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扬州市2016—2017学年度高二第一学期期末调研测试试卷(含答案)


扬州市 2016—2017 学年度第一学期期末调研测试试题
高 二 数 学
2017.1 (全卷满分 160 分,考试时间 120 分钟) 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位 置上) 1.命题“ ?x ? 0 , x ? x ? 1 ”的否定为 ▲ . ▲ .

2.根据如图所示的伪代码,最后输出的 S 的值为

(第 2 题) 好落在阴影部分内的概率为 ▲

(第 3 题) .

(第 5 题)

3.如图,四边形 ABCD 是一个 5× 4 的方格纸,向此四边形内抛撒一粒小豆子,则小豆子恰

4.抛物线 y 2 ? 4 x 上横坐标为 3 的点 P 到焦点 F 的距离为_____▲____. 5.将参加环保知识竞赛的学生成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示,则图中 a 的值 为 ▲ . ▲ .

1 6.函数 f ( x) ? x2 ? 的图象在 x ? 1 处的切线方程为 x
7.若双曲线

x2 ? y 2 ? 1(m ? 0) 的一条渐近线方程为 x ? 3 y ? 0 ,则 m ? 2 m





8. “ a ? 3 ”是“直线 2 x ? ay ? 1 ? 0 和直线 (a ? 1) x ? 3 y ? 2 ? 0 平行”的 要”,“充分不必要”,“必要不充分”,“既不充分也不必要”)



条件. (填“充

? xe x ( x ? 0) 9.已知函数 f ( x) ? ? ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 3 个零点,则 m 的取值范围 ??2 x( x ? 0)






数学试题第 1 页(共 8 页)

10.圆心在 x 轴上且与直线 l:y = 2x+1 切于点 P(0,1) 错误!未找到引用源。的圆 C 的标准 方程为 ▲ .

11.函数 f ( x) 的定义域为 R,且 f (?3) ? 1 , f ?( x) ? 2 ,则不等式 f ( x) ? 2 x ? 7 的解集 为 ▲ .

12.若直线 y ? kx ? 2 与圆 x2 ? y 2 ? 1 没有 公共点,则此直线倾斜角 ? 的取值范围 .. 是 ▲ .

a 13.已知函数 f ( x) ? ?3x 2 ? ax ? ( a ? 0 ). 若存在 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 成立,则 a 的最小 x 值为 ▲ .

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F,过 F 的直 a 2 b2 线交椭圆于 A, B 两点,点 C 是点 A 关于原点 O 的对称点,若
14.如图,椭圆
CF ? AB 且 CF ? AB ,则椭圆的离心率为





二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内 作答,解答时应写出文 ........ 字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分)

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线. m?2 m?2 (1) 若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围;
已知命题 p : ?x ? R, x 2 ? 1 ? m ;命题 q :方程 (2) 若命题“ p ? q ”为真命题,“ p ? q ”为假命题,求实数 m 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 某学校为了解学生的学习、生活等情况,决定召开一次学生座谈会. 此学校各年级人数 情况如下表:
年 性 别 级

高一年级 520 x

高二年级 y 610

高三年级 400 600

男 女

(1) 若按年级用分层抽样的方法抽取 n 个人,其中高二年级 22 人,高三年级 20 人,再 从这 n 个人中随机抽取出 1 人,此人为高三年级的概率为
10 ,求 x、y 的值. 33

(2) 若按性别用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为 5 的样本,从这 5 人中任取 2 人,求至少有 1 人是男生的概率.

