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湖南省澧县一中2014-2015学年高二上学期特色班第一次阶段性考试数学理试题


2016 届高二上学期特色班第一次阶段性考试

数 学 试 题
时量: 120 分钟 命题人:龚光元 一、选择题(每小题 5 分共 50 分,请将答案填写在答卷上. ) 1. 某学校有男、 女学生各 500 名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著 差异,拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( ) A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法 2.一质点沿直线运动,如果由起点起经过 t 秒后的位移为 s ? 零的时刻是( A.0 秒 ) B.1 秒末 C.2 秒末 ,程序框图如图所示,若输出的结 D.1 秒末和 2 秒末 开 始 S =0, n = 1 n=n+1 S = S +f (n) 是

1 3 3 2 t ? t ? 2t ,那么速度为 3 2

3.已知函数 f ( x) ?

1 x ? x ?1

果 S ? 10 ,则判断框中可以填入的关于 n 的判断条件是( ) n ? 100 ? n ? 99? n ? 100 ? n ? 99? A. B. C. D.

x2 y 2 4.已知双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,双曲线的一个焦 a b
点到一条渐近线的距离为 的离心率为( )

5 ,则双曲线 c (c 为双曲线的半焦距长) 3

3 2 3 5 否 B. C. D. 输出 S 2 3 2 2 5.使不等式 2 x ? 5 x ? 3 ? 0 成立的一个充分不必要条件是( ) 结 束 A. x ? 0 B. x ? 0 或 x ? 2 1 1 (第 3 题) C. x ? ? D. x ? ? 或 x ? 3 2 2 ??? ? ??? ? 1 ??? ? ???? P ?a 1 A +O B a? O C 6. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 若O 且 P, A, B, C 四 0 0 7O 1 0 0 8 2 点共面(该面不过点 O ) ,则 S2014 ? ( ) 1007 A. 503 B. C. 1006 D. 1007 2 cos x 7.已知函数 f ( x) ? ) , 则函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为( ex A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0

5 A. 2

C. cos? x ? y ? 1 ? 0

D. e ? x ? cos x ? y ? 1 ? 0
x

x2 y2 x2 y2 3 ? ? 1 的渐近线与椭 8.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,双曲线 2 a b 2 2
圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆的方程为( A. )
2

x y ? ?1 8 2

2

2

B.

x y ? ?1 12 6

2

2

C.

x y ? ?1 16 4

2

2

D.

x y ? ?1 20 5

2

? 9.已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 60 , AB ? ? , AB ? l , A 为垂足,CD ? ? ,C ? l ,

?ACD ? 135? ,则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为(
A.



1 1 3 2 B. C. D. 2 4 4 4 2 2 2 a x y 10.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F ,直线 x ? 与 x 轴的交点为 A ,在椭圆上 a b c 存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是( )
A. (0,

2 ] 2

B. (0, ]

1 2

C. [ ,1)

1 2

D. [ 2 ?1,1)

二、填空题(每小题 5 分共 25 分,请将答案填写在答卷上. ) 11. 135 (8)? _________ (2) 12.若命题“ ?x ? R, 2 x2 ? 3ax ? 9 ? 0 ”为假命题,则实数 a 的取值范围是 .

C: 13.已知 F 1 , F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,点 A ? C ,点 M 的坐标为 9 27 . (2, 0) , AM 为 ?F1 AF2 的平分线.则 AF2 =
2

b ( a , b 为常数)过点 P(2, ?5) ,且该曲 x 线在点 P 处的切线与直线 7 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则 a ? b 的值为 .
14.在平面直角坐标系中 xOy ,若曲线 y ? ax ? 15.若 f ( x) ? ln x ? x2 ? f ?(1) ,则方程 f ?( x) ? 0 的解集为 (请用列举法表示) .

