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2016-2017学年河南省天一大联考高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)


2016-2017 学年河南省天一大联考高三(上)期末数学试卷(理 科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个 选项中,有且只有一项符合题目要求. 1. 已知集合 A={0, 2, 4, 6}, B={x∈N|2n<33}, 则集合 A∩B 的子集个数为 ( A.8 B.7 C.6 D.4 为纯虚数,则实数 a 的值为( ) )

2.设 i 为虚数单位,复数 A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.2

3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n﹣1,则数列{log2an}的前 10 项和等于( A.1023 B.55 C.45 D.35



4.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明, 下面是赵爽的弦图及注文, 弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为 弦实, 图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形, 分别涂成红 (朱) 色及黄色, 其面积称为朱实,黄实,利用 2×勾×股+(股﹣勾)2=4×朱实+黄实=弦实,化 简,得勾 2+股 2=弦 2,设勾股中勾股比为 1: ,若向弦图内随机抛掷 1000 颗 )

图钉(大小忽略不计) ,则落在黄色图形内的图钉数大约为(

A.866 B.500 C.300 D.134 5.已知圆(x﹣1)2+y2= 的一条切线 y=kx 与双曲线 C: 0)有两个交点,则双曲线 C 的离心率的取值范围是( A. (1, ) B. (1,2) C. ( ,+∞) D. (2,+∞) ﹣ ) =1(a>0,b>

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6.已知点 M 的坐标(x,y)满足不等式组

,N 为直线 y=﹣2x+2 上

任一点,则|MN|的最小值是( A. B. C.1 D.



7.已知 a>0 且 a≠1,如图所示的程序框图的输出值 y∈[4,+∞) ,则实数 a 的 取值范围是( )

A. (1,2] B. ( ,1)

C. (1,2) D.[2,+∞)

8.函数 f(x)=

的图象大致是(



A.

B.

C



D. 9.如图,已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 6,∠C1BC 的正切值为 ,当 AB+AD+AA1 的值最小时,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 外接球的表面积( )

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A.10π B.12π C.14π D.16π 10.已知函数 f(x)=Asin(2x+φ)﹣ (A>0,0<φ< 截距为 1,且关于直线 x= 对称,若对于任意的 x∈[0, ) , ] ) )的图象在 y 轴上的 ],都有 m2﹣3m≤f

(x) ,则实数 m 的取值范围为(

A.[1, ] B.[1,2] C.[ ,2] D.[

11.某几何体的三视图如图所示,则其体积为(

A.8

B.10 C.12 D.14

12.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(4+x)=f(x) ,且 x∈(﹣2,2]时,f (x)= 则函数 g(x)=f(x)﹣|log4|x||的零点个 ) B.7 C.8 D.9

数是( A.4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已知平面向量 = (1, 2) , = (﹣2, m) , 且| + |=| ﹣ |, 则| +2 |= 14.已知 n= ,则 的展开式中 x2 的系数为 + . =1(b>0)的 .

15.已知抛物线 C1:y=ax2(a>0)的焦点 F 也是椭圆 C2:

一个焦点,点 M,P( ,1)分别为曲线 C1,C2 上的点,则|MP|+|MF|的最小

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值为



16. 已知数列{bn}是首项为﹣34, 公差为 1 的等差数列, 数列{an}满足 an+1﹣an=2n (n∈N*) ,且 a1=b37,则数列{ }的最大值为 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验 算过程. 17. (12 分) 如图, 在圆内接四边形 ABCD 中, AB=2, AD=1, BC= (Ⅰ)求角 β 的大小 (Ⅱ)求四边形 ABCD 周长的取值范围. BDcosα+CDsinβ

18. (12 分) 如图, 已知四边形 ABCD 和 ABEG 均为平行四边形, 点 E 在平面 ABCD 内的射影恰好为点 A,以 BD 为直径的圆经过点 A,C,AG 的中点为 F,CD 的中 点为 P,且 AD=AB=AE (Ⅰ)求证:平面 EFP⊥平面 BCE (Ⅱ)求二面角 P﹣EF﹣B 的余弦值.

