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2017届一轮复习北师大版 不等式的证明与栖西不等式 课件_图文

选考部分 选修系列4
选修4-5 不等式选讲

选修4-5

第二讲 不等式的证明与栖西不等式

1

知识梳理· 双基自测

2

考点突破· 互动探究

3

课 时 作 业

知识梳理· 双基自测

●知识梳理
1.均值不等式

2ab .当且仅当a=b 定理1:设a、b∈R,则a2+b2≥______
时,等号成立. a+b ab ,当且仅当a= 定理2:如果a、b为正数,则 2 ≥______ b时,等号成立.
3 a+b+c abc ,当 定理3:如果a、b、c为正数,则 ≥ ________ 3

且仅当a=b=c时,等号成立.

定理4:(一般形式的算术-几何平均不等式)如果a1、 n a1+a2+?+an a1a2?an a2、?、an为n个正数,则 ≥ ______________ , n 当且仅当a1=a2=?=an时,等号成立.

2.栖西不等式 (1)设a、b、c、d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+ bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.
n n 2 2 (2)若ai、bi(i∈N+)为实数,则(∑ai )(∑bi )≥(∑aibi)2,当且 i=1 i=1 i=1 n

b1 b2 bn 仅当 a = a =?= a (当ai=0时,约定bi=0,i=1,2,?,n)时 n 1 2 等号成立. (3)栖西不等式的向量形式:设α、β为平面上的两个向 量,则|α||β|≥|α· β|,当且仅当α,β共线时等号成立.

3.不等式的证明方法 证 明 不 等式 常 用 的方 法 有 比较 法 、 综合 法 、 分析 法 、 反证法 、________ 放缩法 等. _________

●双基自测
1.下列结论正确的打“√”,错误的打 “×”. 导学号 25402899 (1)用反证法证明命题“a、b、c全为0”时假设为“a、 b、c全不为0”.( >0.( )
(2)√

)

(2)若实数x、y适合不等式xy>1,x+y>-2,则x>0,y

[答案] (1)×

2.若x、y∈R且满足x+3y=2,则3x+27y+1的最小值是 导学号 25402900 ( A.3 9 C.6 3 ) B.1+2 2 D.7

[答案] D

1 1 1 3.已知a、b、c是正实数,且a+b+c=1,则 a + b + c 的 最小值为 导学号 25402901 ( A.3 C.9 ) B.6 D.12

[答案] C

1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c [解析] 方法一: a + b + c = + + a b c b a c a c b =3+(a+b)+(a+c )+(b+c )≥3+2+2+2=9. 3 1 3 1 1 1 1 1 1 方法二: a+ b + c =(a + b + c )(a+b+c)≥3 abc · abc= 9,当a=b=c时,等号成立,故选C.

4.若m=a+2b,n=a+b2+1,则m与n的大小关系为 ________. 导学号 25402902
[答案] n≥m [ 解析 ] ∵ n - m = a + b2 + 1 - a - 2b = b2 - 2b + 1 = (b - 1)2≥0,∴n≥m.

5.(2014· 陕西)设a、b、m、n∈R,且a2+b2=5,ma+ nb=5,则 m2+n2的最小值为________. 导学号 25402903

[答案]

5

[解析] 由栖西不等式,得(a2+b2)(m2+n2)≥(am+bn)2, 即5(m2+n2)≥25. ∴m2+n2≥5,当且仅当an=bm时,等号成立. ∴ m2+n2的最小值为 5.

考点突破· 互动探究

放缩法证明不等式
设s= 1×2 + 2×3 + 3×4 +?+

1 1 n?n+1?,求证:2n(n+1)<s<2n(n+2). 导学号 25402904
[证明] s> 1×1 + 2×2 + 3×3 +?+ n×n =1+2 1 +3+?+n=2n(n+1), 1+2 2+3 3+4 n+?n+1? s< 2 + 2 + 2 +?+ 2 1 1 =2[3+5+7+?+(2n+1)]=2n(n+2). 1 1 ∴2n(n+1)<s<2n(n+2).

[规律总结]

放缩法是不等式证明的基本方法,在不等式

证明中几乎处处存在. (1)放缩法证明不等式时,常见的放缩依据或技巧主要有: ①不等式的传递性;②等量加不等量为不等量;③同分子(母)

异分母(子)的两个分式大小的比较.缩小分母、扩大分子,分
式值增大;缩小分子,扩大分母,分式值减小;全量不少于部 分;每一次缩小和变小,但需大于所求;每一次扩大其和变

大,但需小于所求,即不能放缩不够或放缩过头,同时放缩有
时需便于求和.

