若利用(7,4.1),(8,3.1)做线性插值,得 y=-x+11.1 与 y=5.5-0.3(x-2)联立可求得 x=7,即 7:00.这些做法与看图得到的结果一致。

4.解 4.解:购物价值=所用人民币值+优惠值,将最多购物价值记作 按下列方法购物



第一次用现金购物 70000 元,获得奖励券 70000×12%=14000(元); 第二次用现金购物 14000 元,获得奖励券 14000×20%=2800(元); 第三次用现金购物 2800 元,获得奖励券 2800×20%=560(元); 第四次用现金购物 500 元,获得奖励券 500×20%=100(元);

第五次用现金购物 100 元,获得奖励券 100×20%=20(元); 第六次用现金购物 80 元,获得奖励券 80(60+20),获得奖励券 0 元。 至此,现金及奖励券全部用完,共计购物(记作 a)

a=70000+14000+2800+500+100+80=87480(元)。而

=80。018%,近似于八折。

下面证明

=a.

设分 k 次将 70000 花掉,第 i 次购物获得的奖励券为 包括第 i 次获得的奖励券) 则 0≤ 。 =(7000-20% ; )20%+[(7000≤ )20%+ ,并可依次得

元,剩下的钱为 = 70000(

元(不

) 20%≤14000; -

]20%=70000 20%+70000

=70000 20%+70000 ]20%+ }20%

-(20%)2

-20%

+{[70000-

)20%+

=70000 20%+70000 -20% ;

+70000

-

一般地 -···-

=70000 20%+70000 -20% ,

+...+70000



<70000 [20%+

+

+···+

]<17500。

则总共购物价值为 70000+

<70000+17500=87500.



=87480 元。接近八折。

5.解 5.解:(1)对如图所示的 3×4 个展区,至少要 5 个保安员才能保证展览的书画是安全 的。 保安员站位的方案有多种,其中一个如下图所示:

(2)对 n×m 能保证展览的书画是安全的。

个展区,至少要 m+n-2 个保安员才

证明: 我们把模型进行抽象, n×m 把 证明:

个展区抽象成

一个 n×m“格阵”,它有 n+m+2 条边(对应待监视的走廊),且用字母标记如下: 由于保安员监视范围是“T”型区域, 所以称保安员的位置对庆的“格隈”中的格 点为“T 形点。” 这样,我们把一个实际问题转化为一个数学模型:在 n×m“格阵”中至少取几个 “T”形点能够用这些 T 形区域覆盖 n×m“格阵”的全部 n+m+2 条边。 首先,“T”型点放在 n×m“格阵”的外边框的格点上才能发挥最大作用,覆盖两 条边。否则,如果在中间某一格点处放一“T”形点 P,那么这一“T”形点 P 的另一边的一 部分, 而另一部分还需要另外的“T”形点去覆盖, 这样 P“T”形点相当于只覆盖了一条边。 此外,在 n×m“格阵”的边界格点上,当有了一个“T”形点时,如果在此边界上 再放入第二个,它所在的边界已不需要它覆盖,那么这个“T”形点相当于覆盖了一条边。 由于 n×m“格阵”只有 4 条边界,所以“T”形点多于 4 个时,其中 4 个覆盖两条边,其余 的只相当于覆盖一条边。因为这“其余的”不是被放在中间的格点上,就是被放在已有一个 “T”形点的边界上,n×m“格阵”共有 m+n+2 条边,所以至少需“T”形点(m+n+2)-4 个, 即 m+n-2 个。 另外,也的确有如下的办法用 m+n-2 个“T”形点控制 n×m“格阵”的 m+n+2 条边。



处放 4 个“T”形点,它们可以控制 8 条边。

再在 可以覆盖不同于前面的 n-3 条横向边。

,这 n-3 个位置上放 n-3 个“T”形点,它们

再在 以覆盖不同于前面的 m-3 条纵向边。

,这 n-3 个位置上放 m-3 个“T”形点,它们可

总计覆盖了 8+(n-3)+(m-3)条不同的的边,也就是整个 n×m“格阵”。


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