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福建省厦门市2013届高三5月高中毕业班适应性考试理科数学试题(word版)


福建省厦门市 2013 届高三 5 月高中毕业班适应性考试

数学(理科)试题 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.把答案填写在答题卷的相应位置。 1. 若集合 A ? {x y ? 1 ? x }, B ? { y y ? e ( x ? 0)} ,则 A ? B 等于
x

A. [1, ??)

B. (0,1]

C. R

D. {1}

2.“ 1, x,9 成等比数列”是“ x ? 3 ”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
3. 以下四个命题中错误的是

C. 充要条件

D. 既不不充分也不必要条件

A. 已知随机变量 X~N(2,9) P( X ? c ? 1) ? P( X ? c ? 1) ,则 c ? 2
B. 两个随机变量相关性越强,则相关系数 r 的绝对值越接近于 1
? ? C. 在回归直线方程 y ? 0.2 x ? 12 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 y 平均增
加 0.2 个单位 “ D. 对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K 2 的观测值 k , k 越小, X 与 Y 有关系”的把握程度越 大. 4. 执行如图所示的程序框图,输出 s 的值等于 A. 98 B. 100 C. 2450 D. 2550 5. 已知三棱锥的底面是正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为

A.

3 2

B.

33 8

C.

3 4

D.

2 3

6. 已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象如图所示,则该函数的解析式可能是

4 4 1 A. y ? sin( x ? ) B. 5 5 5 4 1 D. y ? sin(2 x ? ) 5 5

3 1 y ? sin(2 x ? ) 2 5

C.

4 4 1 y ? sin(x? ) 5 5 5

?y ? 0 ? 7.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 则 z ? 3x ? 5 y 的取值范围是 ?x ? 4 y ? 3 ?

A. [3, ??)

B. [?8,3]

C. (??,9]

D. [?8,9]

x2 8.已知 A1 , A2 为椭圆 在长轴 A1 A2 上随机任取点 M , M 作垂直于 x 过 ? y 2 ? 1 的左右顶点, 4
轴的直线交椭圆于点 P ,则使 ?PA1 A2 ? 45 的概率为
0

A.

4 5

B.

7 10

C.

3 10

D.

1 5
C Q B

9. 如图, PQ 是半径为 1 的圆 A 的直径, ? ABC 是边长为 1 的正三角形, 则 BP ? CQ 的最大值为

??? ?

A P

1 A. 4

1 B. 2

3 C. 2

D. 1

10. 有限集合的元素可以一一数出来,无限集合的元素虽然不能数尽,但是可以比较两个集合 元素个数的多少. 例如,对于集合 A ? {1, 2,3,..., n,...} 与 B ? {2, 4,6,..., 2n,...} ,我们可以设 计一种方法得出 A 与 B 的元素个数一样多的结论.类似地,给出下列 4 组集合: (1) A ? {1, 2,3,..., n,...} 与 B ? {2, 4,8,..., 2 ,...}
n

(2) A ? [0,1] 与 B ? [0, 2] 4 )

(3) A ? (0, 2] 与 B ? [?1, ??)



A ? {( x, y ) x 2 ? y 2 ? 1}



B ? {( x, y )

x2 ? y 2 ? 1} 4

元素个数一样多的有

A. 1 组

B. 2 组

C. 3 组 D. 4 组 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填写在答题卷的相应位置. 11.若复数 z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i ( i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 m ? ______
2

4 1 dx ,则 ( x ? ) n 的二项展开式中 x 2 的系数是_________. (用数字作答) x x x 2 A 13. 已知双曲线系 ? n : ( 记第 n 条双曲线的渐近线的 ) ? (ny)2 ? 1(n ? N * ) , n ?1
12.已知 n ?

?

e

1

斜率为 kn (kn ? 0) ,则 k1 ? k2 ? ...kn ? ________ 14. 如图,树顶 A 离地面 9 米,树上另一点 B 离地面 3 米,欲使小明从

B

C

离地面 1 米处看 A、B 两点的视角最大,则他应离此树____米
15. 若函数 y ? f ( x) 对定义域 D 的每一个 x1 ,都存在唯一的 x2 ? D ,使 f ( x1 )?f ( x2 ) ? 1 成 立,则称 f ( x) 为“自倒函数” ,下列命题正确的是______________.(把你认为正确自倒函数命 题的序号都填上) (1) f ( x) ? sin x ? 2( x ? [?

? ?