19. (12 分)2016 年是红色长征胜利 80 周年,某市电视台举办纪念红军长征胜 利 80 周年知识问答,宣传长征精神,首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进 行支持签名活动 公园 获得签名人 数
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甲 45

乙 60

丙 30

丁 15

然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取 10 名幸运之星回答问题,从 10 个关于长征的问题中随机抽取 4 个问题让幸运之星回答, 全部答对的幸运之星获 得一份纪念品. (Ⅰ)求此活动轴个各公园幸运之星的人数 (Ⅱ)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为 运之星获得纪念品的概率 (Ⅲ)若幸运之星小李对其中 8 个问题能答对,而另外 2 个问题答不对,记小李 答对的问题数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X) 20. (12 分)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的上下两个焦点分别为 F1,F2, ,椭圆 C ,求恰好 2 位幸

过点 F1 与 y 轴垂直的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,△MNF2 的面积为 的离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

(Ⅱ)已知 O 为坐标原点,直线 l:y=kx+m 与 y 轴交于点 P,与椭圆 C 交于 A, B 两个不同的点,若存在实数 λ,使得 +λ =4 ,求 m 的取值范围.

21. (12 分)已知函数 f(x)=x+alnx 与 g(x)=3﹣ 的图象在点(1,1)处有相 同的切线 (1)若函数 y=2(x+n)与 y=f(x)的图象有两个交点,求实数 n 的取值范围 (2)设函数 H(x)=f(x)﹣ln(ex﹣1) ,x∈(0,m) ,求证:H(x)< .

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果两题都做,则按照所做的第一题 给分.[选修 4-4:参数方程与极坐标系](共 1 小题,满分 10 分) 22. (10 分)已知极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴的正半 轴,两种坐标系中的长度单位相同,圆 C 的直角坐标系方程为 x2+y2+2x﹣2y=0, 直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,射线 OM 的极坐标方程为 θ=

(Ⅰ)求圆 C 和直线 l 的极坐标方程 (Ⅱ)已知射线 OM 与圆 C 的交点为 O,P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的
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长.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x+3|+|x﹣2| (Ⅰ)若? x∈R,f(x)≥6a﹣a2 恒成立,求实数 a 的取值范围 (Ⅱ)求函数 y=f(x)的图象与直线 y=9 围成的封闭图形的面积.

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2016-2017 学年河南省天一大联考高三(上)期末数学试 卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个 选项中,有且只有一项符合题目要求. 1. 已知集合 A={0, 2, 4, 6}, B={x∈N|2n<33}, 则集合 A∩B 的子集个数为 ( A.8 B.7 C.6 D.4 )

【分析】化简集合 B,根据交集的运算写出 A∩B,即可求出它的子集个数. 【解答】解:集合 A={0,2,4,6}, B={x∈N|2n<33}={0,1,2,3,4,5}, 则 A∩B={0,2,4}, ∴A∩B 的子集个数为 23=8. 故选:A. 【点评】本题考查了两个集合的交运算和指数不等式的解法以及运算求解能力.

2.设 i 为虚数单位,复数 A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.2

为纯虚数,则实数 a 的值为(



【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为 0 且虚部不为 0 求解. 【解答】解:∵ ∴ 故选:C. 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算, 考查了复数的基本概念, 是基础题. = 为纯虚数,

,解得 a=﹣2.

3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n﹣1,则数列{log2an}的前 10 项和等于( A.1023 B.55 C.45 D.35



【分析】由数列递推式:n=1 时,a1=S1;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,可得 an,求
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出 log2an=log22n﹣1=n﹣1,再由等差数列的求和公式计算即可得到所求和. 【解答】解:数列{an}的前 n 项和 Sn=2n﹣1, 可得 a1=S1=2﹣1=1; 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1﹣(2n﹣1﹣1)=2n﹣1,对 n=1 也成立. log2an=log22n﹣1=n﹣1, 则数列{log2an}的前 10 项和等于 0+1+2+…+9= ×(1+9)×9=45. 故选:C. 【点评】 本题考查数列的通项公式的求法,注意运用数列递推式:n=1 时, a1=S1; 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,同时考查对数的运算和等差数列的求和公式,考查运 算能力,属于中档题.

