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空间向量的应用-证明平行与垂直_图文

1.利用向量的知识判定线面平行的方法 a与b不重合? ? ??a∥b (1)直线与直线平行的判定方法: ? a=λb ?

(2)直线与平面平行的判定方法:

①如果平面α外的直线a的方向向量为a,平面α的法向量为
n,则

a·n=0?a∥α .
②如果平面 α 外的直线 a 的方向向量为 a , e1 、 e2 是平面 α 的

一组基底(不共线的向量),则
a= λ1e1+λ2e2?a∥α .

(3)平面与平面平行的判定方法;

①α,β是两个不重合的两个平面,m,n是平面α的一组基
向量, m∥β,n∥β?α∥β ②如果不重合的平面α和平面β的法向量分别为n1和n2,则 . n1=λn2?α∥β ③设两个不重合的平面 α、β,若平面α的法向量为n,则 . n⊥β?α∥β

2.利用向量的知识判定线面垂直的方法

(1) 直线与直线垂直的判定方法:如果不重合的直线 a 和直
线b的方向向量分别为a和b,则

a·b=0?a⊥b .
(2)直线与平面垂直的判定方法:

①如果直线a的方向向量为a,平面α的法向量为n,则
a=λn?a⊥α .

②如果直线a的方向向量为a,e1、e2是平面α的一组基底(不

共线的向量),则
a·e1=0且a·e2=0?a⊥α .

(3)平面与平面垂直的判定方法: ①如果不重合的平面α和平面β的法向量分别为n1和n2,则 .

n1·n2=0?α⊥β ②设平面 α的法向量为n,e1、e2是平面β的一组基底(不共线
的向量),则 . n=λ1e1+λ2e2?α⊥β

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1.在空间直角坐标系o-xyz中,过点E(-2,1,-2)且与平
面xoz平行的直线l交平面yoz于点P,则点P的坐标为( )

A.(0,1,-2)
C.(-2,1,0)

B.(-2,0,-2)
D.(-4,0,-1)

[解析]

过点E且平面xoz平行的直线交平面yoz于点P,则P

的横坐标为0,纵坐标与竖坐标与E点相同. [答案] A

1 2.设 a=(1,- ,-1),b=(8,-4,-8)分别是平面 2 α1、α2 的法向量,则这两平面的位置关系是________.

[解析] b=8a,a∥b,故α1∥α2 [答案] 平等

3.棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,建立如图 空间直角坐标系,回答下列问题: (1)平面 ABCD 的法向量为________. (2)直线 AC1 的方向向量为________. (3)已知不在平面 CDD1C1 内的直线 l, 它的方向向量为 a 1 =(0, , 2), 则直线 l 与平面 CDD1C1 的位置关系为________. 2

[解]

(1)这是道开放题,n=(0,0,1)还有其它答案


(2)a=(2,2,2)与AC (1,1,1)共线均可 (3)平面CDD1C1的一个法向量为AD=(1,0,0) ∵AD· a=0,故直线l与平面CDD1C1平行
→ →

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别 是C1C、B1C1的中点.求证MN∥平面A1BD.

[分析] (1)可以建立空间直角坐标系, 用向量坐标法来解决. (2)可以用共线向量或共面向量证明.

[证明]

方法一:如图所示,以D为原点,DA、DC、

DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为1,则可求得 1 1 M(0,1, 2 ),N( 2 ,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0), 1 1 于是MN=( ,0, ), 2 2


DA1=(1,0,1),DB=(1,1,0). 设平面A1BD的法向量是 n=(x,y,z).





则 n· DA1=0,且 n· DB=0,
? ?x+z=0, 得? ? ?x+y=0.





取 x=1,得 y=-1,z=-1. ∴n=(1,-1,-1). 1 1 又MN· n=(2,0,2)· (1,-1,-1)=0,


∴MN⊥n, 又∵MN?平面 A1BD,∴MN∥平面 A1BD.



1 → 1 → 方法二:∵MN=C1N-C1M=2C1B1-2C1C
→ → → → 1 → 1 → =2(D1A1-D1D)=2DA1,

∴MN∥DA1,又∵MN?平面 A1BD. ∴MN∥平面 A1BD.
[点评与警示] 证明线面平行可以用几何法,也可以用向 量法.用向量法的关键在于构造向量并用共线向量定理或共面





向量定理.若能建立空间直角坐标系,其证法更为灵活方便.

(人教A版选修2-1,P118例4改编)

如图1所示,在四棱

锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD ,
PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.

证明:PA∥平面EDB.

[证明] 方法一:如图2所示,连接AC,AC交BD于O.

连接EO.
因为底面ABCD是正方形,所以点O是AC的中点.

在△PAC中,EO是中位线,所以PA∥EO.
而EO?平面EDB,且PA?平面EDB.

所以,PA∥平面EDB.

方法二:以D为坐标原点建立如图3所示的空间直角坐 标系.设DC=a. 连接AC,AC交BD于G.连接EC. a a 依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,2,2). 因为底面ABCD是正方形,G是此正方形的中心. a a 故点G的坐标为(2,2,0). 且PA=(a,0,-a),


a a EG=(2,0,-2).


因为 PA =2 EG .所以PA∥EG.而EG 平面EDB. 所以PA∥平面EDB.





平面EDB,且PA?

如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱
PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.

证明:PA∥平面EDB.

[证明] 如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点,设

DC=a.

连接 AC,AC 交 BD 于 G,连接 EG,依题意得 A(a,0,0), a a P(0,0,a),E(0,2,2).

