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WWW.223317.COM:2019-2020年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2用向量方法求空间中的角高效测评新人教A版选修

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2019-2020 年高中数学第三章空间向量与立体几何 3.2.2 用向量方法

求空间中的角高效测评新人教 A 版选修

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)

1.设 ABCD,ABEF 都是边长为 1 的正方形,FA⊥面 ABCD,则异面直线 AC 与 BF 所成的

角等于( )

A.45°

B.30°

C.90°

D.60°

解析: 以 B 为原点,BA 为 x 轴,BC 为 y 轴,BE 为 z 轴建立空间直角坐标系.则 A(1,0,0),

C(0,1,0),F(1,0,1),

∴A→C=(-1,1,0),B→F=(1,0,1).∴cos〈A→C,B→F〉=-21.

∴〈→AC,→BF〉=120°.∴AC 与 BF 所成的角为 60°.

答案: D

2.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为( )

A.

2 3

B.

3 3

C.23

D.

6 3

解析: 建系如图,设正方体棱长为 1,则B→B1=(0,0,1).

∵B1D⊥面 ACD1,∴取B→1D=(1,1,1)为面 ACD1 的法向量.

设 BB1 与面 ACD1 所成的角为 θ ,

则 sin

θ

=????|BB→→BB11|·|BB→ →11DD|????=

1 = 3

3 3,

∴cos θ = 36.

答案: D 3.如图所示,已知点 P 为菱形 ABCD 所在平面外一点,且 PA⊥平面 ABCD,PA=AD=AC, 点 F 为 PC 中点,则二面角 C-BF-D 的正切值为( )

A.

3 6

B.

3 4

C.

3 3

D.2 3 3

解析: 设 AC∩BD=O,连接 OF,以 O 为原点,OB,OC,OF 所在直线分别为 x,y,z

轴,建立空间直角坐标系,设 PA=AD=AC=1,则 BD= 3,

∴B??? 23,0,0???,F???0,0,12???, C???0,12,0???,D???- 23,0,0???. ∴O→C=???0,12,0???,且O→C为平面 BDF 的一个法向量.

由B→C=???- 23,21,0???,F→B=??? 23,0,-12???可得平面 BCF 的一个法向量 n=(1, 3, 3).

∴cos〈n,O→C〉=

721,sin〈n,O→C〉=2

7

7 .

∴tan〈n,O→C〉=2

3

3 .

答案: D

4.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面是边长为 2 的正方形,高为 4,则点 A1 到截面 AB1D1

的距离为( )

A.83

B.38

C.43

D.34

解析: 如图,建立空间直角坐标系 D-xyz,则 A(2,0,0),A1(2,0,4),B1(2,2,4), D1(0,0,4),

∴D→1B1=(2,2,0),D→1A=(2,0,-4),A→A1=(0,0,4), 设 n=(x,y,z)是平面 AB1D1 的法向量,则 n⊥D→1B1,n⊥D→1A,

??n·D→1B1=0 ∴???n·D→1A=0

,即?????22xx+ -24yz==00 ,

令 z=1,则平面 AB1D1 的一个法向量为 n=(2,-2,1). A1 到平面 AB1D1 的距离为 d=|A→A|1n·| n|=43.

答案: C

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

5.若两个平面 α ,β 的法向量分别是 n=(1,0,1),v=(-1,1,0).则这两个平面所 成的锐二面角的度数是________.

解析:

cos〈n,v〉=

-1 2·

2=-12.

∴〈n,v〉=120°.

答案: 60°

6.已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的 中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为________.
解析: 建立如图所示的空间直角坐标系,设 AB=1.因为 A1D⊥平面 ABC,AD⊥BC,由

AD= 23,AA1=1 知 A1D=12.

故 A1???0,0,12???.又 A??? 23,0,0???,B???0,-21,0???, ∴A→A1=???- 23,0,12???,A→B=???- 23,-12,0???, ∴cos〈A→A1·→AB〉=34. 又∵CC1∥AA1,∴cos〈A→A1,→AB〉=cos〈C→C1,→AB〉. 故异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为34.