4.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明, 下面是赵爽的弦图及注文, 弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为 弦实, 图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形, 分别涂成红 (朱) 色及黄色, 其面积称为朱实,黄实,利用 2×勾×股+(股﹣勾)2=4×朱实+黄实=弦实,化 简,得勾 2+股 2=弦 2,设勾股中勾股比为 1: ,若向弦图内随机抛掷 1000 颗 )

图钉(大小忽略不计) ,则落在黄色图形内的图钉数大约为(

A.866 B.500 C.300 D.134 【分析】设勾为 a,则股为 ,弦为 2a,求出大的正方形的面积及小的正方形

面积,再求出图钉落在黄色图形内的概率,乘以 1000 得答案. 【解答】解:如图, 设勾为 a,则股为 ,∴弦为 2a, =( )a2,

则图中大四边形的面积为 4a2,小四边形的面积为

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则由测度比为面积比,可得图钉落在黄色图形内的概率为 ∴落在黄色图形内的图钉数大约为 1000 故选:D. ≈134.



【点评】本题考查几何概型,考查几何概型概率公式的应用,是基础的计算题.

5.已知圆(x﹣1)2+y2= 的一条切线 y=kx 与双曲线 C: 0)有两个交点,则双曲线 C 的离心率的取值范围是( A. (1, ) B. (1,2) C. ( ,+∞) D. (2,+∞)

﹣ )

=1(a>0,b>

【分析】先求出切线的斜率,再利用圆(x﹣1)2+y2= 的一条切线 y=kx 与双曲 线 C: ﹣ =1(a>0,b>0)有两个交点,可得 > ,即可求出双曲线 C

的离心率的取值范围. 【解答】解:由题意,圆心到直线的距离 d= = ,∴k=± ,

∵圆(x﹣1)2+y2= 的一条切线 y=kx 与双曲线 C: 两个交点, ∴ > ∴1+ , >4,



=1(a>0,b>0)有

∴e>2, 故选:D.
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【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查双曲线的方程与性质,考查学生的 计算能力,属于中档题.

6.已知点 M 的坐标(x,y)满足不等式组

,N 为直线 y=﹣2x+2 上

任一点,则|MN|的最小值是( A. B. C.1 D.



【分析】画出约束条件的可行域,利用已知条件,转化求解距离的最小值即可.

【解答】解:点 M 的坐标(x,y)满足不等式组

的可行域如图:点

M 的坐标(x,y)满足不等式组

,N 为直线 y=﹣2x+2 上任一点,则

|MN| 的 最 小 值 , 就 是 两 条 平 行 线 y= ﹣ 2x+2 与 2x+y ﹣ 4=0 之 间 的 距 离 : d= 故选:B. = .

【点评】本题考查线性规划的应用,平行线之间的距离的求法,考查转化思想以 及计算能力.

7.已知 a>0 且 a≠1,如图所示的程序框图的输出值 y∈[4,+∞) ,则实数 a 的
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取值范围是(



A. (1,2] B. ( ,1)

C. (1,2) D.[2,+∞)

【分析】根据已知中的程序框图可得,该程序的功能是计算并输出分段函数 y= 答案. 【解答】解:根据已知中的程序框图可得, 该程序的功能是计算并输出分段函数 y= 当 x≤2 时,y=﹣x+6≥4 恒成立, 当 x>2 时,由 y=3+loga2≥4 得:loga2≥1, 解得:a∈(1,2], 故选:A. 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,程序框图,根据已知分析出程序 的功能是解答的关键. 的值, 的值,根据程序框图的输出值 y∈[4,+∞) ,分类讨论可得

8.函数 f(x)=

的图象大致是(



A.

B.

C



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D. 【分析】判断函数的奇偶性,排除选项,然后利用函数的特殊值判断即可.

【解答】解:函数 f(x)=

是奇函数,排除 A,D.

当 x= 时,f( )= 故选:C.

>0,函数的图象的对应点在第一象限,排除 B.

【点评】本题考查函数的图象的判断,函数的奇偶性以及函数的单调性,特殊点 等等是解题的常用方法.

9.如图,已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 6,∠C1BC 的正切值为 ,当 AB+AD+AA1 的值最小时,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 外接球的表面积( )

A.10π B.12π C.14π D.16π 【分析】先根据条件求出长方体的三条棱长,再求出长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 外 接球的直径,即可得出结论. 【解答】解:由题意设 AA1=x,AD=y,则 AB=3x, ∵长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 6, ∴xy?3x=6, ∴y= , ≥3 =6,

∴长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 4x+

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当且仅当 2x=

,即 x=1 时,取得最小值, = ,

∴长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 外接球的直径为 ∴长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 外接球的表面积=14π, 故选 C.