数学试题第 2 页(共 8 页)

17. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E : 为 A ,上、下顶点分别为 B, C . (1) 若直线 BF 经过 AC 中点 M,求椭圆 E 的标准方程; (2) 若直线 BF 的斜率为 1, BF 与椭圆的另一交点为 D,求点 D 到椭圆 E 右准线的距 离.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F (?1,0) ,左顶点 a 2 b2

18. (本小题满分 16 分) 某公园内直线道路旁有一半径为 10 米的半圆形荒地(圆心 O 在道路上,AB 为直径) , 现要在荒地的基础上改造出一处景观.在半圆上取一点 C,道路上 B 点的右边取一点 D,使 OC 垂直于 CD,且 OD 的长不超过 20 米.在扇形区域 AOC 内种植花卉,三角形区域 OCD 内铺设草皮.已知种植花卉的费用每平方米为 200 元,铺设草皮的费用每平方米为 100 元. (1) 设 ?COD ? x (单位:弧度) ,将总费用 y 表示为 x 的函数式,并指出 x 的取值范围; (2) 当 x 为何值时,总费用最低?并求出最低费用.
C

A

O

B

D

(第 18 题)

数学试题第 3 页(共 8 页)

19. (本小题满分 16 分) 若圆 C : x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的半径为 r,圆心 C 到直线 l : Dx ? Ey ? F ? 0 的距离 为 d ,其中 D 2 ? E 2 ? F 2 ,且 F ? 0 . (1) 求 F 的取值范围; (2) 求 d 2 ? r 2 的值; (3) 是否存在定圆 M 既与直线 l 相切又与圆 C 相离?若存在,请写出定圆 M 的方程, 并给出证明;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) , g ( x) ? e x ,其中 e 为自然对数的底数. (1) 当 a ? 1 时,求函数 y ? f ( x) 的单调区间; (2) 求函数 y ? f ( x) 在区间 [1, e] 上的值域; (3) 若 a ? 0 ,过原点分别作曲线 y ? f ( x) 、 y ? g ( x) 的切线 l1 、 l2 ,且两切线的斜率互 为倒数,求证:

e ?1 e2 ? 1 . ?a? e e

数学试题第 4 页(共 8 页)

2016—2017 学年度第一学期高二数学期末试卷 参 考 答 案
一、填空题 1. ?x ? 0 , x ? x ? 1 5. 0.028 9. (?
1 ,0) e

2017. 1

2.15 6. y ? x ? 1 10.

3. 7.

1 5

4. 4

3

8. 充分不必要 11.

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 5
6? 3

(??, ?3)

12. ?0,

? ?

? ? ? 3?

? ? ? ? , ? ? 13. 16 4? ? 4 ?

14.

二、解答题 15⑴对于任意 x ? R, x2 ? 1 ? 1 , ⑵若命题 q 为真命题,则 (m ? 2)(m ? 2) ? 0 ,所以 ?2 ? m ? 2 ,

m ? 1; 若命题 p 为真命题,则 (x2 ? 1 ) min ? m ,所以

……5 分 ……8 分

因为命题 " p ? q " 为真命题,则 p, q 至少有一个真命题, " p ? q " 为假命题, 则 p, q 至少有一个假命题,所以 p, q 一个为真命题,一个为假命题. ……10 分

?m ? 1 ,则 m ? ?2 , ?m ? ?2或m ? 2 ?m ? 1 当命题 p 为假命题,命题 q 为真命题时, ? ,则 1 ? m ? 2 , ??2 ? m ? 2 综上, m ? ?2或1 ? m ? 2 . ……14 分
当命题 p 为真命题,命题 q 为假命题时, ?
20 10 ……2 分 ? ,解得 n ? 66 . n 33 所以高一年级被抽取的人数为 66?22?20 ? 24. 20 24 22 ? ? 所以 ,解得 x ? 680 , y ? 490 . ……6 分 1000 520 ? x y ? 610 ⑵若用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为 5 的样本, m 400 设抽取男生的人数为 m,则 ? ,解得 m ? 2 , 5 600 ? 400 所以应抽取男生 2 人,女生 3 人,分别记作 A1 、 A2 ; B1 、 B2 、 B3 . ……8 分 方法一:记“从中任取 2 人,至少有 1 人是男生”为事件 A. 从中任取 2 人的所有基本事件共 10 个: (A1,A2) , (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,B3) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A2,B3) , (B1,B2) , (B1,B3) , (B2,B3). 其中至少有 1 人为男生的基本事件有 7 个: (A1,A2) , (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,B3) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A2,B3). 7 所以从中从中任取 2 人,至少有 1 人是男生的概率为 . ……13 分 10 方法二:记“从中任取 2 人,至少有 1 人是男生”为事件 A,则 A 表示“从中任取 2 人, 全是女生”,全是女生的基本事件有 3 个: (B1,B2) , (B1,B3) , (B2,B3). 3 7 所以 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? ? . 10 10 答:至少有 1 人是男生的概率 7 . ……14 分