答案:

3 4

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)

7.如图所示,A1B1C1-ABC 是直三棱柱,∠ACB=90°,点 D1,F1 分别是 A1B1,A1C1 的中 点,BC=CA=CC1,求 BD1 与 AF1 所成角的余弦值.

解析: 方法一:取 BC 中点 E,连接 EF1,D1F1, ∵D1F1 綊12B1C1,BE 綊12B1C1,

∴D1F1 綊 BE, ∴四边形 BEF1D1 是平行四边形, ∴EF1∥BD1, ∠AF1E 是 BD1 与 AF1 所成的角, 连接 AE,设 BC=CA=CC1=1,

则 AE=

1+14= 25,

AF1=

15 1+4= 2 ,

EF1=BD1=

26 1+4= 2 ,

在△AEF1 中,由余弦定理得: cos∠AF1E=E2F·12+EAFF1·21-AAFE1 2

655



4+4-4 6

= 5

1300.

2× 2 × 2

∴BD1 与 AF1 所成角的余弦值为 1300.

方法二:如图所示,以 C 为原点,CA,CB,CC1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系,设 CB=CA=CC1=1,则 A(1,0,0),B(0,1,0),D1???12,12,1???,F1???12,0,1???,
则A→F1=???-12,0,1???, B→D1=???12,-12,1???, ∴|A→F1|= 25,|B→D1|= 26, 则 cos〈B→D1,A→F1〉=|AA→→FF11|·|BB→→DD11|= 1300, ∴BD1 与 AF1 所成角的余弦值为 1300. 8.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PD⊥平面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点.
求 EB 与平面 ABCD 夹角的余弦值. 解析: 取 CD 的中点 M,则 EM∥PD, 又∵PD⊥平面 ABCD,∴EM⊥平面 ABCD, ∴BE 在平面 ABCD 上的射影为 BM, ∴∠MBE 为 BE 与平面 ABCD 的夹角,
如图建立空间直角坐标系, 设 PD=DC=1, 则 P(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),

∴M???0,12,0???,E???0,12,12???,

∴B→E=???-1,-12,12???,

→BM=???-1,-12,0???,

cos〈B→M,B→E〉=|B→→EB|E··B→|BM→M|=

1+14



23×

5 2

630,

∴BE 与平面 ABCD 夹角的余弦值为

30 6.

9.(10 分)如下图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB=4,AD=3,AA1=2.E,F 分别 是线段 AB,BC 上的点,且 EB=FB=1.

(1)求二面角 C-DE-C1 的正切值; (2)求直线 EC1 与 FD1 所成角的余弦值. 解析: (1)如图,以 A 为原点,A→B,A→D,A→A1分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空 间直角坐标系 A-xyz,则有

D(0,3,0),D1(0,3,2),E(3,0,0),F(4,1,0),C1(4,3,2). 于是,D→E=(3,-3,0),E→C1=(1,3,2),F→D1=(-4,2,2). 设向量 n=(x,y,z)与平面 C1DE 垂直,则有

??n⊥D→E, ???n⊥E→C1

?

?? 3x-3y=0, ???x+3y+2z=0

? x=y=-12z.

∴n=???-z2,-z2,z???=z2(-1,-1,2),其中 z>0.

取 n=(-1,-1,2),则 n 是平面 C1DE 的一个法向量. ∵向量A→A1=(0,0,2)与平面 CDE 垂直, 设二面角 C-DE-C1 的平面角大小为 θ . 由图知所求二面角为锐二面角, ∴cos θ =cos〈n,A→A1〉=|nn|··A|→AA→A1 1|



-1×0-1×0+2×2 = 1+1+4× 0+0+4

36,

∴tan θ = 22.

(2)设 EC1 与 FD1 所成角为 β ,则 cos β =|cos〈E→C1,F→D1〉|=????|E→EC→C1|1·×F|→DF→1D1|????

=???

- 12+32+22×

+3-×2+22+×222+22???=

21 14 .


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