【点评】本题考查长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 外接球的表面积,考查体积的计算, 考查基本不等式的运用,属于中档题.

10.已知函数 f(x)=Asin(2x+φ)﹣ (A>0,0<φ< 截距为 1,且关于直线 x= 对称,若对于任意的 x∈[0, ) , ]

)的图象在 y 轴上的 ],都有 m2﹣3m≤f

(x) ,则实数 m 的取值范围为(

A.[1, ] B.[1,2] C.[ ,2] D.[

【分析】利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象和性质,正弦函数的定义域和值域, 求得实数 m 的取值范围. 【解答】解:∵函数 f(x)=Asin(2x+φ)﹣ (A>0,0<φ< 轴上的截距为 1,∴Asinφ﹣ =1,即 Asinφ= . ∵函数 f(x)=Asin(2x+φ)﹣ k∈Z,∴φ= ∴A?sin , ,∴f(x)= sin(2x+ ) . 的图象关于直线 x= 对称,∴2? +φ=kπ+ , )的图象在 y

= ,∴A=

对于任意的 x∈[0, ∵2x+ ], ∈[ ,

],都有 m2﹣3m≤f(x) , ],sin(2x+ )∈[﹣ ,1], sin(2x+ )∈[﹣ ,

∴m2﹣3m≤﹣ ,求得 故选:D.

≤m≤



【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象和性质,正弦函数的定义域 和值域,属于中档题.
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11.某几何体的三视图如图所示,则其体积为(



A.8

B.10 C.12 D.14

【分析】 通过三视图判断几何体的特征,利用三视图的数据求出几何体的体积即 可. 【解答】解:该几何体是以俯视图为底面的四棱锥,底面积为 为 4, 体积为 故选 C. 【点评】本题考查三视图与几何体的关系,考查几何体的体积的求法,考查计算 能力. =12 =9,高

12.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(4+x)=f(x) ,且 x∈(﹣2,2]时,f (x)= 则函数 g(x)=f(x)﹣|log4|x||的零点个 ) B.7 C.8 D.9

数是( A.4

【分析】 求出函数 f(x) 的周期,画出函数的图象,函数 g (x)=f(x)﹣|log4|x|| 的零点个数,转化为:y=f(x)的图象与 y=|log4|x||图象交点个数. 【解答】解:定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(4+x)=f(x) ,函数的周期为 4,

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且 x∈(﹣2,2]时,f(x)=



函数 g(x)=f(x)﹣|log4|x||的零点个数,就是:y=f(x)的图象与 y=|log4|x|| 图象交点个数. 画出函数的图象如图,y=f(x)∈[0,1],y=|log4|x||是偶函数,当 x=4 时 y=1, |x|>4 与 y=f(x) 的图象没有交点, 由函数的图象可知两个函数的交点个数为 9 个. (图象中红点) . 故选:D.

【点评】 本题考查函数的零点个数的判断,考查数形结合以及分析问题解决问题 的能力.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已知平面向量 = (1, 2) ,= (﹣2, m) , 且| + |=| ﹣ |, 则| +2 |= 5 . 【分析】利用平面向量坐标运算法则求出 m=1,由此能求出| +2 |的值. 【解答】解:∵平面向量 =(1,2) , =(﹣2,m) , ∴ =(﹣1,2+m) , =(3,2﹣m) , , ,由| + |=| ﹣ |,求出

∵| + |=| ﹣ |, ∴1+(2+m)2=9+(2﹣m)2,
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解得 m=1, ∴ =(﹣2,1) , | +2 |= 故答案为:5. 【点评】本题考查向量的模的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意平面向 量坐标运算法则的合理运用. =5. =(﹣3,4) ,

14.已知 n=

,则

的展开式中 x2 的系数为 =

1

. =6 , 利 用

【 分 析 】 利 用 微 积 分 基 本 定 理 可 得 n= 的展开式中的通项公式:Tk+1=(﹣1)k?36﹣k? 解得 k 即可得出. 【解答】解:n= 则 = =6,

,令

﹣3=2,

的展开式中的通项公式: Tk+1=

=(﹣1)k?36﹣

k

?

