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高考风向标文科数学一轮课时知能训练第3讲 算术平均数与几何平均数


高考风向标文科数学一轮课时知能训练:第 3 讲

算术平均数与几何平均数

1.A 为两正数 a,b 的等差中项,G 为 a,b 正的等比中项,则 ab 与 AG 的大小关系为( ) A.ab≤AG B.ab≥AG C.ab>AG D.ab<AG 2.(2011 年上海)若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( ) 2 2 A.a +b >2ab B.a+b≥2 ab 1 1 2 b a C. + > D. + ≥2 a b ab a b 1 1 3.设 a>0,b>0.若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则 + 的最小值为( ) a b 1 A.8 B.4 C.1 D. 4 1 4.(2011 年重庆)若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=( ) x-2 A.1+ 2 B.1+ 3 C.3 D.4 2 5.对于函数 f(x)=x +2x,在使 f(x)≥M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最大值-1 叫做 f(x)=x2+2x 的下确界, a2+b2 则对于 a,b∈R 且 a,b 不全为 0, 的下确界为( ) ?a+b?2 1 1 A. B.2 C. D.4 2 4 1? 2 6.(2011 年湖南)设 x,y∈R,且 xy≠0,则? ?x +y2?· ? 12+4y2?的最小值为________. ?x ? 7.(2011 年浙江)若实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是__________. 2ab 8.(2011 年湖北模拟)设 a>0,b>0,称 为 a,b 的调和平均数.如图 K5-3-1,C 为线段 AB 上的点,且 AC=a, a+b CB=b,O 为 AB 中点,以 AB 为直径作半圆.过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D.连接 OD,AD,BD.过点 C 作 OD 的垂线, 垂足为 E.则图中线段 OD 的长度是 a,b 的算术平均数,线段________的长度是 a,b 的几何平均数,线段________的长 度是 a,b 的调和平均数.

图 K5-3-1

2 1 9.已知 x>0,y>0,且 + =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,求实数 m 的取值范围. x y

10.投资生产某种产品,并用广告方式促销,已知生产这种产品的年固定投资为 10 万元,每生产 1 万件产品还需投 kx+1 入 18 万元,又知年销量 W(万件)与广告费 x(万元)之间的函数关系为 W= (x≥0),且知投入广告费 1 万元时,可销 x+1 售 2 万件产品.预计此种产品年销售收入 M(万元)等于年成本(万元)(年成本中不含广告费用)的 150%与年广告费用 50% 的和. (1)试将年利润 y(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数; (2)当年广告费为多少万元时,年利润最大?最大年利润是多少万元?

第3讲
1.A

算术平均数与几何平均数
2.D 3.B

4.C 5.A 1 1 1 1 1 x2+ 2?? 2+4y2?=1+4x2y2+ 2 2+4≥5+2 6.9 解析:? 4x2y2× 2 2=9,当且仅当 4x2y2= 2 2时,“=”成立. y ??x ? ? xy xy xy x+y?2 2 3 4 2 3 2 3 7. 解析:∵x2+y2+xy=1,∴(x+y)2-xy=1.即(x+y)2-? ≤1.∴(x+y)2≤ ,- ≤x+y≤ . 3 3 3 3 ? 2 ? 8.CD DE 解析:在 Rt△ADB 中 DC 为高,则由射影定理可得 CD2=AC· CB,故 CD= ab.即 CD 长度为 a,b 的 几何平均数. a+b a-b a+b a-b 将 OC=a- = ,CD= ab,OD= ,代入 OD· CE=OC· CD 可得 CE= ab.故 OE= OC2-CE2= 2 2 2 a+b ?a-b?2 , 2?a+b? 2ab 所以 ED=OD-OE= , a+b 故 DE 的长度为 a,b 的调和平均数. 2 1? ?4y x? 9.解:x+2y=(x+2y)? ?x+y?=4+? x +y? 4y x ≥4+2 ·=8. x y 2 而 x+2y>m +2m 对 x>0,y>0 恒成立, 则 m2+2m<8,解得-4<m<2. k+1 3x+1 10.解:(1)由题意得,2= ,解得 k=3,则 W= . 1+1 x+1 -x2+63x+28 3 1 于是年利润 y=年销售收入-年成本-年广告费= (18W+10)+ x-(18W+10)-x= (x≥0). 2 2 2?x+1? -x2+63x+28 ?x+1 18 ?+65≤26.5(x=5 时取等号). (2) =-? 2 + ? x+1? 2 2?x+1? ? 所以当年广告费为 5 万元时,年利润最大,最大年利润是 26.5 万元.


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