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三角函数部分高考题(带答案)


04 年到 13 年三角函数高考题
1.为得到函数 y ? cos ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( A ) 3?
B.向右平移

5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6

2.若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M ,N 两点,则

MN 的最大值为( B
A.1 B. 2

) C. 3 D.2

4.若 0 ? ? ? 2? ,sin ? ? 3 cos ? ,则 ? 的取值范围是:( C ) (A) ?

?? ? ? , ? ?3 2?

(B) ?

?? ? ,? ? ?3 ?

(C) ?

? ? 4? ? , ? ?3 3 ?

(D) ?

? ? 3? ? , ? ?3 2 ?

5.把函数 y ? sin x ( x ? R )的图象上所有点向左平行移动 上所有点的横坐标缩短到原来的

? 个单位长度,再把所得图象 3

1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是 C 2 ? x ? (A) y ? sin(2 x ? ) , x ? R (B) y ? sin( ? ) , x ? R 3 2 6 ? 2? ) ,x?R (C) y ? sin(2 x ? ) , x ? R (D) y ? sin(2 x ? 3 3

7.将函数 y ? sin(2 x ?

?

向量 ? 的坐标可能为( C ) A. ( ?

3

) 的图象按向量 ? 平移后所得的图象关于点 ( ?

?

12

, 0) 中心对称,则

?

12

, 0)

B. ( ?

?
6

, 0)

C. (

? , 0) 12

D. (

?
6

, 0)
)

10.函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3sin x cos x 在区间 ?

?? ? ? 上的最大值是( C , ?4 2? ?
D.1+ 3

A.1

B.

1? 3 2

C.

3 2

12.函数 f(x)=cosx(x)(x ? R)的图象按向量(m,0) 平移后,得到函数 y=-f′(x)的图象,则 m 的值可以为 A A.

? 2

B. ?

C.- ?

D.-

? 2

13.在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos(

1 x 3? ? )( x ? [0, 2? ]) 的图象和直线 y ? 的交 2 2 2

点个数是 C (A)0 (B)1 (C)2 (D)4 15.已知函数 y=2sin(ω x+φ )(ω >0)在区间[0,2π ]的图像如下:那么ω =( A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3 ? 17.函数 f(x)= 3sin x +sin( +x)的最大值是 2 2

B )

18.已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量

m=( 3,?1 ) ,n=(cosA,sinA).若 m⊥n,且 acosB+bcosA=csinC,则角 B=

π . 6
19. f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

??

? ? 的最小正周期为 5 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = 6?

.10 .?

20.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x ,x ? R , 则 f ( x ) 的最小正周期是 22.设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? b cos A ? (Ⅰ)求 tan A cot B 的值; (Ⅱ)求 tan( A ? B) 的最大值. 解析: (Ⅰ)在 △ ABC 中,由正弦定理及 a cos B ? b cos A ? 可得 sin A cos B ? sin B cos A ?

3 c. 5

3 c 5

3 3 3 3 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B 5 5 5 5 即 sin A cos B ? 4 cos A sin B ,则 tan A cot B ? 4 ; (Ⅱ)由 tan A cot B ? 4 得 tan A ? 4 tan B ? 0 tan A ? tan B 3 tan B 3 3 tan( A ? B) ? ? ? ≤ 2 1 ? tan A tan B 1 ? 4 tan B cot B ? 4 tan B 4 1 当且仅当 4 tan B ? cot B, tan B ? , tan A ? 2 时,等号成立, 2 3 1 故当 tan A ? 2, tan B ? 时, tan( A ? B) 的最大值为 . 4 2 5 4 23.在 △ ABC 中, cos B ? ? , cos C ? . 13 5 (Ⅰ)求 sin A 的值; 33 (Ⅱ)设 △ ABC 的面积 S△ ABC ? ,求 BC 的长. 2
解: (Ⅰ)由 cos B ? ?

5 12 ,得 sin B ? , 13 13

由 cos C ?

4 3 ,得 sin C ? . 5 5 33 . ··········· 5 分 65

所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? (Ⅱ)由 S△ ABC ?

33 1 33 得 ? AB ? AC ? sin A ? , 2 2 2 33 由(Ⅰ)知 sin A ? , 65 故 AB ? AC ? 65 , ···························· 8 分 AB ? sin B 20 ? AB , 又 AC ? sin C 13 13 20 AB 2 ? 65 , AB ? . 故 2 13 AB ? sin A 11 ? . ························ 10 分 所以 BC ? sin C 2
25.求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos2 x ? 4cos4 x 的最大值与最小值。 【解】 : y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos2 x ? 4cos4 x

? 7 ? 2sin 2 x ? 4 cos 2 x ?1 ? cos 2 x ?

? 7 ? 2sin 2 x ? 4cos2 x sin 2 x ? 7 ? 2sin 2 x ? sin 2 2 x
? ?1 ? sin 2 x ? ? 6
2

由于函数 z ? ? u ? 1? ? 6 在 ??11 , ? 中的最大值为
2

zmax ? ? ?1 ? 1? ? 6 ? 10
2

最小值为

zmin ? ?1 ? 1? ? 6 ? 6
2

故当 sin 2 x ? ?1时 y 取得最大值 10 ,当 sin 2 x ? 1 时 y 取得最小值 6 26.知函数 f ( x) ? 2cos (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值,并且求使 f ( x ) 取得最大值的 x 的集合. (17)本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数
2

? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1 ( x ? R, ? ? 0 )的最小值正周期是

? . 2

y ? A sin(? x ? ? ) 的性质等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分.

(Ⅰ)解:

f ?x ? ? 2 ?

