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2013年高考数学总复习 8-8 曲线与方程(理)但因为测试 新人教B版


2013 年高考数学总复习 8-8 曲线与方程(理)但因为测试 新人 教B版
1.已知椭圆的焦点为 F1、F2,P 是椭圆上一个动点,延长 F1P 到 点 Q,使|PQ|=|PF2|,则动点 Q 的轨迹为( A.圆 C.双曲线一支 [答案] A [解析] |Q F1|=|PF1|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=2a, ∴动点 Q 的轨迹是以 F1 为圆心,2a 为半径的圆. → → 2.(2010· 重庆一中)已知平面上两定点 A、B 的距离是 2,动点 M 满足条件MA· =1, MB 则动点 M 的轨迹是( A.直线 C.椭圆 [答案] B [解析] 以线段 AB 中点为原点, 直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系, A(-1,0), 则 B(1,0), 设 M(x,y), → → ∵MA· =1,∴(-1-x,-y)· MB (1-x,-y)=0, ∴x2-1+y2=0,故选 B. 3.(2011· 银川一中二模)方程 x-1lg(x2+y2-1)=0 所表示的曲线图形是( ) ) B.圆 D.双曲线 ) B.椭圆 D.抛物线

[答案] D [解析]
2 ? ? 2 ?x-1>0 ?x +y -1>0 原方程等价于? 2 2 或? , ? ? ?x +y -1=1 ?x-1=0

∴x2+y2=2(x>1)或 x=1(y≠0),故选 D. x2 y2 4.过椭圆 + =1 内一点 R(1,0)作动弦 MN,则弦 MN 中点 P 的轨迹是( 9 4 )

A.圆 C.双曲线 [答案] B

B.椭圆 D.抛物线

2 [解析] 设 M(x1,y1),N(x2,y2),P(x,y),则 4x2+9y2=36,4x2+9y2=36, 1 1 2

相减得 4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0, 将 x1+x2=2x,y1+y2=2y, y1-y2 y = 代入可知轨迹为椭圆. x1-x2 x-1

5.平面 α 的斜线 AB 交 α 于点 B,过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直,且交 α 于点 C,则 动点 C 的轨迹是( A.一条直线 C.一个椭圆 [答案] A [解析] 过定点 A 且与 AB 垂直的直线 l 都在过定点 A 且与 AB 垂直的平面 β 内,直线 l 与 α 的交点 C 也是平面 α、β 的公共点.点 C 的轨迹是平面 α、β 的交线. ) B.一个圆 D.双曲线的一支

6.(2011· 天津市宝坻区质量检测)若中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭 x 圆 +y2=1 短轴端点,且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为 1,则该双曲线的方 2 程为( ) B.y2-x2=1 y2 D. -x2=1 4
2

A.x2-y2=1 x2 C. -y2=1 4 [答案] B

x2 [解析] ∵椭圆 +y2=1 的短轴端点为(0,± 1), 2 c 2 离心率 e1= = . a 2

∴双曲线的顶点(0,± 1),即焦点在 y 轴上, c 且 a=1,离心率 e2= = 2,∴c= 2,b=1. a 所求双曲线方程为 y2-x2=1.故选 B. x2 y2 7.F1、F2 为椭圆 + =1 的左、右焦点,A 为椭圆上任一点,过焦点 F1 向∠F1AF2 的 4 3 外角平分线作垂线,垂足为 D,则点 D 的轨迹方程是________. [答案] x2+y2=4 1 1 [解析] 延长 F1D 与 F2A 交于 B,连结 DO,可知|DO|= |F2B|= (|AF1|+|AF2|)=2,∴ 2 2 动点 D 的轨迹方程为 x2+y2=4. 8.(2011· 聊城月考)过点 P(1,1)且互相垂直的两条直线 l1 与 l2 分别与 x、y 轴交于 A、B 两点,则 AB 中点 M 的轨迹方程为________. [答案] x+y-1=0 1 1 [解析] 设 l1:y-1=k(x-1),则 l2:y-1=- (x-1),l1 与 x 轴交点 A(1- ,0),l2 k k

?x=2?1-k? 1 与 y 轴交点 B(0,1+ ),设 AB 中点 M(x,y),则? k 1 1 ?y=2?1+k?
1

1 ,消去 k 得,x+y-1=0.