, ﹣3=2,解得 k=6. =1.



∴x2 的系数= 故答案为:1.

【点评】本题考查了二项式定理的应用、微积分基本定理,考查了推理能力与计 算能力,属于基础题.

15.已知抛物线 C1:y=ax2(a>0)的焦点 F 也是椭圆 C2:

+

=1(b>0)的

一个焦点,点 M,P( ,1)分别为曲线 C1,C2 上的点,则|MP|+|MF|的最小 值为 2 .
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【分析】先求出椭圆方程,可得焦点坐标,再设点 M 在准线上的射影为 D,则 根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|进而把问题转化为求|MP|+|MD|取得最小, 进而可推断出当 D,M,P 三点共线时|MP|+|MD|最小,答案可得. 【解答】解:P( ,1)代入椭圆 C2: ∴焦点 F(0,1) , ∴抛物线 C1:x2=4y,准线方程为 y=﹣1. 设点 M 在准线上的射影为 D,则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD| ∴要求|MP|+|MF|取得最小值,即求|MP|+|MD|取得最小, 当 D,M,P 三点共线时|MP|+|MD|最小,为 1﹣(﹣1)=2. 故答案为 2. 【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,判断当 D, M,P 三点共线时|PM|+|MD|最小,是解题的关键. + =1,可得 =1,∴b= ,

16. 已知数列{bn}是首项为﹣34, 公差为 1 的等差数列, 数列{an}满足 an+1﹣an=2n (n∈N*) ,且 a1=b37,则数列{ }的最大值为 .

【分析】根据题意,由等差数列的通项公式可得数列{bn}的通项公式,进而对于 数列{an},由 an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1,计算可得数列 {an}的通项公式, 即可得数列{ }的通项, 结合数列的性质分析可得当 n=36 时,

数列{

}取得最大值,计算即可得答案.

【解答】解:根据题意,数列{bn}是首项为﹣34,公差为 1 的等差数列, 则 bn=(﹣34)+1×(n﹣1)=n﹣35, b37=37﹣35=2, 对于数列{an}满足 an+1﹣an=2n(n∈N*) ,a1=b37=2, 则有 an= ( an ﹣ an ﹣ 1 ) + ( an ﹣ 1 ﹣ an ﹣ 2 ) +…+ ( a2 ﹣ a1 ) +a1= ( 2n ﹣ 1+2n ﹣ 2+…+2 ) +2= =2n,
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数列{

}的通项为:

=



分析可得:当 n=36 时,数列{ 故答案为: .

}取得最大值,此时

=



【点评】本题考查数列的递推公式的应用,关键是求出数列{an}的通项公式.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验 算过程. 17. (12 分) 如图, 在圆内接四边形 ABCD 中, AB=2, AD=1, BC= (Ⅰ)求角 β 的大小 (Ⅱ)求四边形 ABCD 周长的取值范围. BDcosα+CDsinβ

【分析】 (Ⅰ)条件化为 (Ⅱ)求出 CB+CD 【解答】解: (Ⅰ)∵ ∴ ∴ sin∠BDC= sin(α+β)=

sin(α+β)=

sinβcosα+sinαsinβ,即可求角 β 的大小

,即可求四边形 ABCD 周长的取值范围. BC= BDcosα+CDsinβ,

sinβcosα+sinαsinβ, sinβcosα+sinαsinβ, ,∴β= ; ,BD= =7, ,

化简可得 tanβ= (Ⅱ)由题意,

∵BD2=CB2+CD2﹣2CB?CD?cosβ=(CB+CD)2﹣3CB?CD≥ ∴CB+CD ∵ , , ,3+2 ) .

∴四边形 ABCD 周长的取值范围(3+

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【点评】本题考查三角函数的化简,考查余弦定理的运用,属于中档题.

18. (12 分) 如图, 已知四边形 ABCD 和 ABEG 均为平行四边形, 点 E 在平面 ABCD 内的射影恰好为点 A,以 BD 为直径的圆经过点 A,C,AG 的中点为 F,CD 的中 点为 P,且 AD=AB=AE (Ⅰ)求证:平面 EFP⊥平面 BCE (Ⅱ)求二面角 P﹣EF﹣B 的余弦值.