三、解答题(共 75 分,要有必要的文字说明,步骤,请将答案填写在答卷上. )

1 2 16. (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ? , x ? R . 2 1 (I)求 f ( x) ? ? 时 x 取值的集合; 2 ( II )已知△ ABC 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 c ? 3, f (C ) ? 0 ,若向量 ?? ? a , b 的值. m ? (1, sinA 与 ) n ? (2, sin B 共线,求 )

17. (本小题 12 分)如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂
直, AB ? 2, AF ? 1 . P 为线段 EF 上一点.

(I)若 P 为 EF 的中点,求证:AP⊥DF; (Ⅱ) 是否存在点 P, 使直线 AP 与平面 BDF 所成的角为 若不存在,说明理由. E

? ?若存在, 确定 P 点的位置; 3

?P
C

F B A

D

18. (本小题 12 分)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?
又 a1 , a2 , a5 成公比不为 l 的等比数列.

an?1 (c 为常数, n ? N *, n ? 2 ) , can?1 ? 1

1 }为等差数列,并求 c 的值; an 2 (Ⅱ)设{ bn }满足 b1 ? , bn ? an ?1an ?1 (n ? 2, n ? N *) ,求数列{ bn }的前 n 项和 Sn . 3
(I)求证:{

19. (本小题 13 分)以 F1(0,-1),F2(0,1)为焦点的椭圆 C 过点 P(
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 S( ?

2 ,1). 2

1 ,0)的动直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问:在坐标平面上是否存在 3

一个定点 T,使得无论 l 如何转动,以 AB 为直径的圆恒过点 T ? 若存在,求出点 T 的坐标; 若不存在,请说明理由.

20. (本小题 13 分)如图所示,在矩形 ABCD 中, AB ? 4, AD ? 2, E是CD 的中点, O 为 AE 的中点,以 AE 为折痕将△ ADE 向上折起,使 D 到 P 点位置,且 PC ? PB . (I)求证:平面 PAE ? 平面 ABCE ; (II)求二面角 E ? AP ? B 的余弦值.

x2 y 2 21. (本小题 13 分)已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左右焦点分别为 F 1 , F2 , a b 1 2 A 满足 抛 物 线 C2 : y ? ? ( x ? 1) 的 顶 点为 B , 且 经 过 F 1 , F2 , 椭圆 C1 的 上 顶 点 2 ??? ? ??? ? 2OB ? OA. (I)求椭圆 C1 的方程; ????? ???? ???? N 为抛物线 C2 上一动点,抛物线 C2 在 N 处 (II)设点 M 满足 2F 1M ? FO 1 ?F 1B ,点 Q 两点, 的切线与椭圆交于 P , 求 ?MPQ 面积的最大值.

y A N B P F1 O M F2 x Q

第 21 题图

2016 届高二上学期特色班第一次阶段性考试数学参考答案
一、选择题(每小题 5 分共 50 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 D D A B C B A D C C 答案 二、填空题(每小题 5 分共 25 分) 11. 1011101 12. ? ?2 2, 2 2 ? 13. 6 ? ? ? ? ? 2? 14. ?3 15. ? ? ? 2 ? ? ? 三、解答题(共 75 分,要有必要的文字说明,步骤) 1 3 1 16.解: (I) f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2 2 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 ???3 分 6 1 ? 1 由 f ( x) ? ? 得 sin(2 x ? ) ? , 2 6 2 ? ? ? 5? ? 2k? , k ? Z 所以 x 取值的集合为: 故 2 x ? ? ? 2 k ? 或2 x ? ? 6 6 6 6 ? ? ? ? ???5 分 ? x x ? ? k? 或x ? ? k? , k ? Z ? 6 2 ? ? ? ? (II)? f (C ) ? sin( 2C ? ) ? 1 ? 0 , 即 sin( 2C ? ) ? 1 6 6 ? ? 11? ? ? ? ? 0 ? C ? ? ,? ? 2C ? ? ,? 2C ? ? ,? C ? ???6 分 6 6 6 6 2 3 ?m 与 n 共线,? sin B ? 2 sin A ? 0 a b ? 由正弦定理 ,得 b=2 a . ① ????8 分 sin A sin B ? ? c ? 3 ,由余弦定理,得 9 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos . ② ????10 分 3 ? ?a ? 3 , 解①②组成的方程组,得 ? ????12 分 ? ?b ? 2 3. 17.解: (I)以 CD,CB,CE 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系如图. 则 C( ?2 分 0,0,0),A( 2,2, 0),B( 0,2, 0),D( 2, 0,0),F( 2,21 , )
??? ? ??? ? 2 2 ??4 分 ? P 为 EF 的中点,? P( 2 , 2 , ? AP=(, , 1 ), DF=(0,2, 0) 1 )
2 2

