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证明不等式的几种常用方法


证明不等式的几种常用方法

摘 要:不等式由于结构形式的多样化化,证明方式也是灵活多样,但都是围绕着比较法、综 合法、分析法三种方法展开.这三种方法是不等式证明的最基本、最重要的方法. 关键词:不等式证明;比较法;综合法;分析法 引 言:不等式的证明是初高中教学中的一个难点,由于结构形式不同,其证明方法也是灵活 多样的,且技巧性强.学生需要重点掌握的不等式证明的常用方法如比较法、综合法、分析法, 它们是不等式证明的最基本、 最重要的方法.虽然证明不等式的方法灵活多样,但都是围绕这 三种基本方法展开. 1 比较法 法证明不等式是不等式证明的最基本的方法,常用作差法和作商法. 1.1 作差比较法 作差比较法:要证不等式 a > b(a < b ) ,只需证 a ? b > 0(a ? b < 0 ) 即可. 作差比较法步骤为:作差、变形、判断符号(正或负) 、得出结论. ①作差:对要比较大小的两个数(或式)作差. ②变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和. ③判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号. 例 1 已知 a, b, m 都是正数,并且 a < b ,求证: 证明:

a+m a > . b+m b

a + m a b(a + m) ? a (b + m) m(b ? a ) ? = = . b+m b b(b + m) b(b + m)

∵ a, b, m 都是正数,并且 a < b , ∴b + m > 0 , ∴

b?a > 0,
即:

m(b ? a ) >0 b(b + m)

a+m a > . b+m b a a > 1 ,欲证 a < b ,需证 < 1 . b b

1.2 作商比较法 作商比较法:若 b > 0 ,要证不等式 a > b ,只需证

作商比较法步骤为:作商、变形、判断与 1 的大小、得出结论. 例 2 已知 a, b, m 都是正数,并且 a < b ,求证: 证明:

a+m a > . b+m b

a + m a b(a + m) ab + bm ÷ = = , b + m b a (b + m) ab + am

∵ m ∈ R + , 0 < a < b,

1

∴ ab + bm > ab + am ,即



a+m a > . b+m b

ab + bm > 1, ab + am

2 综合法 综合法就是由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一 种证明方法. 例 3 已知 x + y + z = 1 ,求证: x + y + z ≥
2 2 2

1 . 3

1 [3( x 2 + y 2 + z 2 )] 3 1 = [ x 2 + y 2 + z 2 + ( x 2 + y 2 ) + ( y 2 + z 2 ) + ( z 2 + x 2 )] 3 1 2 1 1 ≥ ( x + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 yz + 2 zx) = ( x + y + z ) 2 = , 3 3 3 1 ∴ x2 + y 2 + z 2 ≥ . 3 bc ca ab 例 4 设 a, b, c 都正数,求证: + + ≥ a+b+c a b c
证明: ∵ x + y + z =
2 2 2
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 王kc新王oc王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新

证明:∵ a, b, c ∈ R + ,

bc ca ab , , ∈ R+ , a b c bc ca ca ab ab bc ∴ + ≥ 2c, + ≥ 2a, + ≥ 2b , a b b c c a bc ca ab ∴2( + + ≥ 2( a + b + c ) , a b c bc ca ab ∴ + + ≥ a+b+c a b c ∴
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 王kc新王oc王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新

3 分析法 分析法:从结论出发,逐步逆找结论成立的充分条件.也就是从求证的不等式出发,分析使这 个不等式成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这 些条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种方法通常叫做分析法 分析法的思维特 点是:执果索因
新疆 王新敞
奎屯

新疆 王新敞 奎屯

基本步骤:要证……只需证……,只需证…… 例 5 已知 x + y + z = 1 ,求证: x + y + z ≥
2 2 2 2 2 2

1 . 3 1 , 3

证明: ∵ x + y + z = 1 ,为了证明 x + y + z ≥ 只需证明 即

3x 2 + 3 y 2 + 3z 2 ≥ ( x + y + z )2 ,

3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 ≥ x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 yz + 2 zx ,

2

即 即 即

2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 ≥ 2 xy + 2 yz + 2 zx , ( x 2 ? 2 xy + y 2 ) + ( y 2 ? 2 xy + z 2 ) + ( z 2 ? 2 zx + x 2 ) ≥ 0 , ( x ? y )2 + ( y ? z ) 2 + ( z ? x) 2 ≥ 0 .

∵ ( x ? y ) 2 + ( y ? z ) 2 + ( z ? x) 2 ≥ 0 成立,
∴ x2 + y2 + z2 ≥
例 6 设 a > b > 0 ,求证:

1 成立. 3

(a + b) 2 a + b (a ? b) 2 < ? ab < . 8a 2 8b

( a + b) 2 ( a ? b ) 2 ( a ? b) 2 证明:要证原不等式成立,只需证: < < . 8a 2 8b ∵ a ≠ b ( a + b )2 ( a + b )2 只需证 <1< . 4a 4b a+ b a+ b <1< 只需证 , 2 a 2 b b a <1< 只需证 a b ∵ a > b > 0 上式成立, ∴原不等式在 a > b > 0 时成立.
4 结束语 关于不等式的证明,上面的三种方法是最基本的方法,该类不等式的证明方法是以上三种方 法的延伸.有待读者进一步的研究.

3


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