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《对数与对数运算(第一课时)》教学设计


教案: (作:数应 3 班向世威)
《对数与对数运算(第一课时) 》教学设计

所用教材:数学必修(一) 目次:人民出版社,2007 年 1 月,第 2 版第 4 次印刷

1 教材分析
1.1 内容与内容解析
《对数函数》 是普通高中数学人教 A 版必修 1 第二章对数函数内容的第一课时, 本节讲对数 的概念和运算性质主要是为后面学习对数函数的图像性质作准备。 对数概念是在指数概念的 基础上定义的,是继研究指数函数之后的另一种重要基本函数,它是在指数函数的基础上, 对函数类型的拓广,同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用。

1.2 地位与作用解析
通过本节课的学习, 可以让学生理解对数的概念, 从而进一步深化对对数模型的认识与 理解,为学习对数函数作好准备。同时,通过对数概念的学习,对培养学生对立统一,相互 联系、相互转化的思想,培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。

2 学情分析
学生在前面的课程中已学习了函数的基本概念、 图像及其基本性质, 在第二章又进一步 学习了指数函数及其运算、图像和性质,特别是指数与指数幂的运算的学习,学生已多次体 会了对立统一、相互联系、相互转化的思想,并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻 炼。因此,学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础,本节课我利用多媒体辅助

教学,教学中我引导学生从实例出发,从中认识对数的模型,体会引入对数的必 要性, 教会学生独立思考、 大胆探索和灵活运用类比、 转化、 归纳等数学思想的学习方法。

3 教学目标
1.能初步判别具体函数是否为对数函数, 了解对数的概念并能用语言刻画, 以及对数与指数 的关系;通过观察、分析掌握指数式与对数式的互化;

2. (经历观察、分析、猜想、验证、证明、概括等数学活动) ,通过实例使学生认识对数的 模型,体会引入对数的必要性;通过探究理解对数的性质。领悟从()的思想方法 3.感知对数的重要性,从“发现”中体验成功,进一步提高学习和探索的兴趣。同时培养严 谨的思维品质和探究意识;

4 教学重难点
重点:对数函数概念的形成和初步应用,指数式与对数式的互化 难点:对数概念的理解,对数性质的理解

5 教法学法
以引导发现法为主,结合直观教学法和讲授法,引导学生学会观察分析、思考探究、合 作交流,提高学生分析、解决问题的能力。对数的教学采用讲练结合的教学模式。教学中, 采用讲讲练练的教学程序,运用指数式与对数式的转化策略,通过教师的讲,数学家对对数 的痴迷激发学生好奇,从实际问题导入对数概念、对数符号,理解对数的意义,通过典型例 题的讲授,充分揭示对数式与指数式间的关系,掌握求对数值的方法,通过学生典型习题的 练,使学生进一步理解对数式与指数式间的关系,掌握求对数的一些方法,在讲练结合中实 现教学目标。

6 教学媒体
多媒体,课件,黑板

7 教学过程
环节(一)创设情境,引入课题
活动 1
【教师】引例(3 分钟) 1、一尺之棰,日取其半,万世不竭。 (1)取 5 次,还有多长? (2)取多少次,还有 0.125 尺?

【问题组 1】 (1)这个模型跟我们前面学过的哪个模型相似? (指数函数) (2)我们可以从哪些角度去思考这道题?其中最好的方式是? (3)倘若我们还剩下 0.1、0.01、0.0001 呢?

?1? ?1? ? ? ? ? 2 ? ? (可设取 x 次,则有 = 0.125 = ? 2 ? ;抽象出:x=3)
【学生】让学生根据题意,设未知数,列出方程。 【设计说明】这两个例子都出现指数是未知数 x 的情况,让学生思考如何表示 x,激发 其对对数的兴趣,培养学生的探究意识.也就是我们这节课将要学习的对数问题,于是板书 课题。

x

3

环节二 回顾旧知
活动 2
【教师】从上节课学习的指数函数的应用入手,结合指数所表示的含义,进一步了解指 数和 对数之间的联系。 (对数的导入) (P72 思考)根据上一节的例 8 我们能从

y ? 13?1.01x 中,算出任意一个年头 x 的

人口总数,那么哪一年的人口达到 18 亿,20 亿,30 亿? (停顿让学生思考) 即:

18 20 30 ? 1.01x , ? 1.01x , ? 1.01x , 在这个式子中, x 分别等于多少 13 13 13

【问题组 2】 1.在上节课的内容后,你们是否能立马说出

y ? 13?1.01x 代表的含义是?