16⑴依题意得:

10

数学试题第 5 页(共 8 页)

17⑴由题意, A(?a,0), B(0, b), C(0, ?b) , 又 F (?1, 0) ,所以 c ? 1 ,直线 BF : y ? bx ? b . ……2 分

a b ,? ), 2 2 代入直线 BF y ? bx ? b ,则 a ? 3 ,.
M 为 AC 的中点,所以 M ( ? 由 a ? b ? c ? b ? 1 ,所以 b ? 8, a ? 9 ,
2 2 2 2

……4 分
2

2

所以椭圆 E 的标准方程是

x2 y 2 ? ? 1. 9 8

……6 分

⑵因为直线 BF 的斜率为 1 ,则 b ? c ? 1, a ?

2 ,所以椭圆 M :

x2 ? y 2 ? 1 , ……8 分 2

? x2 ? ? y2 ? 1 又直线 BF : y ? x ? 1 ,则 ? 2 , ? y ? x ?1 ? 4 解得 x ? 0 (舍) ,或 x ? ? , 3
因为右准线的方程为 x ? 2 , 所以点 D 到右准线的距离为 2 ?
4 10 . ? 3 3

……11 分

……14 分

18⑴因为扇形 AOC 的半径为 10 m, ?AOC ? ? ? x ( rad ) , 所以扇形 AOC 的面积 S扇AOC ?

(? ? x) ?102 ? =50(? ? x) , 0 ? x ? . 3 2

……3 分

在 Rt△COD 中,OC=10,CD=10 tan x , 1 所以△COD 的面积 S△COD= · OC· CD= 50 tan x . 2 从而 y =100S△COD+200S 扇形 AOC= 5000(tan x ? 2? ? 2 x) , 0 ? x ? (注:没有 x 的范围,扣 1 分) ⑵设 f ( x) ? tan x ? 2? ? 2 x, 0 ? x ?
2 2

……5 分

?
3



……8 分

?

3 cos x ? sin x 1 ? 2cos 2x ? f ?( x) ? ? 2 ? ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? , 2 2 4 cos x cos x

,则 f ( x) ?

sin x ? 2? ? 2 x , cos x

……11 分

从而当 0 ? x ?

?

4

时, f ?( x) ? 0 ;当

?

因此 f ( x ) 在区间 (0,

) 上单调递减;在区间 ( , ) 上单调递增. 4 3 4 ? ? ? 3? 当 x ? 时, f ( x ) 取得最小值, f ( ) ? 1 ? 2? ? ? 1 ? . 4 4 2 2 所以 y 的最小值为 (5000? 7500 ? ) 元.

?

4

?x?

?

3

, f / ( x) ? 0 .

? ?

……14 分 ……15 分 ……16 分

答:当 x ?

?
4

时,改造景观的费用最低,最低费用为 (5000? 7500 ? ) 元.

数学试题第 6 页(共 8 页)

19⑴因为 D 2 ? E 2 ? 4 F ,又 D 2 ? E 2 ? F 2 ,且 F ? 0 , 所以 F 2 ? 4 F , 且 F ? 0 ,解得 F ? 4 ;
2 2 2 ⑵易得圆 C 的圆心 C ? D , ? E ,半径 r ? D ? E ? 4F ? F ? 4F , 2 2 2 2 D E D? ? ? E? ? ?F 2 2 圆心 C 到直线 l 的距离 d ? ? F ?2 , 2 2 2 D ?E

……3 分

?

?

? ?
2

? ?

所以 d 2 ? r 2 ? F ? 2 ? 2

2

?

