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高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课件_图文

第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 3.2.2 基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则(二)

学习目标:1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.能够综合运用导 数公式和导数运算法则求函数的导数.(重点、难点)

[自 主 预 习· 探 新 知]
导数的运算法则 (1)设两个函数f(x),g(x)可导,则 和的导数 差的导数 积的导数

f′(x)+g′(x) [f(x)+g(x)]′=_______________ f′(x)-g′(x) [f(x)-g(x)]′=_________________ f′(x)g(x)+f(x)g′(x) [f(x)· g(x)]′=_____________________
f′?x?g?x?-f?x?g′?x?

商的导数

? f ? x? ? 2 ? ? [ g ? x ? ] ?g?x??′=___________________ ? ?

(g(x)≠0)

(2)常数与函数的积的导数
cf′(x) [cf(x)]′=___________ (c为常数)

1 思考:根据商的导数的运算法,试求函数y=x 的导数.
?1? ?1?′×x-1×?x?′ 1 ? ? y′= x ′= =-x2. x2 ? ?

[提示]

[基础自测] 1.思考辨析 (1)若f(x)=a2+2ax+x2,则f′(a)=2a+2x.
? 1 ? f ′? x? ? ? (2)? ?′=- (f(x)≠0). [f?x?]2 ?f?x??

( ( (

) ) )

(3)运用法则求导时,不用考虑f′(x),g′(x)是否存在.

[答案] (1)× (2)√ (3)×

2.函数y=x· ln x的导数是( A.x 1 B.x

) C.ln x+1 D.ln x+x

C [y′=(x)′×ln x+x×(ln x)′=ln x+1.]

3.函数y=x4+sin x的导数为( A.y′=4x3 C.y′=4x3+sin x

) B.y′=cos x D.y′=4x3+cos x

D [y′=(x4)′+(sin x)′=4x3+cos x.]

9 4.函数y=x 的导数为__________. 【导学号:97792139】
?9?′×x-9×?x?′ 9 9 y′=-x2 [y′= =-x2] x2

[合 作 探 究· 攻 重 难]
利用导数的运算法则求导数

求下列函数的导数: 1 x x (1)y=x2+sin 2cos 2;
? 2 3 ? (2)y=x?x -2x-6?+2; ? ?

(3)y=cos xln x; x (4)y=ex.

[解] =(x
-2

?1 (1)y′=?x2+sin ? ?1 ? )′+?2sin x?′ ? ?
-3

x x? ? 2cos 2?′

1 =-2x +2cos x 2 1 =-x3+2cos x.
? 3 3 2 ? (2)y′=?x -2x -6x+2?′ ? ?

=(x

3

?3 2? )′-?2x ?′-(6x)′+(2)′ ? ?

=3x2-3x-6.

(3)y′=(cos xln x)′ =(cos x)′ln x+cos x(ln x)′ cos x =-sin xln x+ x .
?x? ?x?′ex-x?ex?′ (4)y′=?ex?′= ?ex?2 ? ?

ex-xex 1-x = e2 x = ex .

[规律方法] 利用导数运算法则的策略 (1)分析待求导式符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种基本初等函 数组合成的,确定求导法则,基本公式. (2)如果求导式比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的变形有乘 积式展开变为和式求导,商式变乘积式求导,三角函数恒等变换后求导等. (3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和差的求 导法则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导.

[跟踪训练] 1.(1)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln f′(1)=( A.-e C.1 ) B.-1 D.e x,则

1 B [f′(x)=2f′(1)+x ,则f′(1)=2f′(1)+1,所以f′(1)=-1.]

(2)求下列函数的导数. cos x ①y=x · e .②y= x .
3 x

【导学号:97792140】

[解] ①y′=(x3· ex)=(x3)′· ex+x3· (ex)′ =3x2· ex+x3· ex=ex(x3+3x2).
?cos x? ②y′=? x ?′ ? ?

?cos x?′· x-cos x· ?x?′ = x2 -x· sin x-cos x xsin x+cos x = =- . x2 x2

导数运算法则的应用

x+1 (1)设曲线y= 在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直, x-1 则a等于( A.2 ) 1 B.2 1 C.-2 D.-2

(2)若曲线y=xln 标为__________. [思路探究]

x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐

1 (1)切线与直线ax+y+1=0垂直?切线的斜率为 a .(2)切线

与直线2x-y+1=0平行?切线的斜率为2.

[解析]

?x+1? ?x+1?′×?x-1?-?x+1?×?x-1?′ -2 ? ? (1)y′=? = 2 2, ? ′= x - 1 ? x - 1 ? ? x - 1 ? ? ?