2

2

??? ? ??? ? 2 ? AP ? DF=? 2+1=0 ? AP ? DF ??6 分 2


z

? ? ? ? ? ? D ( B = ,, ), 2 (,2 ,1) 0 ? 设平面 BDF 的法向量为 n=(x, y, z) ,由

II







I





?



D

?

F

=

0 E

2

?P

F B A y

C

x

D 图4

? ??? ? ? n ? DB ? 0 ? ? x? y ? , ?? ? ? ???? ?z ? ? 2 y ?n ? DF ? 0 ? ?
取 n ? (1,1, ? 2)

?

??? ? ??? ? 设 EP ? ? EF ? P( 2?, 2?,1) , ??? ? 则 AP=( 2? - 2,2? - 2, 1 )(0 ? ? ? 1 ) ? ??? ? n ? AP ? 2 2? ? 3 2 , ? ??? ? 2 而 | n |? 2,| AP |? 4(? ? 1) ? 1 ??10 分
? | 2 2? ? 3 2 | 2 (? ? 1) ? 1
2

??8 分

?

3 3 , ? 4? 2 ? 3? ? ? ? [0,1] ,即 EP= 3 所以存在 P 点( EP= 3 ) 2 2
?

使直线 AP 与平面 BDF 成 60 . 18.

????12 分

?????????11 分

2 n ? ,所以 Sn ? 1 ? 2 (n ? N ? ) .???12 分 当 n ? 1 时, 1 ? 2 4n ? 1 3 4n ? 1 y 2 x2 19.解: (Ⅰ)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 (a>b>0),由已知 c =1, a b
又 2a=

n

? 2? ? 2? 2 2 . ? ? 2 ? ? ?2 ? ? ? 2 ? ? ?0 ? 2 2 ? ? ? ?

2

2

则 a= 2 ,b2=a2-c2=1,

椭圆 C 的方程是

y2 2 + x =1. 2

??????4 分

(Ⅱ)若直线 l 与 x 轴重合,则以 AB 为直径的圆是 x2+y2=1, 若直线 l 垂直于 x 轴,则以 AB 为直径的圆是(x+

1 2 2 16 ) +y = . 3 9

? x 2 ? y 2 ? 1, ? x ? 1, ? 由? 解得 ? 即两圆相切于点(1, 0). 因此所求的点 T 如果存 1 2 16 2 ? y ? 0. ?( x ? ) ? y ? , 3 9 ?
在,只能是(1,0). 事实上,点 T(1,0)就是所求的点. ??????6 分 证明如下: 当直线 l 垂直于 x 轴时,以 AB 为直径的圆过点 T(1,0).若直线 l 不垂直于 x 轴,

1 ? y ? k ( x ? ), ? 3 1 2 1 ? 可设直线 l: y=k(x+ ). 由? 即(k2+2)x2+ k2x+ k2-2=0.记点 A(x1,y1),B(x2,y2),则: 2 3 3 9 ? x 2 ? y ? 1. ? ? 2 2 1 2 ? k2 k ?2 。 ??????8 分 x1 ? x2 ? 23 ,x1 x2 ? 9 2 k ? 2 k ? 2 ??? ??? 又因为 TA = ( x1 ?1, y1 ) , TB = ( x2 ? 1, y2 ) , ??? ??? 1 1 TA ·TB = ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 = ( x1 ?1)( x2 ?1) +k2(x1+ )(x2+ ) 3 3 1 1 =(k2+1)x1x2+( k2? 1)( x1+x2)+ k2+1 3 9 1 2 2 k ?2 ? k2 1 1 2 k +1=0, =(k2+1) 9 2 +( k2? 1) 23 + ??????12 分 3 k ?2 k ?2 9
则 TA⊥TB,故以 AB 为直径的圆恒过点 T(1,0).所以在坐标平面上存在一个定点 T(1,0)满足条件. ??????13 分