F 2 ? 4F 2

? ?1 ;
F D ?E
2 2

……8 分 ……10 分

⑶存在定圆 M : x2 ? y 2 ? 1 满足题意,下证之: 1° 因为 M(0,0)到直线 l 的距离为 2° 因为 CM ?
2 2

? 1 ? R ,所以圆 M 与直线 l 相切;
2

而F ? 2 故 CM ? R ? 1 ,所以圆 M 与圆 C 相离.

? 0 ? E ? ? F ,且 R ? 1 ? F ? 4F ? 1 , ?0 ? D 2? ? 2 2 2 F ? 4 F ? 1 ? F ? 1 ? F ? 4F ? 4 ? 0 , ?2 ? 4 2
2 2 2

由 1° 、2° 得,存在定圆 M : x2 ? y 2 ? 1 满足题意.

……16 分

20⑴当 a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? x ? 1,定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?

1 1? x ?1 ? . x x 令 f ?( x) ? 0 ,得增区间为 (0,1) ;令 f ?( x) ? 0 ,得减区间为 (1, ??) . ……2 分 1 ? ax ⑵ f ?( x ) ? . x 1 当 a ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 [1, e] 上为增函数,故 f (1) ? f ( x) ? f (e) , e 从而 f ( x ) 的值域为 [0,1 ? a ? ae] ; 当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 [1, e] 上为减函数,故 f (e) ? f ( x) ? f (1) , 从而 f ( x ) 的值域为 [1 ? a ? ae,0] ; 1 1 1 当 ? a ? 1 时, x ? (1, ) 时 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 递增;x ? ( , e) 时 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 递减 e a a 1 故 f ( x ) 的最大值为 f ( ) ? ? ln a ? 1 ? a ;最小值为 f (1) 与 f (e) 中更小的一个, a 1 1 当 ?a? 时 f (e) ? f (1) ,最小值为 f (1) ? 0 ; e e ?1 1 ? a ? 1 时, f (e) ? f (1) ,最小值为 f (e) ? 1 ? a ? ae . 当 e ?1 1 综上所述,当 a ? 时,值域为 [0,1 ? a ? ae] ; e 1 1 当 ?a? 时,值域为 [0, ? ln a ? 1 ? a] ; e e ?1 1 ? a ? 1 时,值域为 [1 ? a ? ae, ? ln a ? 1 ? a] ; 当 e ?1 当 a ? 1 时,值域为 [1 ? a ? ae,0] . ……8 分
数学试题第 7 页(共 8 页)

⑶设切线 l2 对应切点为 ( x0 , ex0 ) ,切线方程为 y ? ex0 ? ex0 ( x ? x0 ) , 将 (0, 0) 代入,解得 x0 ? 1 , k2 ? ex0 ? e ,从而 k1 ?

1 . e

设 l1 与曲线 y ? f ( x) 的切点为 ( x1 ,ln x1 ? a( x1 ?1)) ,k1 ? 切线 l1 方程为 y ? ln x1 ? a ( x1 ? 1) ? 将①代入②,得 ln x1 ? 1 ? 令 m( x) ? ln x ? 1 ?

1 ( x ? x1 ) , 将0 ( 0 ,) e

1 1 1 1 得a ? ? ① ?a ? , x1 e x1 e x 代入, 得 ln x1 ? a ( x1 ? 1) ? 1 ② e

1 1 ? ? 0. x1 e

1 1 x ?1 ? ,则 m?( x) ? 2 , x e x m( x) 在区间 (0,1) 上单调递减,在区间 (1, ??) 上单调递增. 1 1 1 1 若 x1 ? (0,1) ,由 m( ) ? ?2 ? e ? ? 0 , m(1) ? ? ? 0 ,则 x1 ? ( ,1) . e e e e 2 e ?1 e ?1 1 1 1 ?a? 而 a ? ? 在 ( ,1) 上单调递减,故 ; e e e x1 e
所以 a ?

若 x1 ? (1, ??) ,因 m( x) 在 区间 (1, ??) 上单调增,且 m(e) ? 0 ,

1 1 ? ? 0 ,与题设 a ? 0 矛盾,故不可能. x1 e
……16 分

e ?1 e2 ? 1 ?a? 综上所述, . e e

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