1 ? cos 2?x ? sin 2?x ? 1 2 ? sin 2?x ? cos 2?x ? 2

? ?? ? ? 2 ? sin 2?x cos ? cos 2?x sin ? ? 2 4 4? ? ?? ? ? 2 sin ? 2?x ? ? ? 2 4? ?
由题设,函数 f ?x ? 的最小正周期是 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ?x ? ?

2? ? ? ? ,所以 ? ? 2 . ,可得 2? 2 2

?? ? 2 sin? 4 x ? ? ? 2 . 4? ?
?
16 ? k? ?? ?k ? Z ? 时, sin ? ? 4 x ? ? 取得最大值 1,所以函数 2 4? ?

当 4x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ,即 x ?

? k? ? ? f ?x ? 的最大值是 2 ? 2 ,此时 x 的集合为 ? x | x ? ? ,k ? Z ?. 16 2 ? ?
29.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别与

单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为 (Ⅰ)求 tan( ? ? ? )的值; (Ⅱ)求 ? ? 2 ? 的值. 由条件的 cos ? ?

2 2 5 . , 10 5

2 2 5 7 2 5 ,cos ? ? ,sin ? ? ,因为 ? , ? 为锐角,所以 sin ? = 10 5 10 5
1 2

因此 tan ? ? 7, tan ? ? (Ⅰ)tan( ? ? ? )=

tan ? ? tan ? ? ?3 1 ? tan ? tan ?

(Ⅱ) tan 2 ? ?

2 tan ? 4 tan ? ? tan 2? ? ,所以 tan ?? ? 2? ? ? ? ?1 2 1 ? tan ? 3 1 ? tan ? tan 2?
3? 3? ,∴ ? ? 2 ? = 2 4

∵ ? , ? 为锐角,∴ 0 ? ? ? 2 ? ?

30.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c , a ? 2 3 , tan

A? B C ? tan ? 4, 2 2

2sin B cos C ? sin A ,求 A, B 及 b, c

A? B C C C ? tan ? 4 得 cot ? tan ? 4 2 2 2 2 C C cos sin 1 2 ? 2 ?4 ∴ ∴ ?4 C C C C sin cos sin cos 2 2 2 2 1 ∴ sin C ? ,又 C ? (0, ? ) 2 ? 5? ∴ C ? ,或C ? 6 6
解:由

tan

由 2sin B cos C ? sin A 得 2sin B cos B ? sin( B ? C ) 即 sin( B ? C ) ? 0 ∴B ?C

B?C ?

?
6 2? 3

A ? ? ? (B ? C) ?
由正弦定理

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C 1 sin B b?c?a ? 2 3? 2 ? 2 sin A 3 2 x x 2 x ? 3. 32.已知函数 f ( x) ? 2sin cos ? 2 3 sin 4 4 4
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ?

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3?
x x x x ? x π? ? 3(1 ? 2sin 2 ) ? sin ? 3 cos ? 2sin ? ? ? . 2 4 2 2 ?2 3?

解: (Ⅰ)

f ( x) ? sin

? f ( x) 的最小正周期 T ?

2π ? 4π . 1 2

当 sin ?

? x π? ? x π? ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最小值 ?2 ;当 sin ? ? ? ?1 时, f ( x) 取得最大值 2. ?2 3? ?2 3? π? ? x π? ? ? ? .又 g ( x) ? f ? x ? ? . 3? ?2 3? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin ?

x ?1 ? π ? π? ? x π? ? g ( x) ? 2sin ? ? x ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? 2 cos . 2 3 ? 3? ?2 2? ?2 ?

x ? x? g (? x) ? 2cos ? ? ? ? 2cos ? g ( x) . 2 ? 2?

? 函数 g ( x) 是偶函数.
34.已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3, ?1) ,m·n=1,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域. 本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函 数的最值等基本知识,考查运算能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)由题意得 m n ? 3sin A ? cos A ? 1,

? ? 1 2sin( A ? ) ? 1,sin( A ? ) ? . 6 6 2 ? ? ? 由 A 为锐角得 A ? ? , A ? . 6 6 3 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ? , 2 3 . 2 3 1 因为 x∈R,所以 sin x ???1,1? ,因此,当 sin x ? 时,f(x)有最大值 . 2 2
所以 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 ? 2sin x ? 2sin s ? ?2(sin x ? ) ?
2 2

1 2

当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-3,所以所求函数 f(x)的值域是 ? ?3, ? . 2

? ?

3? ?

0 ? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1,其图像经过点 35.已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,
3 12 ?π 1? ? π? (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ? , M ? , ?. 5 13 ? 3 2? ? 2?
求 f (? ? ? ) 的值. (1)依题意有 A ? 1 ,则 f ( x) ? sin( x ? ? ) ,将点 M (

? 1

? 5 ? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ; 2 3 6 2 3 12 ? (2)依题意有 cos ? ? , cos ? ? ,而 ? , ? ? (0, ) , 5 13 2
0 ? ? ? ? ,?

?

? 1 , ) 代入得 sin( ? ? ) ? ,而 3 2 3 2

3 4 12 5 ?sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,sin ? ? 1 ? ( )2 ? , 5 5 13 13

3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 。 5 13 5 13 65
36.在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积.

? . 3

本小题主要考查三角形的边角关系, 三角函数公式等基础知识, 考查综合应用三角函 数有关知识的能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . ······· 4 分 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 . ·············· 6 分 ?ab ? 4,
(Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A , ······················· 8 分 当 cos A ? 0 时, A ?

? ? 4 3 2 3 ,B ? ,a ? ,b ? , 2 6 3 3

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a ,

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得 a ? ,b ? . 3 3 ?b ? 2a,
所以 △ ABC 的面积 S ?

1 2 3 ab sin C ? . ················· 12 分 2 3


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