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2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)-文科数学解析版

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽 卷) 数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ卷第 3 至第 4 页.全卷满分 150 分,考试 时间 120 分钟. 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号 ,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、 座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位. 2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂 其他答案标号. 3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在 .... 答题卡 规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题 ... .. 区域书写的答案无效 , 在试题卷、草稿纸上答题无效 . ......... . ............. 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.
1.(2013 安徽,文 1)设 i 是虚数单位,若复数 a-(a∈R)是纯虚数,则 a 的值为( A.-3 C.1 答案:D B.-1 D.3 ).

解析:由已知,得 a-=a-=a-=a-3-i, ∵复数 a-为纯虚数,∴a-3=0,即 a=3. 2.(2013 安徽,文 2)已知 A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(?RA)∩B=( A.{-2,-1} B.{-2} C.{-1,0,1} D.{0,1} 答案:A 解析:∵A={x|x>-1},∴?RA={x|x≤-1}, ∴(?RA)∩B={-2,-1}. 3.(2013 安徽,文 3)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果为( ). ).

A. 答案:C

B.

C.

D.

解析:开始,2<8,s=0+,n=2+2=4; 返回,4<8,s=,n=4+2=6; 1

返回,6<8,s=,n=6+2=8; 返回,8<8 不成立,输出 s=. 4.(2013 安徽,文 4)“(2x-1)x=0”是“x=0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:由(2x-1)x=0,得 x=或 x=0. 故(2x-1)x=0 是 x=0 的必要不充分条件. 5.(2013 安徽,文 5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙 被录用的概率为( ). A. B. C. D. 答案:D 解析:五人录用三人共有 10 种不同方式,分别为:{丙,丁,戊},{乙,丁,戊},{乙,丙,戊},{乙,丙,丁},{甲,丁,戊},{甲,丙,戊},{甲, 丙,丁},{甲,乙,戊},{甲,乙,丁},{甲,乙,丙}. 其中含甲或乙的情况有 9 种,故选 D. 6.(2013 安徽,文 6)直线 x+2y-5+=0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长为( A.1 B.2 C.4 答案:C 解析:由圆的一般方程可化为圆的标准方程: (x-1)2+(y-2)2=5,可知圆心坐标为(1,2),半径为, 圆心到直线的距离为=1, 由勾股定理可得弦长一半为=2. 故弦长为 4. 7.(2013 安徽,文 7)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S8=4a3,a7=-2,则 a9=( A.-6 答案:A B.-4 C.-2 D.2 ). D.4 ). ).

解析:由 S8=4a3 知:a1+a8=a3,a8=a3-a1=2d=a7+d,所以 a7=d=-2.所以 a9=a7+2d=-2-4=-6.

8.(2013 安徽,文 8)函数 y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到 n(n≥2)个不同的数 x1,x2,…,xn,使得=…=,则 n 的取 值范围为( ). A.{2,3} 答案:B ②为 n=3,曲线③为 n=4. B.{2,3,4} C.{3,4} D.{3,4,5}

解析:=…=可化为=…=,所以可以理解为图象上一点与坐标原点确定的斜率相等.由数形结合可得:曲线①为 n=2,曲线

9.(2013 安徽,文 9)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c=2a,3sin A=5sin B,则角 C=( A. 答案:B 解析:∵3sin A=5sin B, ∴3a=5b. ① B. C. D.

).

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又 b+c=2a, ∴cos C= =-. ∴C=π.



∴由①②可得,a=b,c=b,

10.(2013 安徽,文 10)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1,x2.若 f(x1)=x1<x2,则关于 x 的方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的不同实根个数为( ). A.3 B.4 C.5 D.6

答案:A 解析:由 f'(x)=3x2+2ax+b=0,得 x=x1 或 x=x2, 即 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的根为 f(x)=x1 或 f(x)=x2 的解,由题可知 f(x)的草图为:

由数形结合及 x1<x2 可知满足 f(x)=x1 的解有 2 个,满足 f(x)=x2 的解仅有 1 个,因此 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的不同实 数根个数为 3.

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
考生注意事项:
请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 作答,在试题卷上答题无效 . ..... .........

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.
11.(2013 安徽,文 11)函数 y=ln 的定义域为 答案:(0,1] 解析:由? 0<x≤1. ∴该函数的定义域为(0,1]. 12.(2013 安徽,文 12)若非负变量 x,y 满足约束条件则 x+y 的最大值为 答案:4 . .

解析:约束条件表示的可行域如图阴影部分.由线性规划知识得最优解为(4,0),令 z=x+y,则 zmax=4+0=4.

13.(2013 安徽,文 13)若非零向量 a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则 a 与 b 夹角的余弦值为 答案:解析:∵|a|=3|b|=|a+2b|, ∴|a|2=9|b|2=|a|2+4|b|2+4a·b, ∴a·b=-|b|2,

.

∴cos<a,b>==-. 14.(2013 安徽,文 14)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x).若当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0 时,f(x)= 答案:-x(x+1) .

解析:∵-1≤x≤0,∴0≤x+1≤1, ∴f(x)=f(x+1)=(x+1)[1-(x+1)] =-x(x+1).

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15.(2013 安徽,文 15)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的 平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是 ①当 0<CQ<时,S 为四边形 ②当 CQ=时,S 为等腰梯形 ③当 CQ=时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= ④当<CQ<1 时,S 为六边形 ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 答案:①②③⑤ 解析:当 CQ=时,D1Q2=D1+C1Q2,AP2=AB2+BP2,所以 D1Q=AP.又因为 AD1∥PQ,AD1=2PQ,所以②正确;当 0<CQ<时,截 面为 APQM,所以为四边形,故①也正确,如图①所示. (写出所有正确命题的编号).