【分析】 (Ⅰ)推导出 AE⊥平面 ABCD,从而平面 ABCD⊥平面 ABEG,从而 EF⊥ BC,再求出 EF⊥BE,从而 EF⊥平面 BCE,由此能证明平面 EFP⊥平面 BCE. (Ⅱ)以 A 为原点,AD 为 x 轴,AB 为 y 轴,AE 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 利用向量法能求出二面角 P﹣EF﹣B 的余弦值. 【解答】证明: (Ⅰ)∵点 E 在平面 ABCD 内的射影恰好为 A, ∴AE⊥平面 ABCD, 又 AE? 平面 ABEG, ∴平面 ABCD⊥平面 ABEG, 又以 BD 为直径的圆经过点 A,C,AD=AB, ∴ABCD 为正方形, 又平面 ABCD∩平面 ABEG=AB,∴BC⊥平面 ABEG, ∵EF? 平面 ABEG,∴EF⊥BC, 又 AB=AE=GE,∴∠ABE=∠AEB= ,

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又 AG 的中点为 F,∴ ∵



,∴EF⊥BE,

又 BE? 平面 BCE,BC? 平面 BCE,BC∩BE=B, ∴EF⊥平面 BCE, 又 EF? 平面 EFP, ∴平面 EFP⊥平面 BCE. 解: (Ⅱ)如图,以 A 为原点,AD 为 x 轴,AB 为 y 轴,AE 为 z 轴,建立空间直 角坐标系, 设 AB=2,则 A(0,0,0) ,E(0,0,2) ,P(2,1,0) ,G(0,﹣2,2) , ∵AG 的中点为 F,∴F(0,﹣1,﹣1) , 故 =(﹣2,﹣1,2) , =(﹣2,﹣2,1) ,

设平面 EFP 的法向量 =(x,y,z) , 则 ,令 x=3,得 =(3,﹣2,2) ,

由题意平面 ABEG 的一个法向量为 =(1,0,0) , 设二面角 P﹣EF﹣B 的平面角为 θ, 则 cosθ= = . .

∴二面角 P﹣EF﹣B 的余弦值为

【点评】本题考查面面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解 题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

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19. (12 分)2016 年是红色长征胜利 80 周年,某市电视台举办纪念红军长征胜 利 80 周年知识问答,宣传长征精神,首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进 行支持签名活动 公园 获得签名人 数 然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取 10 名幸运之星回答问题,从 10 个关于长征的问题中随机抽取 4 个问题让幸运之星回答, 全部答对的幸运之星获 得一份纪念品. (Ⅰ)求此活动轴个各公园幸运之星的人数 (Ⅱ)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为 运之星获得纪念品的概率 (Ⅲ)若幸运之星小李对其中 8 个问题能答对,而另外 2 个问题答不对,记小李 答对的问题数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X) 【分析】 (Ⅰ)此活动轴个各公园幸运之星的人数分别为: ×10, ×10. = ,可得乙公园中 . , , ,求恰好 2 位幸 甲 45 乙 60 丙 30 丁 15

(Ⅱ)乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为 恰好 2 位幸运之星获得纪念品的概率=

(Ⅲ)由题意可得:X 的取值为 2,3,4.X 服从几何分布列.即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)此活动轴个各公园幸运之星的人数分别为: =4, ×10=2, ×10=1. = , = . = , =3 ,

(Ⅱ)乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为 ∴乙公园中恰好 2 位幸运之星获得纪念品的概率=

(Ⅲ) 由题意可得: X 的取值为 2, 3, 4. X 服从几何分布列. P (X=2) =

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P(X=3)= X 的分布列为: X P

=

,P(X=4)=

= .