, ]) 是自倒函数; (2)自倒函数 f ( x) 的值域可以是 R 2 2

(3)自倒函数 f ( x) 的可以是奇函数 (4)若 y ? f ( x), y ? g ( x) 都是自倒函数,且定义域相同,则 y ? f ( x)?g ( x) 是自倒函数 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写在答题卷相应位置,要写出文字说明、证 明过程或演算步骤. ) 16.(本题满分 13 分) 如图(1) ,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2,点 E1 , F1 分别是边

A1B1 , C1D1 的中点. 沿平面 BCF1 E1 将正方体切割成左
右两个几何体,再将右边的几何体补到左边,形成如 图(2)的几何体. (1)判断直线 A1 F1 与直线 EC 是否平行,并加于证明 (2)求直线 FD1 与平面 BCF1 E1 所成角的正弦值

17. (本题满分 13 分) 已知向量 m ? ( 3 sin (1)若 x ? (?

??

? ?

? ?? ? 1 x x x ,1), n ? (cos , cos 2 ) ,函数 f ( x) ? m?n ? 2 2 2 2

, ) ,求 f ( x) 的取值范围 3 6

(2)在 ? ABC 中,角 A, B, C 的对应边分别是 a, b, c ,若 f ( B) ? 1 , f ( B) ? 1, a ? 5, b ? 5 3 , 求 ? ABC 的面积.

18. (本题满分 13 分) 已知点 F (1,0) ,直线 l : x ? ?1 , P 在直线 l 上运动,PQ ? l , 点 线段 PF 与 y 轴的交点为 R ,且 RQ?FP ? 0 . (1)求动点 Q 的轨迹 C 的方程 (2)直线 l 与 x 轴交于点 M ,过 F 的直线 l1 交轨迹 C 于 A, B 两点,试探究点 M 与以 AB 为 直径的圆的位置关系,并加以说明.

??? ??? ? ?

“五一”期间,甲乙两个商场分别开展促销活动. (1)甲商场的规则是:凡购物满 100 元,可抽奖一次.从装有大小、形状相同 的 4 个白球、4 个黑球的袋中摸出 4 个球,中奖情况如下表: 摸出的结果 获得奖金(单位:元)
19. (本题满分 13 分)

4 个白球或 4 个黑球 3 个白球 1 个黑球或 3 个黑球 1 个白 球 2 个黑球 2 个白球 记 X 为抽奖一次获得的奖金,求 X 的分布列和期望。

200 20 10

(2)乙商场的规则是:凡购物满 100 元,可抽奖 10 次. 其中,第 n ( (n ? 1, 2,3,...,10) 次抽奖 方法是:从编号为 n 的袋中(装有大小、形状相同的 n 个白球和 n 个黑球)摸出 n 个球,若该 次摸出的 n 个球颜色都相同,则可获得奖金 5 ? 2
n?1

元. 各次摸奖的结果互不影响,最终所获

得的总奖金为 10 次奖金之和. 若某顾客购买 120 元的商品,不考虑其它因素,从获得奖金的期望分析,他应该选择哪 一家商场? 20. (本题满分 14 分)函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R)
2

(1)讨论 f ( x) 的单调性 (2)设函数 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线为 l ,若 l 在点 A 处穿过函数 y ? f ( x) 的图象 (即动点在点 A 附近沿曲线 y ? f ( x) 运动,经过点 A 时,从 l 的一侧进入另一侧) ,求 a 的值 (3)若 a ? 0 ,函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? ax 有且只有一个公共点,求 a 的值 21. 本题(1)(2)(3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分,如 、 、 果多做,则按所做的前两题计分。 y (1)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换
B C A1 B1 x

A

O

C1

如 图 , 矩 形 OABC 和 平 行 四 边 形 OA1B1C1 的 部 分 顶 点 坐 标 为 :
1 A(?1,0), B(?1,2), A1 ( ,1), C1 (2,0) . 2

(Ⅰ)求将矩形 OABC 变为平行四边形 OA1B1C1 的线性变换对应的矩阵 M; (Ⅱ)矩阵 M 是否存在特征值?若存在,求出矩阵 M 的所有特征值及其对应 的一个特征向量;若不存在,请说明理由.
(2)(本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

在极坐标系中,圆 C 的圆心坐标为 C (2, ) ,半径为 2. 以极点为原点,极轴为 x 的 3
? 3 t ?x ? 1? ? 2 ( t 为参 正半轴,取相同的长度单位建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2
数)

?

(1)求圆 C 的极坐标方程 (2)设 l 与圆 C 的交点为 A, B , l 与 x 轴的交点为 P ,求 PA ? PB
(3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 (1)证明二维形式的柯西不等式: (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd ) (a, b, c, d ? R)
2 2 2 2 2

(2)若实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 3, 求 x ? 2 y ? 2 z 的取值范围
2 2 2


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