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22.2.3.1 降次—解一元二次方程 因式分解法周娟制


郧县南化中学

周娟

第22章 一元二次方程

22.2.3 因式分解法

风向标

?

学习目标
了解因式分解法解一元二次 方程的概念,并会用因式分解法 解某些一元二次方程.

1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法? X2=a (a≥0) 直接开平方法 (x+h)2=k (k≥0) 配方法
公式法
x? ? b ? b ? 4 ac
2

. b ? 4 ac ? 0 .
2

2.什么叫因式分解?

2a

?

?

把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做因式分解.

自学

指导

认真思考下面大屏幕出示的问题, 列出一元二次方程并尽可能用多 种方法求解.

心动

不如行动

你能解决这个问题吗

? 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相 等,这个数是几?你是怎样求出来的? ? 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 ? 3 x .
小颖是这样解的
解 : x ? 3 x ? 0.
2

:

小明是这样解的
解 : 方程 x ? 3 x 两
2

:

?x?

3? 2

9

边都同时约去

x, 得 .

.

? x ? 3.
? 这个数是 3 .

? 这个数是

0或 3 .

小颖做得对吗?

小明做得对吗?

心动

不如行动

你能解决这个问题吗

? 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相 等,这个数是几?你是怎样求出来的? ? 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 ? 3 x .
小亮是这样想的 : ? 0 ? 3 ? 0 , ? 15 ? 0 ? 0 ,
0 ? 0 ? 0.

小亮是这样解的
解 : 由方程 x
2
2

:

? 3 x, 得

x ? 3 x ? 0.
? x?x ? 3? ? 0. ? x ? 0, 或 x ? 3 ? 0. ? x1 ? 0 , x 2 ? 3 .
0, 个为 0 .

反过来 , 如果 a ? b ? 0 ,
那么 a ? 0 或 b ? 0 或 a ? b ? 0. 即 , 如果两个因式的积等于 那么这两个数至少有一

? 这个数是

0或 3 .

小亮做得对吗?

我思

我进步

因式分解法

? 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因 式分解法.

?老师提示:
?1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; ?2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; ?3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”

自学

指导

1. 自学P38--39两个例题,注意方程各 自 的特点,自学后比一比谁能灵 活运用因式分解法解相关方程. 2. 思考“想一想”中提出的问题, 灵活运用因式分解法.

以上解方程 x ?10 ? 4 . 9 x ? ? 0 是如何使二次方程降为一次的?

的方法

x ?10 ? 4 . 9 x ? ? 0



x ? 0   或   10 ? 4.9 x ? 0, ②  
可以发现,上述解法中,由①到②的过程,不是用开方降 次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次, 这种解法叫做因式分解法.

例题欣赏

?

因式分解法
?因式分解法解一元二次方程的步骤是: ?1.化方程为一般形式; ?2. 将方程左边因式分解; ? 3. 根据“至少有一个因式为 零”,转化为两个一元一次方程.
0,

? 用因式分解法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2).
解 : ?1 ?. 5 x
2

? 4 x ? 0,

x ?5 x ? 4 ? ? 0 . ? x ? 0, 或 5 x ? 4 ? 0. 4 ? x1 ? 0 ; x 2 ? . 5

? 2 ?. x ? 2 ? x ? x ? 2 ? ? ? x ? 2 ??1 ? x ? ? 0 .
? x1 ? 2 ; x 2 ? 1 .

? x ? 2 ? 0, 或1 ? x ? 0.

? 4. 分别解两个一元一次 方程,它们的根就是原方 程的根.

学习是件很愉快的事

淘金者
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.

? 你能用因式分解法解下列方程吗?
1 .x2-4=0; 解:1.(x+2)(x-2)=0, ∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.

这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?

动脑筋
? 1.解下列方程:

争先赛

?1 ?.?x ? 2 ??x - 4 ? ? 0 , ? 2 ?. 4 x ? 2 x ? 1? ? 3 ? 2 x ? 1?. 解 : ?1 ?.?x ? 2 ? ? 0,或 ?x - 4 ? 0 ?.
? x 1 ? ? 2; x 2 ? 4 .

?2 ?. 4 x ?2x ? 1? ? 3 ?2x ? 1 ? ? 0 , ?2x ? 1 ??4x - 3 ? ? 0 ,
? 2 x ? 1 ? 0, 或 4 x ? 3 ? 0. 1 3 ? x1 ? ? , x 2 ? . 2 4

想一想

先胜为快

? 一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
解:设这个数为x,根据题意,得 2x2=7x.