2

3

4

∴数学期望 E(X)=

=



【点评】 本题考查了几何分布列的概率计算公式及其数学期望计算公式、分层抽 样,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

20. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的上下两个焦点分别为 F1,F2, ,椭圆 C

过点 F1 与 y 轴垂直的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,△MNF2 的面积为 的离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

(Ⅱ)已知 O 为坐标原点,直线 l:y=kx+m 与 y 轴交于点 P,与椭圆 C 交于 A, B 两个不同的点,若存在实数 λ,使得 +λ =4 ,求 m 的取值范围. ,由 ,

【分析】 (Ⅰ)根据已知设椭圆的焦距 2c,当 y=c 时,|MN|=|x1﹣x2|= 题意得,△MNF2 的面积为 解得 a、b 即可. |MN|×|F1F2|=c|MN|= ,又∵

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,P(0,y0) ,分类讨论:当 m=0 时,利用椭 圆的对称性即可得出;m≠0 时,直线 AB 的方程与椭圆的方程联立得到△>0 及 根与系数的关系,再利用向量相等,代入计算即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)根据已知设椭圆的焦距 2c,当 y=c 时,|MN|=|x1﹣x2|= 由题意得,△MNF2 的面积为 又∵ ,解得 b2=1,a2=4, .
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|MN|×|F1F2|=c|MN|=



椭圆 C 的标准方程为:x2+

(Ⅱ)当 m=0 时,则 P(0,0) ,由椭圆的对称性得 ∴m=0 时,存在实数 λ,使得 当 m≠0 时,由 +λ =4 +λ =4 , ,



,得

∵A、B、p 三点共线,∴1+λ=4,? λ=3? 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 由 ,得(k2+4)x2+2mkx+m2﹣4=0,

由已知得△=4m2k2﹣4(k2+4) (m2﹣4)>0,即 k2﹣m2+4>0 且 x1+x2= 由 ,x1x2= 得 x1=﹣3x2 ,? m2k2+m2﹣k2﹣4=0 .

3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴

显然 m2=1 不成立,∴

∵k2﹣m2+4>0,∴ 解得﹣2<m<﹣1 或 1<m<2.

,即



综上所述,m 的取值范围为(﹣2,﹣1)∪(1,2)∪{0} 【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法,考查了椭圆的简单性质、涉及直线与 椭圆相交问题, 常转化为关于 x 的一元二次方程, 利用△>0 及根与系数的关系、 向量相等等基础知识与基本技能方法求解,考查了推理能力和计算能力,属于中 档题.

21. (12 分)已知函数 f(x)=x+alnx 与 g(x)=3﹣ 的图象在点(1,1)处有相 同的切线 (1)若函数 y=2(x+n)与 y=f(x)的图象有两个交点,求实数 n 的取值范围
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(2)设函数 H(x)=f(x)﹣ln(ex﹣1) ,x∈(0,m) ,求证:H(x)< . 【分析】 (1)求出 f(x) ,g(x)的导数,由题意可得 ,求出 a,

b,得到 f(x) ,设 F(x)=f(x)﹣2x﹣2n=lnx﹣x﹣2n,求出导数,单调区间和 最值,由题意可得只要最大值大于 0,即可得到所求 n 的范围; (2)求出 H(x)的解析式,求得导数,令 h(x)=ex﹣x﹣1,求得导数,判断 h (x)>0,即有 H(x)在(0,m)递增,运用分析法证明,要证 H(x)< , 即证 H (m) ≤ , 即 m+lnm﹣ln (em﹣1) ≤ , 变形为 e ﹣e ≥m. 令 t=e

(t>0) ,即证 et﹣e﹣t≥2t,设 g(t)=et﹣e﹣t﹣2t,t>0,求出导数,判断单调 性,即可得证. 【解答】解: (1)函数 f(x)=x+alnx 的导数为 f′(x)=1+ , g(x)=3﹣ 的导数为 g′(x)= ,

由图象在点(1,1)处有相同的切线, 可得 ,解得 a=1,b=2,

即 f(x)=x+lnx,设 F(x)=f(x)﹣2x﹣2n=lnx﹣x﹣2n, F′(x)= ﹣1,当 x>1 时,F′(x)<0,F(x)递减, 当 0<x<1 时,F′(x)>0,F(x)递增, 可得 F(x)的极大值,也为最大值,F(1)=﹣1﹣2n, 由 x→0,F(x)→﹣∞;x→+∞,F(x)→﹣∞, 若函数 y=2(x+n)与 y=f(x)的图象有两个交点, 可得﹣1﹣2n>0,解得 n<﹣ , 即 n 的取值范围是(﹣∞,﹣ ) ; (2)证明:由 H(x)=f(x)﹣ln(ex﹣1)=x+lnx﹣ln(ex﹣1) ,x∈(0,m) , H′(x)=1+ ﹣ = ,

令 h(x)=ex﹣x﹣1,h′(x)=ex﹣1,当 x>0 时,h′(x)>0,h(x)递增;
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当 x<0 时,h′(x)<0,h(x)递减. 即有 h(x)>h(0)=0,即 H′(x)>0,H(x)在(0,m)递增, 即有 H(x)<H(m) , 要证 H(x)< ,即证 H(m)≤ , 即 m+lnm﹣ln(em﹣1)≤ , 即为 ln 令 t=e ≥ ,即为 ≥e ,即有 e ﹣e ≥m.

