当前位置:首页 >> 高一数学 >>

等差数列前N项和的性质及其应用


肥东锦弘中学高一年级数学公开课教案

授课教师:吴晗 班级:高一(11) 时间:3 月 31 号下午第一节课 课题:等差数列前 n 项和的性质及其应用 教学目标: (1) 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式; 了解等差数列的一 些性质,并会用它们解决一些相关问题;会利用等差数列通项公式与前 n 项和公式研究 S n 的最值。 (2) 经历公式应用过程。 (3) 通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又 服务于生活的实用性,引导学生善于观察生活,从生活中发现问题,并用 数学方法解决问题。 教学重点:熟练掌握等差数列求和公式。 教学难点:灵活应用求和公式解决问题。 教学方法:启发探究 学法指导:自主学习 教学用具:粉笔、黑板、PPT 教学过程: 一、复习回顾 (1) 等差数列的定义、通项公式、性质; (2) 等差数列前 n 项和公式及其推导。 二、新课讲解 探究一:等差数列前 n 项和公式可以转化为关于 n 的一元二次方程, n(n ? 1) d d S n ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? )n , 反过来如果一个数列的前 n 项和是关于 n 2 2 2 的一元二次方程,那么这个数列一定是等差数列吗? 1 例 1、如果一个数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? n 2 ? n ,求这个数列的通项公式, 2 这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么? 解: 当n ? 2时,
当n ? 1时,

1 1 1 ? ? a n ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? n ? ?(n ? 1) 2 ? (n ? 1)? ? 2n ? 2 2 2 ? ?
a1 ? S1 ? 3 2 1 2

也满足上式。
的通项公式为 a n ? 2n ? 所以数列 ?a n ?

由此可见, 数列?a n ?是一个首项为 课堂练习

3 ,公差为 2的等差数列 2

1 n ? 1 ,求这个数列的通项公式, 2 这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么? 课本第 45 页的探究 A 等差数列前 n 项和的性质一: 数列?a n ?是等差数列 ? S n ? An 2 ? Bn , 公差为 2

1、如果一个数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? n 2 ?

探究二:既然等差数列的前 n 项和 S n 是关于 n 的一元二次方程,那么它的 最值怎么求呢? 例 2:已知等差数列 5,3,1? 的前 n 项和为 S n ,求使 S n 最大的序号 n 的值? 解 1:由已知条件知,该等差数列首项 a1 ? 5, 公差d ? -2
S n ? 5n ? n(n ? 1) (?2) ? ?n 2 ? 6n ? ?(n ? 3) 2 ? 9 2

? 使 S n 最大的序号 n 的值为 3.
解 2:由已知条件知, an ? 5 ? 2(n ? 1) ? ?2n ? 7, an?1 ? ?2n ? 5

?a ?0 由? n ?an?1 ? 0
?n ? 3 等差数列前 n 项和的性质二:

解得

5 7 ?n? 2 2

?a ?0 不等式法求 S n 的最值:若 a1 ? 0, d ? 0且 ? n ,则 S n 有最大值,若 ?an?1 ? 0 ?a ?0 ,则 S n 有最小值。 a1 ? 0, d ? 0且 ? n a ? 0 ? n?1
也可以用二次函数的图像求最值,但要注意 n ? N * . 例 3: 已知数列 ?an ? 是等差数列,S n 是其前 n 项和, 求证:S 6 , ?S12 ? S 6 ?, (S18 ? S12 ) 也成等差数列。 解:设等差数列首项为 a1 ,公差为 d ,则有:

S 6 ? 6a1 ? 15d , S12 ? 12a1 ? 66d , S18 ? 18a1 ? 153d ? S12 ? S6 ? 6a1 ? 57d , S18 ? S12 ? 6a1 ? 87d ? (S12 ? S6 ) ? S6 ? 36d , (S18 ? S12 ) ? (S12 ? S6 ) ? 36d

? S 6 , ?S12 ? S 6 ?, (S18 ? S12 ) 是等差数列,公差为 36 d

等差数列前 n 项和的性质三: 若果数列 ?an ? 为等差数列, 则 S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2 k ,?也成等差数列, 公差为 k 2 d 。 课堂练习: 2、已知 ?an ? 是等差数列: ( 1 ) a1 ? a2 ? a3 ? 5, a4 ? a5 ? a6 ? 10, 则, a7 ? a8 ? a9 ? ,

a19 ? a20 ? a21 ?

。 。

(2) S n ? 25, S 2n ? 100, 则S3n ?

3、 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 公差 d ? 2 , 若 S4 ? 1 , 求 a17 ? a18 ? a19 ? a20 例 4:有一等差数列共有 2n(n ? N * ) 项,它的奇数项之和与偶数项之和分别为 24 和 30,若最后一项和第一项之差为 10.5,求此数列的首项、公差和项数。 解:由题意知:

S 偶 - S 奇 ? nd ? 6 ? ? ?a 2 n ? a1 ? (2n ? 1)d ? 10.5

解得:n ? 4, d ? 1.5
3 . 2 3 3 ? 首项为 ,公差为 ,项数为 8 2 2

又 ? a1 ? a3 ? a5 ? a 7 ? 4a1 ? 12 d ? 24,? a1 ?