2x2-7x=0,
x(2x-7) =0, ∴x=0,或2x-7=0. 7 ? x1 ? 0 , x 2 ? . 2

我最 棒
?1 ?   x 2

,用因式分解法解下列方程
? x ? 0;   ?   x ? 2 3 x ? 0  3 ?     ? 6 x ? ? 3; ;? 3x ?2
2 2 2 2

4 ; 3 ? 4 ?   x 2 ? 1 2 1 ? 0   ? 5 ?   x ? 2 x ? 1 ? ? 4 x ? 2;     ?   x ? 4 ? ? ? 5 ? 2 x ? . ?6 ?

(1) x2+x=0 解: 因式分解,得
x ( x+1 ) = 0. 得 x = 0 或 x + 1 =0, x1=0 , x2=-1.

?2?   x2

? 2 3x ? 0 

解: 因式分解,得

x x ? 2 3 ? 0.
得   x ? 0   或 x ? 2 3 ? 0,

?

?

x1 ? 0, x 2 ? 2 3.

3x ?3?     2

? 6 x ? ? 3,           ?     ? 1 2 1 ? 0 4x ?4
2

解:化为一般式为

解:因式分解,得

x2-2x+1 = 0.
因式分解,得

( 2x + 11 )( 2x- 11 ) = 0. 有 2x + 11 = 0 或 2x - 11= 0,
11 2 11 2

( x-1 )( x-1 ) = 0. 有 x - 1 = 0 或 x - 1 = 0, x1=x2=1.
x1 ? ? , x2 ? .

3x ? 5 ?     ? 2 x ? 1? ? 4 x ? 2  

  ?     ? 4 ? ? ?5 ? 2 x ? ?6 ?x
2

2

解:化为一般式为

解:变形有 ( x -4 ) 2 - ( 5 - 2x )2=0. 因式分解,得 ( x - 4 - 5 + 2x )( x - 4 + 5 -2x ) = 0. ( 3x - 9 )( 1 - x ) = 0.

6x2 - x -2 = 0.
因式分解,得

( 3x - 2 )( 2x + 1 ) = 0.
有 3x - 2 = 0 或 2x + 1 = 0,
x1 ? 2 3 , x2 ? ? 1 2 .

有 3x - 9 = 0 或 1 - x = 0, x1 = 3 , x2 = 1.

2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面 积增加了一倍,求小圆形场地的半径. 解:设小圆形场地的半径为r 根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π.

因式分解,得

?r ? 5 ?
于是得 r ?

2r

??r ? 5 ?

2r ? 0.

?

2 r ? 5 ? 0或 r ?

2 r ? 5 ? 0.

r1 ?

5 2 ?1

, r2 ?

?5 1? 2

( 舍 去 ).
5 2 ?1

答:小圆形场地的半径是

m.

小结

拓展

回味无穷

? 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的 乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一 元二次方程的方法称为因式分解法. ? 因式分解法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟 练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零.”

? 因式分解法解一元二次方程的步骤是:
? (1)化方程为一般形式; ? (2)将方程左边因式分解; ? ? (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程. (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.

? 因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显 示了“二次”转化为“一次”的过程.

做一 做
1 .? 4 x ? 1 ?( 5 x ? 7 ) ? 0 ;

解下列方程
? 参考答案:
4 5 2 ? 2 ?. x1 ? ? ; x 2 ? 1 . 3 3 1 ?3 ?. x1 ? ? ; x 2 ? . 2 2 ? 4 ?. x1 ? 3; x 2 ? 9 .

?1 ?. x1

?

1

; x2 ? ?

7

.

2 .3 x ? x ? 1? ? 2 ? 2 x ;
3 .( 2 x ? 3 ) ? 4 ( 2 x ? 3 );
2

4 .2 ( x ? 3) ? x ? 9;
2 2

5 . 5 ( x ? x ) ? 3 ( x ? x );
2 2

?5 ?. x1
?6 ?. x1

? 0; x 2 ? 4 .
? ? 5; x 2 ? ? 1 3 .

6 .( x ? 2 ) ? ? 2 x ? 3 ? ;
2 2

7 .( x ? 2 ) ? x ? 3 ? ? 12 ; 8 .x ? 5 2 x ? 8 ? 0 .
2

?7 ?. x1 ? ? 1, x 2
?8 ?. x1

? 6.

? 4 2 ; x2 ?

2.

独立 作业

知识的升华
1、P43习题 6,10题;

祝你成功!

下课了!

结束寄语

? 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来掌 握.而某些方程可以用因式分解法简 便快捷地求解.


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