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高考数学一轮复习 专题9


专题 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、填空题 1.直线 y=x+4 与圆(x-a) +(y-3) =8 相切,则 a 的值为_______. 【解析】因为(x-a) +(y-3) =8 的圆心为(a,3),半径为 2 2,所以由直线 y=x+4 与圆(x-a) +(y- 3) =8 相切,知圆心到直线的距离等于半径,所以 2 2 2 2 2 2 2 2 |a-3+4| 1 +?-1? 2 2 =2 2,即|a+1|=4,解得 a=3 或-5. 2.直线 l 与圆 x +y +2x-4y+a=0(a<3)相交于 A,B 两点,若弦 AB 的中点为(-2,3),则直线 l 的方程 为_______. 3.已知圆 M:x +y -2ay=0(a>0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 2,则圆 M 与圆 N:(x-1) +(y -1) =1 的位置关系是_______. 【解析】由题知圆 M:x +(y-a) =a (a>0),圆心 (0,a)到直线 x+y=0 的距离 d= 2 2 2 2 2 2 2 a 2 ,所以 2 a2 a2- 2 =2 2,解得 a=2.圆 M,圆 N 的圆心距|MN|= 2,两圆半径之差为 1,两圆半径之和为 3,故两圆相交. 4.圆心在直线 x-y-4=0 上,且经过两圆 x +y +6x-4=0 和 x +y +6y-28=0 的交点的圆的方程为 _______. 6 6λ 2 2 2 2 2 2 【解析】 设经过两圆的交点的圆的方程为 x +y +6x-4+λ (x +y +6y-28)=0, 即 x +y + x+ 1+λ 1+λ 2 2 2 2 y- 3 3λ ? 4+28λ 3 3λ ? ,- =0,其圆心坐标为?- ?,又圆心在直线 x-y-4=0 上,所以-1+λ +1+λ - 1 + λ 1 + λ 1+λ ? ? 2 2 4=0,解得 λ =-7,故所求圆的方程为 x +y -x+7y-32=0. 5.已知直线 l:x+ay-1=0(a∈R)是圆 C:x +y -4x-2y+1=0 的对称轴.过点 A(-4,a)作圆 C 的一 条切线,切点为 B,则|AB|=_______. 【解析】由于直线 x+ay-1=0 是圆 C:x +y -4x-2y+1=0 的对称轴,∴圆心 C(2,1)在直线 x+ay-1 =0 上,∴2+a-1=0,∴a=-1,∴A(-4,-1). ∴|AC| =36+4=40.又 r=2,∴|AB| =40-4=36. ∴|AB|=6. 6. 已知圆 C1: x +y +4ax+4a -4=0 和圆 C2: x +y -2by+b -1=0 只有一条公切线, 若 a, b∈R 且 ab≠0, 1 1 则 2+ 2的最小值为_______. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b 7.已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与圆(x-2) +(y-3) =8 相外切,则圆 C 的 方程为________. 【答案】(x+1) +y =2 【解析】由题意知圆心 C(-1,0),其到已知圆圆心(2,3)的距离 d=3 2,由两圆相外切可得 R+2 2=d= 3 2,即圆 C 的半径 R= 2,故圆 C 的标准方程为(x+1) +y =2. 8.圆 x +y +2y-3=0 被直线 x+y-k=0 分成两段圆弧,且较短弧长与较长弧长之比为 1∶3,则 k= ________. 【答案】1 或-3

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