等差数列前 n 项和的性质四: 若等差数列 ?an ? 共有 2n 项,则 S 偶 - S 奇 ? nd,

S奇 S偶

?

an , an?1

S n 若等差数列共有 2n ? 1 项,则 S 奇 - S 偶 ? a中, 奇 ? S偶 n ? 1
课堂练习: 4、若等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,公差 d ? 2 ,求 (1) (a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? a9 ) ? (a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ) (2)

a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? a9 a2 ? a4 ? a6 ? a8

三、课堂小结 等差数列前 n 项和的性质: 等差数列前 n 项和的性质一: 数列?a n ?是等差数列 ? S n ? An 2 ? Bn , 公差为
A 2

?a ?0 等差数列前 n 项和的性质二:不等式法求 S n 的最值:若 a1 ? 0, d ? 0且 ? n , ?an?1 ? 0

?a ?0 则 S n 有最大值,若 a1 ? 0, d ? 0且 ? n ,则 S n 有最小值 ?an?1 ? 0
等 差 数 列 前 n 项 和 的 性 质 三 : 若 果 数 列 ?an ? 为 等 差 数 列 , 则

S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2 k ,?也成等差数列,公差为 k 2 d
等 差 数 列 前 n 项 和 的 性 质 四 : 若 等 差 数 列 ?an ? 共 有 2n 项 , 则

S 偶 - S 奇 ? nd,
四、作业布置 全品 p 23 1~8

S奇 S偶

?

S an n ,若等差数列共有 2n ? 1 项,则 S 奇 - S 偶 ? a中, 奇 ? an?1 S偶 n ? 1

五、板书设计 一、复习回顾 二、新课讲解 例1 六、教学反思:

性质一 例2 性质二

例3 性质三 例4

性质四 三、课堂小结 四、作业布置


相关文章:
等差数列的前n项和性质及应用.ppt
等差数列的前n项和性质及应用_高一数学_数学_高中教育_教育专区。等差数列的前n项和性质及应用 一、复习引入 n(a1 ? an ) n(n ? 1) Sn ? ? na1 ? d...
等差数列前N项和的性质及其应用.doc
肥东锦弘中学高一年级数学公开课教案 授课教师:吴晗 班级:高一(11) 时间:3 月 31 号下午第一节课 课题:等差数列前 n 项和的性质及其应用 教学目标: (1) ...
等差数列的前n项和的性质_图文.ppt
1 ? 前n项的和分别为Sn和Tn,则 bn T2 n?1 等差数列{an}前n项和的性质应用 例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若 S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( ...
等差数列前n项和的性质及应用.ppt_图文.ppt
等差数列前n项和的性质及应用.ppt_高一数学_数学_高中教育_教育专区。等差数列前n项和的性质及应用 2018年3月 知识回顾: 1. {an}为等差数列? an+1- an=d...
等差数列前n项和的性质_图文.ppt
等差数列前n项和的性质 - 等差数列的前n项和 性质及其应用 1.等差数列的
《等差数列前n项和性质及应用》_图文.ppt
等差数列前n项和性质及应用》 - 复习回顾 等差数列前n项和公式: n(a1
等差数列的前n项和性质及应用_图文.ppt
等差数列的前n项和性质及应用 - 复习回顾 等差数列的前n项和公式: n(a1
等差数列的前n项和性质及应用._图文.ppt
练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n, 要使此数列的前n项和最大,则n的值为 ( C) A.12 B.13 C.12或13 D.14 2.等差数列{an}前n项和的性质 在...
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用.doc
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用_数学_高中教育_教育专区。等差数列前 n 项和公式的几个性质和与应用等差数列是高中数学的一项重要内容, 其中心是通项...
等差数列的前n项和性质及应用_图文.ppt
等差数列的前n项和性质及应用 - 一、复习引入 n(a1 ? an ) n(n ? 1) Sn ? ? na1 ? d. 2 2 重要结论 : (1)?an ?为等差数列 ? an是关于n的...
等差数列的前n项和的性质及应用_图文.ppt
等差数列前n项和的性质及应用 - 复习回顾 等差数列的前n项和公式: n(a1
等差数列前n项和的性质及应用(67张PPT)..ppt
等差数列前n项和的性质及应用(67张PPT). - 系列丛书 第二章 数列 第二
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用.doc
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用_数学_高中教育_教育专区。等差数列前 n 项和公式的几个性质和与应用等差数列是高中数学的一项重要内容,其核心是通项公式...
等差数列的前n项和性质及应用(2)(上课用)_图文.ppt
等差数列的前n项和性质及应用(2)(上课用) - 复习回顾 等差数列的前n项和公式: n(a1 ? an ) 形式1: S n ? 2 形式2: n(n ? 1) Sn ? na1 ? d...
等差数列前n项和的性质.doc
等差数列前n项和的性质 - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 等差数列前 n 项和的性质 作者:赵伟波 来源:《新课程 教师》2015 年第 07 期 等差数列...
等差数列前n项和的性质_图文.ppt
等差数列前n项和的性质 - 高二 必修5 数学 第二章 数 列 2.3 等差数列前n项和的性质 广东省普宁市第二中学数学组 2017年12月11日星期一 高二 ...
2.3.2等差数列前n项和性质及应用.ppt
2.3.2等差数列前n项和性质及应用_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2.3.2等差数列前n项和性质及应用复习回顾等差数列前n项和公式: n(a1 ? an ) 形式...
1.2等差数列前n项和的性质及应用 课件(北师大版必修5)_....ppt
2.2.2 等差数列前n项和的性质及应用 学习目标 1.理解等差数列前n项和的一
人教a版必修五课件:等差数列前n项和的性质及应用(67页)....ppt
第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 课堂互动探究 课前自主预习 随堂知能训练 课时作业 目标了然于胸,让讲台见证您...
等差数列前n项和性质及应用_图文.ppt
等差数列前n项和性质及应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学必修五等差数列前n项和性质应用 复习回顾等差数列前n项和公式: 等差数列前n项和公式:...