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高考数学第01炼 命题形式变化及真假判定

第1炼 一、基础知识: (一)命题结构变换 命题形式变化及真假判定 1、四类命题间的互化:设原命题为“若 p ,则 q ”的形式,则 (1)否命题:“若 ?p ,则 ?q ” (2)逆命题:“若 q ,则 p ” (3)逆否命题:“若 ?q ,则 ?p ” 2、 p ? q , p ? q (1)用“或”字连接的两个命题(或条件) ,表示两个命题(或条件)中至少有一个成立 即可,记为 p ? q (2)用“且”字连接的两个命题(或条件) ,表示两个命题(或条件)要同时成立,记为 p?q 3、命题的否定 ?p :命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字,对于不同形式 的命题也有不同的方法 (1)一些常用词的“否定”:是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有 至多 n 个→至少 n ? 1 个 小于→大于等于 (2)含有逻辑联结词的否定:逻辑联接词对应改变,同时 p, q 均变为 ?p, ?q : p 或 q → ?p 且 ?q p 且 q → ?p 或 ?q (3)全称命题与存在性命题的否定 全称命题: p : ?x ? M , p ? x ? ? ?p : ?x ? M , ?p ( x) 存在性命题: p : ?x ? M , p ? x ? ? ?p : ?x ? M , ?p ( x) 规律为:两变一不变 ① 两变:量词对应发生变化( ? ? ? ) ,条件 p ? x ? 要进行否定 ? ?p ? x ? ② 一不变: x 所属的原集合 M 的不变化 (二)命题真假的判断:判断命题真假需要借助所学过的数学知识,但在一组有关系的命 题中,真假性也存在一定的关联。 1、四类命题:原命题与逆否命题真假性相同,同理,逆命题与否命题互为逆否命题,所以 真假性也相同。而原命题与逆命题,原命题与否命题真假没有关联 2、 p ? q , p ? q ,如下列真值表所示: p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p 或q 真 p 真 q 真 假 真 假 p 且q 真 假 假 假 真 真 真 假 假 假 简而言之“一真则真” 3、 ?p :与命题 p 真假相反。 4、全称命题: 真:要证明每一个 M 中的元素均可使命题成立 假:只需举出一个反例即可 5、存在性命题: 真:只需在 M 举出一个使命题成立的元素即可 假:要证明 M 中所有的元素均不能使命题成立 二、典型例题 简而言之“一假则假” 例 1:命题“若方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根均大于 0 ,则 ac ? 0 ”的逆否命题是( 2 ) A. “若 ac ? 0 ,则方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根均大于 0 ” 2 B. “若方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根均不大于 0 ,则 ac ? 0 ” 2 C. “若 ac ? 0 ,则方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根均不大于 0 ” 2 D. “若 ac ? 0 ,则方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根不全大于 0 ” 2 思路:所谓逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换, “ ac ? 0 ”的对立面 是“ ac ? 0 ” , “均大于 0 ”的对立面是“不全大于 0” (注意不是:都不大于 0) ,再调换顺 序即可,D 选项正确 答案:D 例 2:命题“存在 x ? Z , x ? 2 x ? m ? 0 ”的否定是( 2 ) 2 A. 存在 x ? Z , x ? 2 x ? m ? 0 2 B.不存在 x ? Z , x ? 2 x ? m ? 0 D.对任意 x ? Z , x ? 2 x ? m ? 0 2 C. 对任意 x ? Z , x ? 2 x ? m ? 0 2 思 路 : 存 在 性 命 题 的 否 定 : 要 将 量 词 变 为 “ 任 意 ”, 语 句 对 应 变 化 x 2 ? 2 x ? m ? 0 ? x 2 ? 2 x ? m ? 0 ,但 x 所在集合不变。所以变化后的命题为:“对任 意 x ? Z, x ? 2x ? m ? 0 ” 2 答案:D 例 3:给出下列三个结论 (1)若命题 p 为假命题,命题 ?q 为假命题,则命题“ p ? q ”为假命题 (2)命题“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ”的否命题为“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ” ( 3) 命 题 “ ?x ? R, 2 ? 0 ” 的 否 定 是 “ ?x ? R, 2 ? 0 ” ,则以上结论正确的个数为 x x ( A. 3 ) B. 2 C. 1 D. 0 思路:(1)中要判断 p ? q 的真假,则需要判断 p, q 各自的真值情况, ?q 为假命题,则 q 为真命题,所以 p, q 一假一真, p ? q 为真命题, (1)错误 (2) “若……,则……”命题的否命题要将条件和结论均要否定,而(2)中对“ x ? 0 或 y ? 0 ”的否定应该为“ x ? 0 且 y ? 0 ” ,所以(2)错误 (3)全称命题的否定,要改变量词和语句,且 x 的范围不变。而(3)的改写符合要求, 所以(3)正确 综上只有(3)是正确的 答案:C 例 4 :有下列四个命题 ① “若 x ? y ? 0 ,则 x, y 互为相反数”的逆命题 ② “全等三角形的面积相等”的否命题 ③ “若 q ? 1 ,则 x ? 2 x ? q ? 0 有实根”的逆否命题 2 ④ “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题 其中真命题为( A. ①② ) B.②③ C. ①③ D. ③④ 思路:①中的逆命题为“若 x, y 互为相反数,则 x ? y ? 0 ” ,为真命题。②中的否命题为 “如果两个三角形不是全等三角形,则它们的面积不相等” ,为假命题(同底等高即可) 。 ③中若要判断逆否命题的真假,则只需判断原命题即可。 q

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