(2)放缩法的注意事项: 12 3 12 ①舍去或加上一些项,如(a+2) +4>(a+2) ; 1 1 1 ②将分子或分母放大(缩小),如 k2 < , k2 > k?k-1? 1 1 2 1 2 , < , > (k∈N*,k>1)等. k?k+1? k k k+ k-1 k+ k+1 ③放大或缩小时注意要适当,必须目标明确,合情合理, 恰到好处,且不可放缩过大或过小,谨慎地添或减是放缩法的 基本策略.

已知f(x)= 1+x2,a≠b,求证: 导学号 25402905 |f(a)-f(b)|<|a-b|.
[证明] |f(a)-f(b)|=| 1+a2- 1+b2| |a2-b2| |a-b||a+b| = 2 2= 1+a + 1+b 1+a2+ 1+b2 |a-b|?|a|+|b|? |a-b|?|a|+|b|? ≤ 2 2 =|a-b|. 2 2< a + b 1+a + 1+b

三个正数的算术——几何平均不等式问题
已知x∈R+,求函数y=x(1-x2)的最大 值. 导学号 25402906
a+b+c 3 [分析] 利用平均值不等式abc≤( ) (a>0,b>0, 3 c>0)求解.

[解析] ∵y=x(1-x2), 1 ∴y =x (1-x ) =2x (1-x )(1-x )· 2.
2 2 2 2 2 2 2

当0<x<1时,∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,
2 2 2 2 x + 1 - x + 1 - x 1 4 2 3 ∴y ≤2( ) =27. 3

3 当且仅当2x =1-x =1-x ,即x= 3 时,取“=”,
2 2 2

2 3 ∴y≤ 9 . 当x=1时,y=0;当x>1时,显然y<0.
[答案] 2 3 9

[规律总结]

利用基本不等式必须要找准“对应点”,明

确“类比对象”,使其符合几个著名不等式的特征,注意检验 等号成立的条件,特别是多次使用基本不等式时,必须使等号

同时成立.

设a、b、c为正实数,求证: abc≥2 3. 导学号 25402907

1 a3



1 b3



1 c3



[证明] 因为a,b,c为正实数, 3 1 1 1 1 1 1 由平均不等式可得a3+b3+c3≥3 a3· b3· c3 , 1 1 1 3 1 1 1 3 即a3+b3+c3≥abc,所以a3+b3+c3+abc≥abc+abc. 3 3 而abc+abc≥2 abc· abc≥2 3. 1 1 1 6 所以 a3 + b3 + c3 +abc≥2 3(当且仅当a=b=c= 3 时取等 号).

栖西不等式的应用
(2015· 福建)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)= |x+a|+|x-b|+c的最小值为4. 导学号 25402908 (1)求a+b+c的值; 1 2 1 2 2 (2)求4a +9b +c 的最小值.

[解析]

(1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c

=|a+b|+c, 当且仅当-a≤x≤b时,等号成立. 又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b, 所以f(x)的最小值为a+b+c.

又已知f(x)的最小值为4,
所以a+b+c=4.

(2)由(1)知a+b+c=4,由栖西不等式得 1 2 1 2 2 a b ( 4 a + 9 b +c )(4+9+1)≥( 2 ×2+ 3 ×3+c×1)2=(a+b+ 1 2 1 2 2 8 c) =16,即4a +9b +c ≥7.
2

1 1 2a 3b c 8 18 2 当且仅当 2 = 3 =1,即a=7,b= 7 ,c=7时等号成立. 1 2 1 2 2 8 故4a +9b +c 的最小值为7.

[规律总结]

(1)利用栖西不等式证明不等式,先使用拆项

重组、添项等方法构造符合栖西不等式的形式及条件,再使用 栖西不等式解决有关问题. (2)利用栖西不等式求最值,实质上就是利用栖西不等式进 行放缩,放缩不当则等号可能不成立,因此,一定不能忘记检

验等号成立的条件.

(1)已知a、b、c∈R,且满足a+2b+3c=6,则a2+2b2+ 3c2的最小值为________. 导学号 25403022 x2 y2 z2 (2)设x、y、z∈R,且 16 + 5 + 4 =1,则x+y+z的取值范 围为________. 导学号 25402909

[答案] (1)6 (2)[-5,5]

[解析] (1)由栖西不等式,得(1+2+3)(a2+2b2+ 3c2)≥(1· a+ 2· 2b+ 3· 3c)2. 得6(a2+2b2+3c2)≥(a+2b+3c)2=36. ∴a2+2b2+3c2≥6. 2b 3c a 当且仅当 1 = = ,即a=b=c=1时,上式等号成 2 3 立. ∴a2+2b2+3c2的最小值为6.

(2)由栖西不等式,得 x2 y 2 z2 [4 +( 5) +2 ][(4) +( ) +(2) ] 5
2 2 2

x y z2 ≥(4×4+ 5× +2×2) , 5 即25×1≥(x+y+z)2. ∴5≥|x+y+z|,∴-5≤x+y+z≤5. 即x+y+z的取值范围是[-5,5].

课时作业
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