∵底面ABCD是正方形,∴G是此正方形的中心,故点 a a G的坐标为(2,2,0). a a ∴PA=(a,0,-a),EG=(2,0,-2).
→ →

∴PA=2EG.这表明PA∥EG. 而EG?平面EDB且PA?平面EDB, ∴PA∥平面EDB.





如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 、 F 分别是

BB1、CD的中点.
(1)证明AD⊥D1F;

(2)求AE与D1F所成的角;
(3)证明面AED⊥面A1FD1.

[解] 以点D为原点建立如图的空间直角坐标系,设正 方体的棱长为2,则有D(0,0,0),A(2,0,0),D1(0,0,2), E(2,2,1),F(0,1,0).
→ → 所以AD=(-2,0,0),D1F=(0,1,-2),AE=(0,2,1). → → → (1)因为AD· D1F=0,所以AD⊥D1F,即AD⊥D1F. → (2)因为AE· D1F=0,所以AE与D1F所成的角为90° . → → →

(3) 由 (1) 知 AD⊥D1F ,由 (2) 知 AE⊥D1F ,又 AD∩AE = A ,
所以D1F⊥面AED.

又因为D1F?面A1FD1,所以面AED⊥面A1FD1.
[点评与警示 ] 用空间坐标运算证明 “ 面面垂直 ” ,一般

先求出其中一个平面的一个法向量,然后证明它垂直于另一个
平面的法向量.因为本例有(1)、(2)作铺垫,所以直接利用其结 果便可.

在正方形 ABCD - A1B1C1D1 中, E 、 F 分别是 BB1 、 CD 的中
点.

(1)求证:平面AED⊥平面A1FD1;
(2)在AE上求一点M,使得A1M⊥平面ADE.

(1)[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,
不妨设正方体的棱长为2,则 A(2,0,0),E(2,2,1), F(0,1,0),A1(2,0,2),

D1(0,0,2), 设平面AED的法向量为 n1=(x1,y1,z1), 则n1· DA=(x1,y1,z1)· (2,0,0)=0, n1· DE=(x1,y1,z1)· (2,2,1)=0, ∴2x1=0,2x1+2y1+z1=0. 令y1=1,得n1=(0,1,-2), 同理可得平面A1FD1的法向量n2=(0,2,1). ∵n1· n2=0,∴n1⊥n2,∴平面AED⊥平面A1FD1.
→ →

(2)[解]


由于点M在直线AE上,


设AM=λAE=λ(0,2,1)=(0,2λ,λ).
→ 可得M(2,2λ,λ),∴A1M=(0,2λ,λ-2),

∵AD⊥A1M,∴要使A1M⊥平面ADE,只需A1M⊥AE,
→ → ∴A1M· AE=(0,2λ,λ-2)· (0,2,1)=5λ-2=0, → 2 2→ 解得λ= .故当AM= AE时,A1M⊥平面ADE. 5 5

如图所示,已知四棱锥 P - ABCD 的底面是直角梯形,

∠ ABC = ∠ BCD = 90° , AB = BC = PB = PC = 2CD , 侧 面
PBC⊥底面ABCD.证明: (1)PA⊥BD; (2)平面PAD⊥平面PAB. [分析 ] 空间中各元素的位置关系和数量关系的核心是线

与线的关系,线与线的关系完全可以用数量关系来表示,从而 为向量在立体几何中的应用奠定了坚实的基础.考虑到平面

PBC⊥平面ABCD及PC=PB,故可取BC的中点O为原点,OP为
z轴,OB为x轴.

[证明] (1)取BC的中点O,

∵平面PBC⊥平面ABCD,△PBC为等边三角形,
∴PO⊥底面ABCD.

以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与
AB平行的直线为y轴,如图所示,建立空间直角坐标系.

不妨设 CD=1,则 AB=BC=2,PO= 3. ∴A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0, 3). ∴BD=(-2,-1,0),PA=(1,-2,- 3). ∵BD· PA=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(- 3)=0. ∴PA⊥BD,∴PA⊥BD.
→ → → → → →

1 3 (2)取PA的中点M,连接DM,则M(2,-1, 2 ). → → 3 3 ∵DM=(2,0, 2 ),PB=(1,0,- 3), → → 3 3 ∴DM· PA= × 1+0× (-2)+ × (- 3)=0, 2 2 ∴DM⊥PA,即DM⊥PA. 3 3 又DM· PB= × 1+0× 0+ × (- 3)=0, 2 2
→ → → → →

∴DM⊥PB,即DM⊥PB. 又∵PA∩PB=P,∴DM⊥平面PAB, ∵DM? 平面PAD.∴平面PAD⊥平面PAB.



[点评与警示] 用向量的方法解决垂直问题即几何问题代

数化,这种方法降低了思维的抽象性,使很多思维量较大的证
明与计算简单化,突出了向量方法的优点.

1.用向量解决立体几何问题时,首先要选择恰当的基 向量,然后将立体几何中的平行、垂直、距离等问题转化为 向量的运算, ①证明线线平行就利用 a∥b(b≠0)?a=λb; ② 证明线线垂直,就利用 a⊥b?a· b=0;③在求立体几何中线 段的长度时,就利用|a|2=a2 来求;④求角度时就用 cosθ= a· b . |a||b|

2.运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题时,一般

步骤为:①建立恰当的空间直角坐标系;②求出相关点的坐标;
③写出向量的坐标;④向量计算;⑤转化为几何结论.