2.本题中我们如何用关于 x 的数学式子来表示人口分别达到 18 亿,20 亿,30 亿? 3.在列出表达式后,在这些式子中, x 分别等于多少? 【学生】回忆旧知,思考实例。 【设计说明】 这是已知底数和幂的值, 求指数的问题, 自然地将问题由指数过渡到对数, 也就是我们这节课将要学习的对数问题。

环节三 围绕猜想 形成概念

活动 3
【教师】点出在这三个式子中,都是已知(停顿)底数和幂,求指数 x。引导学生思考 如何求指数 x?这是本节课要解决的问题 【问题组 3】 1.如何求指数 x?

) 2. 若a ? N,已知a和N如何求指数x(其中,a ? 0且a ? 1
x

3.数学家欧拉用对数来表示 x,如何表示? 【学生】思考如何来用对数来表示 x,求指数 x

环节四 讲授新课
1.对数的概念 一般地, 如果

a x ? N (a ? 0, 且a ? 1), 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作
x

x ? loga N (a ? 0, 且a ? 1, N ? 0),
其中

a 叫做对数的底数,N 叫做真数。称 a

? N 为指数式,称 x ? loga N 为对数式

注意:①底数的限制:a>0 且 a≠1 。真数的限制: (0,??) ②对数的书写格式

log a N

③对数的相关描述

2.指数式与对数式的互化

通过以上直观图示可以看出, 指数式与对数式虽然表示的是两种不同的运算, 但都表示

a, x, N 三个数之间的数量关系,在 a ? 0, 且a ? 1 的条件下,这两种运算可以相互转化,
它们互为逆运算。

我们可以由指数式得到对数式,也可以由对数式得到指数式:

a x ? N ? loga N ? x
不难得到, 1.01 ?
x

18 18 的 x 用对数表示就是 x ? log1.01 13 13
4

同时,我们还会注意到,10 ? 10000 , log10 10000 ? 4 ,利用对数可以将很大很大的 数变为较小的数,减少计算量,以后还会发现,乘除运算便会加减运算,简化运算. 3.两种常用对数

常用对数:我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数.为了简便,N 的常用对数
log10 N 简记作 lgN.
例如: log10 5 简记作 lg5; log10 3.5 简记作 lg3.5.

自然对数:在科学技术中常常使用以无理数 e=2.71828??为底的对数,以 e 为底的对
数叫自然对数,为了简便,N 的自然对数 loge N 简记作 lnN. 例如: loge 3 简记作 ln3; loge 10 简记作 ln10.

环节五探究思考(与环节三相辅相成)

探究:

活动 4
探究

log2 0 ? ?,log5 (?1) ? ?. loga N ? b 中的 N 可以取哪些值?

【教师】结合指数的底数和指数,引导学生分析分别以 0,-1 为指数的指数的情况,进 而得出底数

a 的取值范围

【问题组 4】 1.式子中的底数有什么特点?真数有什么特点?你们能从这两个式子想到些什么吗? 2.当这个式子的底数大于 0 且不等于 1 时, 对于真数来说有什么要求?是否任意的真数 都能使对数有意义呢?(是不是所有的实数都有对数?) 【学生】分析指数和真数的限制

分析:当底数大于 0 且不等于 1 时,真数大于 0. 结论:负数和零没有对数

活动 5
探究

当a ? 0, 且a ? 1, loga 1 ? ?,loga a ? ?.

【教师】组织学生讨论,形成猜想,引导学生证明猜想。 学生根据对指数和对数互化的了解以及对指数和真数的限制的分析进行小组讨论, 完成 证明过程。 【问题组 5】 你能否猜想一下两个式子的结果呢?当 变吗? 如果这两个式子的结果不发生改变,我们能得到怎样的结论? 【学生】猜想,讨论得到怎样的结论。 分析:

a 是一个常数时,这两个式子的结果会发生改

a0 ? 1 ? loga 1 ? 0, a1 ? a ? loga a ? 1.