图① 如图②,当 CQ=时,由△QCN∽△QC1R 得 ,即,C1R=,故③正确.

图② 如图③所示,当 CQ=1 时,截面为 APC1E. 可知 AC1=,EP=且 APC1E 为菱形, ,故⑤正确. 当<CQ<1 时,截面为五边形 APQMF. 所以④错误.

图③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡 上的指定区域内.
16.(2013 安徽,文 16)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=sin x+sin. (1)求 f(x)的最小值,并求使 f(x)取得最小值的 x 的集合; (2)不画图,说明函数 y=f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变化得到. 解:(1)因为 f(x)=sin x+sin x+cos x

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=sin x+cos x=sin. 所以当 x+=2kπ-,即 x=2kπ-(k∈Z)时,f(x)取最小值-. 此时 x 的取值集合为. (2)先将 y=sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),得 y=sin x 的图象;再将 y=sin x 的图象上 所有的点向左平移个单位,得 y=f(x)的图象. 17.(2013 安徽,文 17)(本小题满分 12 分)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从 这两校中各抽取 30 名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如下:

(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计甲校高三年级这次联考数学成 绩的及格率(60 分及 60 分以上为及格); (2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为,估计的值. 解:(1)设甲校高三年级学生总人数为 n.由题意知,=0.05,即 n=600. 样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为 5.据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为 1-. (2)设甲、乙两校样本平均数分别为'1,'2.根据样本茎叶图可知, 30('1-'2)=30'1-30'2 =(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92 =2+49-53-77+2+92 =15. 因此'1-'2=0.5.故的估计值为 0.5 分.

18.(2013 安徽,文 18)(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60° .已知 PB=PD=2,PA=. (1)证明:PC⊥BD; (2)若 E 为 PA 的中点,求三棱锥 P-BCE 的体积. (1)证明:连接 AC,交 BD 于 O 点,连接 PO. 因为底面 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD,BO=DO. 由 PB=PD 知,PO⊥BD.再由 PO∩AC=O 知,BD⊥面 APC,因此 BD⊥PC. (2)解:因为 E 是 PA 的中点,所以. 由 PB=PD=AB=AD=2 知,△ABD≌△PBD. 因为∠BAD=60° , 所以 PO=AO=,AC=2,BO=1. 又 PA=,PO2+AO2=PA2,即 PO⊥AC, 故 S△APC=PO·AC=3. 由(1)知,BO⊥面 APC,因此··BO·S△APC=.

19.(2013 安徽,文 19)(本小题满分 13 分)设数列{an}满足 a1=2,a2+a4=8,且对任意 n∈N*,函数 f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cos x-aa+2sin x 满足 f'=0. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=2,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 5

解:(1)由题设可得,f'(x)=an-an+1+an+2-an+1sin x-an+2cos x.对任意 n∈N*, f'=an-an+1+an+2-an+1=0,即 an+1-an=an+2-an+1,故{an}为等差数列. 由 a1=2,a2+a4=8,解得{an}的公差 d=1,所以 an=2+1·(n-1)=n+1. (2)由 bn=2=2=2n++2 知, Sn=b1+b2+…+bn=2n+2·=n2+3n+1-. 20.(2013 安徽,文 20)(本小题满分 13 分)设函数 f(x)=ax-(1+a2)x2,其中 a>0,区间 I={x|f(x)>0}. (1)求 I 的长度(注:区间(α,β)的长度定义为 β-α); (2)给定常数 k∈(0,1),当 1-k≤a≤1+k 时,求 I 长度的最小值. 解:(1)因为方程 ax-(1+a2)x2=0(a>0)有两个实根 x1=0,x2=,故 f(x)>0 的解集为{x|x1<x<x2},因此区间 I=,区间长度为. (2)设 d(a)=,则 d'(a)=, 令 d'(a)=0,得 a=1.由于 0<k<1,故 当 1-k≤a<1 时,d'(a)>0,d(a)单调递增; 当 1<a≤1+k 时,d'(a)<0,d(a)单调递减. 因此当 1-k≤a≤1+k 时,d(a)的最小值必定在 a=1-k 或 a=1+k 处取得. 而<1, 故 d(1-k)<d(1+k). 因此当 a=1-k 时,d(a)在区间[1-k,1+k]上取得最小值. 21.(2013 安徽,文 21)(本小题满分 13 分)已知椭圆 C:=1(a>b>0)的焦距为 4,且过点 P(). (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆 C 上一点.过点 Q 作 x 轴的垂线,垂足为 E.取点 A(0,2),连接 AE.过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D.点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,作直线 QG.问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点?并 说明理由. 解:(1)因为焦距为 4,所以 a2-b2=4.又因为椭圆 C 过点 P(),所以=1,故 a2=8,b2=4,从而椭圆 C 的方程为=1. (2)由题意,E 点坐标为(x0,0).设 D(xD,0),则=(x0,-2),=(xD,-2). 再由 AD⊥AE 知,·=0,即 xDx0+8=0. 由于 x0y0≠0,故 xD=-. 因为点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,所以点 G. 故直线 QG 的斜率 kQG=. 又因 Q(x0,y0)在椭圆 C 上,所以 +2=8.① 从而 kQG=-. 故直线 QG 的方程为 y=-.② 将②代入椭圆 C 方程,得 (+2)x2-16x0x+64-16=0.③ 再将①代入③,化简得 x2-2x0x+=0. 解得 x=x0,y=y0,即直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公共点.

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