9.(2011· 宿迁模拟)已知两条直线 l1:2x-3y+2=0 和 l2:3x-2y+3=0,有一动圆(圆 心和半径都动)与 l1、l2 都相交,且 l1、l2 被圆截得的弦长分别是定值 26 和 24,则圆心的轨 迹方程是________. [答案] (x+1)2-y2=65 [解析] 设 P(x,y),动圆半径为 r,P 到 l1,l2 的距离分别为 d1、d2,由题意知 d2+169 1 ?3x-2y+3?2 ?2x-3y+2?2 =r2=d2+144,∴d2-d2=25,即 - =25, 2 2 1 13 13 整理得,(x+1)2-y2=65. 10.(2011· 新课标全国理,20)在平面直角坐标系中 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在 → → → → → → 直线 y=-3 上,M 点满足MB∥OA,MA· =MB· ,M 点的轨迹为曲线 C. AB BA (1)求 C 的方程; (2)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处的切线,求 O 点到 l 距离的最小值. → [解析] (1)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3).又 A(0,-1),所以MA=(-x,-1-y), → → MB=(0,-3-y),AB=(x,-2).

→ → → 再由题意可知(MA+MB)· =0, AB 即(-x,-4-2y)· (x,-2)=0. 1 所以曲线 C 的方程为 y= x2-2. 4 1 (2)设 P(x0,y0)为曲线 C:y= x2-2 上一点. 4 1 1 因为 y′= x,所以 l 的斜率为 x0. 2 2 1 因此直线 l 的方程为 y-y0= x0(x-x0), 2 即 x0x-2y+2y0-x2=0. 0 |2y0-x2| 1 0 所以 O 点到 l 的距离 d= 2 .又 y0= x2-2, 4 0 x0+4 1 2 x +4 2 0 1? x2+4+ ? 0 4 ? ?≥2. 2 x0+4?

所以 d=

= x2+4 2 0

?

当 x0=0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

1 11.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, M 在棱 AB 上, AM= , P 是平面 ABCD 点 且 点 3 上的动点,且动点 P 到直线 A1D1 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1,则动点 P 的轨 迹是( ) B.抛物线 D.直线

A.圆 C.双曲线 [答案] B

[解析] 由 P 向 AD 作垂线垂足为 N,由题意知|PN|2+1-|PM|2=1, ∴|PN|=|PM|, 即动点 P 到直线 AD 的距离等于动点 P 到点 M 的距离, ∴点 P 的轨迹是 抛物线. 12.(2011· 天津模拟、深 圳模拟)设圆(x+1)2+y2=25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点, Q 为圆周上任一点, 线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M, M 的轨迹方程为( 则 4x2 4y2 A. - =1 21 25 4x2 4y2 C. - =1 25 21 [答案] D [解析] ∵M 为 AQ 垂直平分线上一点, 4x2 4y2 B. + =1 21 25 4x2 4y2 D. + =1 25 21 )

∴|AM|=|MQ|. ∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,(5>|AC|) ∴M 点轨迹是以 A、C 为焦点,长轴长为 5 的椭圆, 5 21 ∴a= ,c=1,则 b2=a2-c2= , 2 4 4x2 4y2 ∴椭圆的标准方程是 + =1. 25 21 13.(2010 · 浙江台州)在一张矩形纸片上,画有一个圆(圆心为 O)和一个定点 F(F 在圆 外).在圆上任取一点 M,将纸片折叠使点 M 与点 F 重合,得到折痕 CD.设直线 CD 与直线 OM 交于点 P,则点 P 的轨迹为( A.双曲线 C.圆 [答案] A [解析] 由 OP 交⊙O 于 M 可知|PO|-|PF|=|PO|-|PM|=|OM|<|OF|(F 在圆外), ∴P 点的轨迹为双曲线,故选 A. 14.(2011· 北京模拟)△ABC 的顶点 A(-5,0)、B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹方程是________. [答案] x2 y2 - =1(x>3) 9 16 ) B.椭圆 D.抛物线

[解析] 如下图,|CA|-|CB|=|AE|-|BF|=|AD|-|BD|=6<|AB|=10,

∴点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 10 的双曲线右支,∴a=3,c=5,b2=c2 x2 y2 -a =16,方程为 - =1(x>3). 9 16
2