结论:1 的对数为 0,底的对数为 1.

活动 6 学生动手建立指数和对数的关系
【教师】引导学生利用底数、真数、幂及前面的例题建立指数和对数的关系,并适时指 导,进一步提出问题。 【问题组 6】 问题:

2 2 ? 4,2 x ? 8,2 y ? 6, x和y的值各为多少?
2 x ? 8 ? x ? 3;

分析 1:

2 y ? 6 ? y ? log2 6.
1.将

x和y 的值求出来后等式左右两边有什么特点?

2.我们在二式中能看出怎样的对应关系,我们可以如何进一步刻画它? 【学生】形成对数指数对应关系的猜想,思考问题。

环节六 初步应用 加深理解
活动 7
例 1 判断下列式子是否为对数式,并说明理由?

log1 log3
2

16

54

625 log3

1 a 2 loga lg 0.0001 ln e 2 log 1 81 2

(a ? 0)

例 2 将下列指数式写成对数式;对数式写成指数式

1 1 m a (3) 3 ? 27 (4)( ) ? 5.73 64 3 (5) log 1 16 ? ?4 ; (6) log2 128 ? 7 ; (7) lg 0.01 ? ?2 ; (8) ln10 ? 2.303 .
(1) 5 ? 625(2) 2
4
?6

?

2

例 3 求下列各式中的 x 的值: (1) log 64 x ? ? 【问题组 7】 1.通过例 1,我们发现对数式的底数和真数有什么特征? 2.通过例 2,我们发现对数式和指数式互化的关键在于什么? 3.通过例 3,我们发现求解对数等式中的未知量 x 的思路是? 【设计说明】对对数知识进行初步运用,让学生在问题的解决中加深对知识的理解,进一步 突破教学难点。

2 ; (2) logx 8 ? 6 3

(3) lg100 ? x

(4) ? ln e ? x
2

环节七 归纳小结 深化理解
活动 8
【教师】引领学生归纳数学知识与思想方法。 【问题组 8】 1.对数具有怎样的基本形式和条件? 2.对数和指数之间互换时有什么重要点? 3.如何求对数式的值? 4.本节课主要学习了哪种思想方法? 【设计说明】突出对数的定义及考察点,以及对数和指数互化的关键点,将新知纳入自己的 认知结构。

环节八 布置作业 课后延伸
活动 9
【教师】布置作业课本 【问题组 9】 1.在求解含未知量的对数或指数时又有怎样的思维方式和奥秘呢? 【设计说明】提出思考问题,进行课后延伸,让学生带着问题走出课堂。

P 74 习题 2.2A 组第 1、2 题。提出问题

8 教学设计说明
本节课程序设计

?? 启发诱导,探求新知 ? ?? 变式练习,反馈校正 ? ?? 形成 铺垫引入,展示目标 ? ?? 归纳小结,深化目标 测试,评价回授 ?
设计线索:实际问题 ??? ? 形成对数概念、了解对数符号 ??? ?? 对数式与指数
导入 典型例题

式间的关系 ??? ?? 理解运用
对应关系

整个设计体现以下理念: 重过程——展现定义得出的来龙去脉,让学生经历观察、分析、猜想、验证、证明、概 括、理解应用等数学学习过程。 重思想——引导学生从实际问题导入对数概念、对数符号,理解对数的意义,从指数过 渡到对数,在从指数入手,让学生大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习 方法。 重探究——让学生立足于实际问题进行探究, 进一步培养学生的猜想能力、 分析与解决 问题的能力,以及转化归纳转化能力。 重延展——结合庄子的名言,让学生体会文学艺术中的数学之美,提升文化素养。引用 人口增长模型,使学生感悟数学源于生活,高于生活。 本设计的创新点:①创新的探索过程,顺利得到猜想;②创新的题组设计,有利于学生 学会探究方法;③丰富的实践活动,重视学生的参与;④名言和人口模型的利用,重视文化 素养和社会素养的提升。

9 板书设计

§2.2.1 对数的概念 一、对数的 定义 二、 对数式与指数式的 互化 三、两种重要对数 四、练习 四、例 1 例2 五、小结 六、作业布置

10 教学反思 (略)


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