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高中数学教师说课稿--数学归纳法(吴中才)

高中数学教师说课稿

第三届全国高中青年数学教师优秀课评选

数学归纳法及其应用举例
——人教高三数学(选修 II)第 2 章第 1 节

选送单位:安徽省教科所 参赛教师: 吴中才 选手单位:安徽师大附中

2006 年 8 月 8 日

高中数学教师说课稿

课题:数学归纳法及其应用举例
人民教育出版社全日制普通高级中学教科书数学第三册(选修 II)第二章第一节

安徽师大附中 吴中才
【教学目标】 1. 使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质. 2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关 的命题. 3. 培养学生观察 , 分析 , 论证的能力 , 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能 力,让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想. 4. 努力创设课堂愉悦情境,使学生处于积极思考、大胆质疑氛围,提高学生学习的 兴趣和课堂效率. 5. 通过对例题的探究,体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的 学习热情,使学生初步形成做数学的意识和科学精神. 【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析 【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解 【教学方法】类比启发探究式教学方法 【教学手段】多媒体辅助课堂教学 【教学程序】 第一阶段:输入阶段——创造学习情境,提供学习内容 1. 创设问题情境,启动学生思维 (1) 不完全归纳法引例: 明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话:财主的儿子学写字.这则笑话中财
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主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论,用的就是“归纳法” ,不过, 这个归纳推出的结论显然是错误的. (2) 完全归纳法对比引例: 有一位师傅想考考他的两个徒弟,看谁更聪明一些.他给每人一筐花生去剥皮, 看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着,看谁先给出答案.大徒弟费了很大劲将花 生全部剥完了;二徒弟只拣了几个饱满的,几个干瘪的,几个熟好的,几个没熟的, 几个三仁的,几个一仁、两仁的,总共不过一把花生.显然,二徒弟先给出答案, 他比大徒弟聪明. 在生活和生产实际中,归纳法也有广泛应用.例如气象工作者、水文工作者依 据积累的历史资料作气象预测,水文预报,用的就是归纳法.这些归纳法却不能用 完全归纳法. 2. 回顾数学旧知,追溯归纳意识 (从生活走向数学,与学生一起回顾以前学过的数学知识,进一步体会归纳意 识,同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳. ) (1) 不完全归纳法实例: 给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式. (2) 完全归纳法实例: 证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三 种情况. 3. 借助数学史料, 促使学生思辨 (在生活引例与学过的数学知识的基础上,再引导学生看数学史料,能够让学 生多方位多角度体会归纳法,感受使用归纳法的普遍性.同时引导学生进行思辨: 在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论,不管是我们还是数学大家都可 能如此.那么,有没有更好的归纳法呢?)

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问题 1 已知 an = (n 2 ? 5n ? 5) 2 (n∈ N) , (1)分别求 a1 ; a2 ; a3 ; a4 . (2)由此你能得到一个什么结论?这个结论正确吗? (培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力.概括能力是思维能力的核心.鲁 宾斯坦指出:思维都是在概括中完成的.心理学认为“迁移就是概括” ,这里知识、 技能、思维方法、数学原理的迁移,我找的突破口就是学生的概括过程. ) 问题 2 费马 (Fermat) 是 17 世纪法国著名的数学家, 他曾认为, 当 n∈ N 时, 22 ? 1 一定都是质数,这是他对 n=0,1,2,3,4 作了验证后得到的.后来,18 世纪伟大 的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了 2 2 ? 1=4 294 967 297=6 700 417× 641,从而否 定了费马的推测.没想到当 n=5 这一结论便不成立. 问题 3 f (n) ? n 2 ? n ? 41, 当 n∈ N 时, f (n) 是否都为质数? 验证: f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,f(5) =71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=113,f(9)=131,f(10)=151,…,f (39)=1 601.但是 f(40)=1 681= 41 2 ,是合数. 第二阶段:新旧知识相互作用阶段——新旧知识作用,搭建新知结构 4. 搜索生活实例,激发学习兴趣 (在第一阶段的基础上,由生活实例出发,与学生一起解析归纳原理, 揭示递推 过程.孔子说: “知之者不如好之者,好之者不如乐之者. ”兴趣这种个性心理倾向 一般总是伴随着良好的情感体验. ) 实例:播放多米诺骨牌录像 关键:(1) 第一张牌被推倒; (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒 下. 于是, 我们可以下结论: 多米诺骨牌会全部倒下.
5

