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2015-2016学年高中数学 第三章 系数的扩充与复数的引入学案 新人教A版选修1-2

【三维设计】 2015-2016 学年高中数学 第三章 系数的扩充与复数的 引入学案 新人教 A 版选修 1-2 _3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 复数的概念及代数表示 [提出问题] 问题 1:方程 x +1=0 在实数范围内有解吗? 提示:没有. 问题 2:若有一个新数 i 满足 i =-1,试想方程 x +1=0 有解吗. 提示:有解(x=±i),但不在实数范围内. [导入新知] 1.复数的定义 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中 i 叫做虚数单位,满足 i =-1.全体复数所 成的集合 C 叫做复数集. 2.复数的表示 复数通常用字母 z 表示,即 z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式, 2 2 2 2 a 与 b 分别叫做复数 z 的实部与虚部. 3.复数相等的充要条件 在复数集 C={a+bi|a,b∈R}中任取两个复数 a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),规定 a +bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d. [化解疑难] 对复数概念的理解 (1)对复数 z=a+bi 只有在 a,b∈R 时,a 和 b 才分别是复数的实部和虚部,并注意: 虚部是实数 b 而非 bi. (2)当两个复数不全是实数时,不能比较大小,只可判定相等或不相等,但两个复数都 是实数时,可以比较大小. (3)利用复数相等,可以把复数问题转化成实数问题进行解决,并且一个复数等式可得 1 到两个实数等式,为应用方程思想提供了条件. 复数的分类 [提出问题] 问题 1:复数 z=a+bi 在什么情况下表示实数? 提示:b=0. 问题 2:如何用集合关系表示实数集 R 和复数集 C? 提示: [导入新知] 复数的分类 ?实数 b= ? (1)复数 a+bi(a,b∈R)? ? ?虚数 b , 当a=0时为纯虚数 (2)集合表示: [化解疑难] 1.0 的特殊性 0 是实数,因此也是复数,写成 a+bi(a,b∈R)的形式为 0+0i,即其实部和虚部都是 0. 2.a=0 是复数 z=a+bi 为纯虚数的充分条件吗 因为当 a=0 且 b≠0 时,z=a+bi 才是纯虚数,所以 a=0 是复数 z=a+bi 为纯虚数 的必要不充分条件. 复数相等的充要条件 [例 1] (1)若 5-12i=xi+y(x,y∈R),则 x=________,y=________. (2)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x,y∈R,i 为虚数单位.求实数 x,y 的值. [解析] (1)由复数相等的充要条件可知 x=-12,y=5. [答案] -12 5 (2)[解] 根据复数相等的充要条件, 2 由(2x-1)+i=y-(3-y)i, ?2x-1=y, ? 得? ? -y ?1=- , 5 ? ?x= , 解得? 2 ? ?y=4. 5 即 x= ,y=4. 2 [类题通法] 解决复数相等问题的步骤 (1)等号两侧都写成复数的代数形式; (2)根据两个复数相等的充要条件列出方程(组); (3)解方程(组). [活学活用] 已知 x +y -6+(x-y-2)i=0 求实数 x,y 的值. ? ?x +y -6=0,① 解:由复数相等的条件得方程组? ?x-y-2=0.② ? 2 2 2 2 由②得 x=y+2,代入①得 y +2y-1=0.解得 2 y1=-1+ 2,y2=-1- 2.所以 x1=y1+2=1+ 2,x2=y2+2=1- 2. 即? ?x=1+ 2, ?y=-1+ 2 或? ?x=1- 2, ?y=-1- 2. 复数的分类 [例 2] 已知 m∈R,复数 z= m m+ m-1 +(m +2m-3)i,当 m 为何值时, 2 (1)z 为实数? (2)z 为虚数? (3)z 为纯虚数? [解] (1)要使 z 为实数,需满足 m +2m-3=0,且 2 m m+ m-1 有意义即 m-1≠0,解得 m=-3. (2)要使 z 为虚数,需满足 m +2m-3≠0,且 且 m≠-3. (3)要使 z 为纯虚数,需满足 [类题通法] 2 m m+ m-1 有意义即 m-1≠0,解得 m≠1 m m+ m-1 =0,且 m +2m-3≠0,解得 m=0 或 m=-2. 2 利用复数的分类求参数的方法及注意事项 3 利用复数的分类求参数时,要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件,再结合实部 与虚部的取值求解. 要特别注意复数 z=a+bi(a, b∈R)为纯虚数的充要条件是 a=0 且 b≠0. [活学活用] 设复数 z=lg(m -2m-2)+(m +3m+2)i,当 m 为何值时, (1)z 是实数? (2)z 是纯虚数? ? ?m -2m-2>0, 解:(1)要使复数 z 为实数,需满足? 2 ?m +3m+2=0, ? 2 2 2 解得 m=-2 或-1.即当 m=-2 或-1 时,z 是实数. (2)要使复数 z 为纯虚数,需满足? 虚数. ?m -2m-2=1, ? ? ?m +3m+2≠0, 2 2 解得 m=3.即当 m=3 时,z 是纯 3.对纯虚数的概念把握不准 [典例] (上海高考)设 m∈R,m +m-2+(m -1)i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则 m =________. [解析] 复数 m +m-2+(m -1)i 是纯虚数的充要条件是 ? ?m +m-2=0, ? 2 ?m -1≠0, ? 2 2 2 2 2 2 解得? ? ?m=1或m=-2, ?m≠±1, ? 2 即 m=-2. 故 m=-2 时,m +m-2+(m -1)i 是纯虚数. [答案] -2 [易错防范] 1.若忽视“纯虚数的虚部不为 0”这一条件,易得出 m=1 或-2 的错误结论. 2.复数 z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数的充要条

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