20.解: (I) PA ? PE , OA ? OE ? PO ? AE ?1 分
取 BC 的中点 F,连 OF,PF,∴OF∥AB, ∴OF⊥BC .因为 PB=PC ∴BC⊥PF ,所以 BC⊥面 POF,从而 BC⊥PO ?3 分 又 BC 与 PO 相交,可得 PO⊥面 ABCE ?5 分 又 PO ? 平 面 PAE , 所 以 平 面 PAE ? 平 面 ABCE . ?6 分 (Ⅱ)作 OG∥BC 交 AB 于 G,∴OG⊥OF ???? ????? ??? ? 如图,建立直角坐标系 [O; OG,OF , OP], A(1,-1,0) ,B ( 1,3, 0) ,C(-1,3,0) ,P (0,0, 2 ) ?8 分 ? ??? ? ? ? ? ?n ? AP ? ? x ? y ? 2 z ? 0 设平面 PAB 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ), ? ? ??? ? n1 ? ( 2, 0,1) ? ? ?n ? AB ? 4 y ? 0 ? 同理平面 PAE 的法向量为 n 2 ? (1,1, 0), ??11 分

COS ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 n1 ? n2

?

3 3 ,二面角 E-AP-B 的余弦值为 3 3

??13 分

1 2 1 21.解: (I)由抛物线 C2 : y ? ? ( x ? 1) ,可得 B(0, ) , F1 (?1,0) , 2 2 设椭圆的焦距为 2c ,则有 c ? 1 , ??? ? ??? ? 又由 2OB ? OA 可得 A(0,1) ,? b ? 1 , a ? 2 ,

???1 分 ???2 分 ???4 分

x2 ? y 2 ? 1. ???5 分 2 ????? ???? ???? 1 M 为 OB 中点,? M (0, ) . (Ⅱ)由 2F ???6 分 1M ? FO 1 ?F 1B 知,点 4 1 2 1 1 2 设点 N (t , ? t ? ) ,由 y ? ? ( x ? 1) 得,则 kPQ ? y? |x?t ? ?t , 2 2 2 1 2 1 ???7 分 ? PQ : y ? ?tx ? t ? , 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? t 4 ? 2t 2 ? 3 ?2 2 2 2 ?0, 联立 ? ,消去 y 整理得, (2t ? 1) x ? 2t (t ? 1) x ? 2 ? y ? ?tx ? 1 t 2 ? 1 ? ? 2 2 2 由 ? ? 0 ,得 t ? 3 ? 2 3 ,设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , ???9 分
故椭圆 C1 的方程为

2t (t 2 ? 1) t 4 ? 2t 2 ? 3 由韦达定理可得, x1 ? x2 ? , , x ? x ? 1 2 2t 2 ? 1 2(2t 2 ? 1)

? | x1 ? x2 |?

?2t 4 ? 12t 2 ? 6 ?2t 4 ? 12t 2 ? 6 2 2 , | PQ | ? 1 ? t | x ? x | ? 1 ? t ? ? 1 2 2t 2 ? 1 2t 2 ? 1
???10 分

1 1 | t2 ? | 1 2t 2 ? 1 1 2 4 ? ? 而点 M (0, ) 到直线 PQ 的距离为 d ? , 4 4 1? t2 1? t2
所以 S?MPQ ?

???11 分

?2(t 2 ? 3)2 ? 24 1 ?2t 4 ? 12t 2 ? 6 6 , | PQ | ?d ? ? ? 2 8 8 4 6 . ???13 分 ? t 2 ? 3 ? 2 3 ,故当 t 2 ? 3 时, ( S?MPQ )max ? 4


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