15.(2011· 西安模拟)已知定点 A(0,-1),点 B 在圆 F:x2+(y-1)2=16 上运动,F 为 圆心,线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P. (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程;若曲线 Q:x2-2ax+y2+a2=1 被轨迹 E 包围着,求实数

a 的最小值; (2)已知 M(-2,0),N(2,0),动点 G 在圆 F 内,且满足|MG|· |NG|=|OG|2(O 为坐标原点), → → 求MG· 的取值范围. NG [解析] (1)由题意得|PA|=|PB|. ∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=4>|AF|=2, ∴动点 P 的轨迹 E 是以 A、F 为焦点的椭圆. y2 x2 设该椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 则 2a=4,2c=2,即 a=2,c=1,故 b2=a2-c2=3, y2 x2 ∴动点 P 的轨迹 E 的方程为 + =1, 4 3 x2-2ax+y2+a2=1 即(x-a)2+y2=1, ∴曲线 Q 是圆心为(a,0),半径为 1 的圆. 而轨迹 E 为焦点在 y 轴上的椭圆,其左、右顶点分别为(- 3,0),( 3,0). 若曲线 Q 被轨迹 E 包围着,则- 3+1≤a≤ 3-1, ∴a 的最小值为- 3+1. ( 2)设 G(x,y),由|MG|· |NG|=|OG|2 得: ?x+2?2+y2· ?x-2?2+y2=x2+y2. 化简得 x2-y2=2,即 x2=y2+2, → → ∴MG· =(x+2,y)· NG (x-2,y) =x2+y2-4=2(y2-1). ∵点 G 在圆 F:x2+(y-1)2=16 内,∴x2+(y-1)2<16, ∴0≤(y-1)2<16? -3<y<5? 0≤y2<25, ∴-2≤2(y2-1)<48, → → ∴MG· 的取值范围是[-2,48). NG *16.已知直线 l:y=kx+b,曲线 M:y=|x2-2|. (1)若 k=1 且直线与曲线恰有三个公共点时,求实数 b 的取值; (2)若 b=1,直线与曲线 M 的交点依次为 A,B,C,D 四点,求|AB|+|CD|的取值范围. [解析] (1)分两种情况:
?y=x+b ? 1)当- 2<x< 2时,? 有唯一解, 2 ? ?y=-x +2

即 x2+x+b-2=0 在(- 2, 2)内有一解,

9 由 Δ=1-4b+8=0,得 b= ,符合. 4 2)直线过点(- 2,0),得 0=- 2+b,得 b= 2.
2 ?y=x -2?|x|≥ 2?, (2)由? 得 x2-kx-3=0, ?y=kx+1

则有:|AD|= ?k2+1?k2+12?,且- ?

2 2 ≤k≤ . 2 2

2 ?y=-x +2?|x|< 2?, 由? 得 x2+kx-1=0, ?y=kx+1

则有:|BC|= ?k2+1?k2+4?,且 k∈R. ? 所以|AB|+|CD|=|AD|-|BC| = ?k2+1?k2+12?- ?k2+1?k2+4? ? ? = 8 k2+1 k2+12+ k2+4 8 11 1+ 2 + k +1 ,且- 2 2 ≤k≤ . 2 2



3 1+ 2 k +1

1 令 t=k2,则 0<t< , 2 1 则 y= ?t+1??t+12?- ?t+1??t+4?,0<t< 是增函数, 2 所以,y∈[2 3-2, 3).

1.方程(x2-y2-1) x-y-1=0 的曲线形状大致是________(图中实线部分)(

)

[答案] B
?A=0 ? [分析] A B=0?? 或 B=0,千万不要错误的转化为 A=0 或 B=0. ? ?B≥0 ?x2-y2-1=0 ? 原方程等价于? 或 x-y-1=0, 前者是双曲线位于直线下方部分, ? ?x-y-1≥0

[解析]

后者为直线,故选 B. 2.(2010· 华北师大附中模考)已知点 A(2,0),B、C 在 y 轴上,且|BC|=4,△ABC 外心的 轨迹 S 的方程为( A.y =2x C.y2=4x [答案] C [解析] 设△ABC 外心为 G(x,y),B(0,a),C(0,a+4), 由 G 点在 BC 的垂直平分线上知 y=a+2 ∵|GA|2=|GB|2,∴(x-2)2+y2=x2+(y-a)2, 整理得 y2=4x,即点 G 的轨迹 S 方程为 y2=4x. 3.如下图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且 总保持 AP⊥BD1,则动点 P 的轨迹是( )
2