(t>0) ,即证 et﹣e﹣t≥2t,

设 g(t)=et﹣e﹣t﹣2t,t>0, g′(t)=et+e﹣t﹣2>2 ﹣2=0,可得 g(t)在(0,+∞)递增,

即 g(t)>g(0)=0,即有 et﹣e﹣t≥2t,t>0 恒成立. 故 H(x)< . 【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间、极值和最值,考查函 数方程的转化思想,以及构造函数法,运用分析法证明不等式,考查推理和运算 能力,属于难题.

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果两题都做,则按照所做的第一题 给分.[选修 4-4:参数方程与极坐标系](共 1 小题,满分 10 分) 22. (10 分)已知极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴的正半 轴,两种坐标系中的长度单位相同,圆 C 的直角坐标系方程为 x2+y2+2x﹣2y=0, 直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,射线 OM 的极坐标方程为 θ=

(Ⅰ)求圆 C 和直线 l 的极坐标方程 (Ⅱ)已知射线 OM 与圆 C 的交点为 O,P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的 长. 【分析】 (I)根据已知中圆 C 的直角坐标系方程,可得圆 C 的极坐标方程; 先由直线 l 的参数方程消参得到直线 l 的普通方程,进而可得直线 l 的极坐标方 程
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(Ⅱ)已知射线 OM 与圆 C 的交点为 O,P,将 θ= 坐标,进而得到线段 PQ 的长.

代和,可得 P,Q 点的极

【解答】解: (I)∵圆 C 的直角坐标系方程为 x2+y2+2x﹣2y=0, ∴圆 C 的极坐标方程为:ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ=0, 即 ρ+2cosθ﹣2sinθ=0, 即 ∵直线 l 的参数方程为 消参得:x﹣y+1=0, ∴直线 l 的极坐标方程为:ρcosθ﹣ρsinθ+1=0, 即 sinθ﹣cosθ= (Ⅱ)当 θ= ; 时,|OP|= , ) , =2 , , (t 为参数) ,

故点 P 的极坐标为(2 |OQ|= = ,

故点 Q 的极坐标为( 故线段 PQ 的长为:

, .

) ,

【点评】 本题考查的知识点是参数方程和极坐标,熟练掌握参数方程与普通方程 及极坐标方程之间的转化方式,是解答的关键.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x+3|+|x﹣2| (Ⅰ)若? x∈R,f(x)≥6a﹣a2 恒成立,求实数 a 的取值范围 (Ⅱ)求函数 y=f(x)的图象与直线 y=9 围成的封闭图形的面积. 【分析】 (Ⅰ) 由题意得,关于 x 的不等式|x+3|+|x﹣2|≥6a﹣a2 在 R 恒成立, 求出左边的最小值,即可求实数 a 的取值范围 (Ⅱ)图象与直线 y=9 围成的封闭图形是等腰梯形,上底长为 9,下底长为 5, 高为 4,即可求函数 y=f(x)的图象与直线 y=9 围成的封闭图形的面积.
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【解答】解: (Ⅰ) 由题意得,关于 x 的不等式|x+3|+|x﹣2|≥6a﹣a2 在 R 恒成 立, 因为|x+3|+|x﹣2|≥|(x+3)﹣(x﹣2)|=5,所以 6a﹣a2≤5, 解得 a≤1 或 a≥5. (Ⅱ)f(x)=9,可得 x=﹣5 或 x=4,如图所示,函数 y=f(x)的图象与直线 y=9 围成的封闭图形是等腰梯形,上底长为 9 ,下底长为 5 ,高为 4 ,面积为 =28.

【点评】本题主要考查绝对值函数,考查恒成立问题,体现了转化的数学思想, 属于中档题.

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