n

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搜索:再举几则生活事例:推倒自行车, 早操排队对齐等. 5. 类比数学问题, 激起思维浪花 类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d : (1) 当 n=1 时等式成立; (2) 假设当 n=k 时等式成立, 即 ak ? a1 ? (k ? 1)d , 则

ak ?1 ? ak ? d = a1 ? [(k ? 1) ? 1]d , 即 n=k+1 时等式也成立. 于是, 我们可以下结论:
等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d 对任何 n∈N * 都成立. (布鲁纳的发现学习理论认为, “有指导的发现学习” 强调知识发生发展过程. 这 里通过类比多米诺骨牌过程,让学生发现数学归纳法的雏形,是一种再创造的发现 性学习. ) 6. 引导学生概括, 形成科学方法 证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下: (1) 证明当 n 取第一个值 n0 时结论正确; (2) 假设当 n=k (k∈N * ,k≥ n0 ) 时结论正确, 证明当 n=k+1 时结论也正确. 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都正确. 这种证明方法叫做数学归纳法. 第三阶段:操作阶段——巩固认知结构,充实认知过程 7. 蕴含猜想证明, 培养研究意识 (本例要求学生先猜想后证明,既能巩固归纳法和数学归纳法,也能教给学生 做数学的方法,培养学生独立研究数学问题的意识和能力. )

an (n∈ N * ), 先计算 a2 ,a3 ,a4 的值,再 1 ? an 推测通项 an 的公式, 最后证明你的结论.
例题 在数列{ an }中, a1 =1, an?1 ? 8. 基础反馈练习, 巩固方法应用

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(课本例题与等差数列通项公式的证明差不多,套用数学归纳法的证明步骤不 难解答,因此我把它作为练习,这样既考虑到学生的能力水平,也不冲淡本节课的 重点.练习第 3 题恰好是等比数列通项公式的证明,与前者是一个对比与补充.通 过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况. ) (1)(第 63 页例 1)用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n-1)= n 2 . (2)(第 64 页练习 3)首项是 a1 ,公比是 q 的等比数列的通项公式是 an ? a1q n?1 . 9. 师生共同小结, 完成概括提升 (1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法; (2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法, 它可以分为完全归纳法和不完全归 纳法两种,完全归纳法只局限于有限个元素,而不完全归纳法得出的结论不一定具 有可靠性,数学归纳法属于完全归纳法; (3) 数学归纳法作为一种证明方法,其基本思想是递推(递归)思想,使用要点可 概括为:两个步骤一结论,递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉; (4) 本节课所涉及到的数学思想方法有:递推思想、类比思想、分类思想、归纳 思想、辩证唯物主义思想. 10. 布置课后作业, 巩固延伸铺垫 (1) 课本第 64 页练习第 1, 2 题; 第 67 页习题 2.1 第 2 题. (2) 在数学归纳法证明的第二步中,证明 n=k+1 时命题成立, 必须要用到 n=k 时命题成立这个假设.这里留一个辨析题给学生课后讨论思考: 用数学归纳法证明: 1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n?1 ? 2 n ? 1(n∈N * )时, 其中第二步采 用下面的证法: 设 n=k 时等式成立, 即 1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 k ?1 ? 2 k ? 1 , 则当 n=k+1 时,

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你认为上面的证明正确吗?为什么? 【教学设计说明】 1.数学归纳法是一种用于证明与自然数 n 有关的命题的正确性的证明方法.它 的操作步骤简单、明确,教学重点不应该是方法的应用.我认为不能把教学过程当 作方法的灌输,技能的操练.为此,我设想强化数学归纳法产生过程的教学,把数 学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中,把数学归纳法的产生与不完全归 纳法的完善结合起来.这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景,从一开始 就注意它的功能,为使用它打下良好的基础,而且可以强化归纳思想的教学,这不 仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充,也是引导学生发展创新能力 的良机. 2.在教学方法上,这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法.目 的是加强学生对教学过程的参与.为了使这种参与有一定的智能度,教师应做好发 动、组织、引导和点拨.学生的思维参与往往是从问题开始的,本节课按照思维次 序编排了一系列问题,让学生投入到思维活动中来,把本节课的研究内容置于问题 之中,在逐渐展开中,引导学生用已学的知识、方法予以解决,并获得知识体系的 更新与拓展. 3.运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题,两个步骤缺一不可.理解数 学归纳法中的递推思想,尤其要注意其中第二步,证明 n=k+1 命题成立时必须要 用到 n=k 时命题成立这个条件.这些内容都将放在下一课时完成,这种理解不仅使 我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质,也为证明过程中第二步的设计指明了 思维方向.

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