) B.x2+y2=4 D.x2=4y

A.线段 B1C B.线段 BC1 C.BB1 中点与 CC1 中点连成的线段 D.BC 中点与 B1C1 中点连成的线段 [答案] A [解析] 设 P1、P2 为 P 的轨迹上两点,则 AP1⊥BD1, AP2⊥BD1.∵AP1∩AP2=A, ∴直线 AP1 与 AP2 确定一个平面 α,与面 BCC1B1 交于直线 P1P2,且知 BD1⊥平面 α, ∴P1P2⊥BD1,

又∵BD1 在平面 BCC1B1 内的射影为 BC1,∴P1P2⊥BC1,而在面 BCC1B1 内只有 B1C 与 BC1 垂直,∴P 点的轨 迹为 B1C. 4.(2010· 瑞安中学)一个圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一个定点,M 是圆上一个动点, 把纸片折叠使得 F 与 M 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 的交点为 P,则 P 点的轨迹是( )

A.圆 C.双曲线 [答案] B

B.椭圆 D .抛物线

[解析] 由条件知, P 在线段 MF 的垂直平分线上, 点 故|PM|=|PF|, ∵|PM|+|PO|=|OM|, ∴|PF|+|PO|=|OM|,∵点 F 在⊙O 内,∴|OM|>|OF|, 又|OM|为⊙O 的半径为定值,故点 P 的轨迹是以 F,O 为焦点的椭圆. 5.(2011· 青岛模拟)圆 O:x2+y2=16,A(-2,0),B(2,0)为两个定点.直线 l 是圆 O 的一 条切线,若经过 A、B 两点的抛物线以直线 l 为准线,则抛物线焦点的轨迹是( )

A.双曲线 C.抛物线 [答案] B

B.椭圆 D.圆

[解析] 设抛物线的焦点为 F,因为 A、B 在抛物线上, 所以由抛物线的定义知,A、B 到 F 的距离 AF、BF 分别等于 A、B 到准线 l 的距离 AM、 BN, 过 O 作 OP⊥l,由于 l 是圆 O 的一条切线,所以四边形 AMNB 是直角梯形,OP 是中位 线,故有|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|OP|=8>4=|AB|. 根据椭圆的定义知,焦点 F 的轨迹是一个椭圆. 6. (2010· 河北正定中学模拟)已知 A、 分别是直线 y= B 3 3 x 和 y=- x 上的两个动点, 3 3

线段 AB 的长为 2 3,P 是 AB 的中点,则动点 P 的轨迹 C 的方程为________. [答案] x2 2 +y =1 9

[解析] 设 P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).

?x=x +x 2 ∵P 是线段 AB 的中点,∴? y +y ?y= 2
1 1

2



2

∵A、B 分别是直线 y= ∴y1=

3 3 x 和 y=- x 上的点, 3 3

3 3 x 和 y2=- x2. 3 1 3

?x1-x2=2 3y ? 代入①中得,? 2 3 ?y1-y2= 3 x ?



→ 又|AB|=2 3,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12. 4 x2 ∴12y2+ x2=12,∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 +y2=1. 3 9 1 2 7.(2011· 苏州模拟)已知 + =1(m>0,n>0),当 mn 取得最小值时,直线 y=- 2x+2 m n x|x| y|y| 与曲线 + =1 的交点个数为________. m n [答案] 2 1 2 [解析] 1= + ≥2 m n 2 ,∴mn≥8. mn

1 2 x|x| y|y| 当且仅当 = 时,即 m=2,n=4 时等号成立.曲线为 + =1. m n 2 4

y2 x2 y2 x2 当 x>0,y>0 时,表示椭圆 + =1 的一部分;当 x<0,y>0 时,表示双曲线 - =1 4 2 4 2 x2 y2 的一部分; x>0, 时, 当 y<0 表示双曲线 - =1 的一部分, x<0, 当 y<0 时, 曲线不存在. 如 2 4 上图知,交点个数为 2.


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