1 则y′|x=3=-2,又切线与直线ax+y+1=0垂直, 1 1 故a=-2,所以a=-2,故选D. (2)设P(x0,y0),由y′=(xln x)′=ln x+1,得 y′|x=x0=ln x0+1,由题意知ln x0+1=2 解得x0=e,y0=e,故P(e,e)
[答案] (1)D (2)(e,e)

[规律方法]

关于求导法则的综合应用

(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其 他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的 关键,务必做到准确. 易错警示:分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上则要设出切点.

[跟踪训练] 2.设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,f′(2)=-b, 其中常数a,b∈R,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.

[解] 因为f(x)=x3+ax2+bx+1, 所以f′(x)=3x2+2ax+b. 令x=1,得f′(1)=3+2a+b, 又因为f′(1)=2a,所以3+2a+b=2a,解得b=-3.

令x=2,得f′(2)=12+4a+b. 又因为f′(2)=-b, 3 所以12+4a+b=-b,解得a=-2. 3 2 5 所以f(x)=x -2x -3x+1,f(1)=-2.
3

又因为f′(1)=2a=-3, 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
? 5? y-?-2?=-3(x-1),即6x+2y-1=0. ? ?

利用导数求曲线上的点到某直线的距离最值问题

[探究问题] 若曲线C上存在一点P到直线l的距离最短,则曲线C在点P处的切线和直 线l有怎样的关系?
提示:平行

设点P是曲线y=ex+1上任意一点,求点P到直线y=x-1的最 小距离. [思路探究] 即为所求. 与直线y=x-1平行且与曲线y=ex+1相切的切线上的切点

[解] 设与直线y=x-1平行的直线与曲线y=ex+1相切于点P(x0,y0), 由y′=ex得y′|x=x0=ex0,由题意知ex0=1, 解得x0=0,代入y=ex+1得y=2,所以P(0,2), 故点P到直线y=x-1的最小距离为 |0-2-1| 3 2 d= = 2 . 2

[规律方法]

利用导数解决曲线上的点到某 直线的距离最值问题的解题策略

利用导数可解决与距离、面积相关的最值问题,解题时可先利用图象分 析取最值时的位置情况,再利用导数的几何意义准确计算.

[跟踪训练] 3.求抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离. 【导学号:97792141】

[解] 依题意知抛物线y=x2与直线x-y-2=0平行的切线的切点到直线 x-y-2=0的距离最短,设切点坐标为(x0,x2 0). 1 ∵y′=(x )′=2x,∴2x0=1,∴x0=2,
2

?1 1? ∴切点坐标为?2,4?,∴所求的最短距离为 ? ? ?1 1 ? ? - -2? ?2 4 ?

d=

2

7 2 = 8 .

[当 堂 达 标· 固 双 基]
1.下列运算中正确的是( )

A.(ln x-3sin x)′=(ln x)′-3′· (sin x)′ B.(ax2+bx+c)′=a(x2)′+bx′
?sin x? ?sin C.? x2 ?′= ? ?

x?′-?x2?′ x2

D.(cos x· sin x)′=(sin x)′cos x+(cos x)′cos x

B [根据导数的运算法则知B正确.]

2.已知f(x)=x3+3x+ln 3,则f′(x)为( A.3x +3
2 x 2 x

)

1 B.3x +3 ln 3+3 D.x3+3xln 3

C.3x2+3xln 3

C [f′(x)=(x3)′+(3x)′+(ln 3)′=3x2+3xln 3,故选C.]

3.函数f(x)=xex的导函数f′(x)=__________.
(1+x)ex [f′(x)=(xex)′=ex+xex=(1+x)ex.]

1 4.直线y=2x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b=________.
ln 2-1 [设切点为(x0,y0), 1 1 1 ∵y′=x ,∴2=x , 0 1 ∴x0=2,∴y0=ln 2,ln 2=2×2+b,∴b=ln 2-1.]

5.设f(x)=ax -bsin

2

?π? 1 x,且f′(0)=1,f′?3?=2,求a,b的值. ? ?

【导学号:97792142】
[解] f′(x)=2ax-bcos x,则 f′?0?=-b=1, ? ? ? ?π? 2aπ π 1 ? ? f′ = 3 -bcos 3=2, ? ? ?3? ? ? ?b=-1, ?b=-1, 即?2a 解得? 1 1 ? π - b = , ?a=0. ? 2 2 ?3

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