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2017年中考数学总复习第二轮中考题型专题复习二十一几何探究题类型1与全等三角形有关的几何探究题试题


专题复习(十一)
类型 1 与全等三角形有关的几何探究题

几何探究 题

1. (2016·丹东模拟)已知,点 D 为直线 BC 上一动点(点 D 不与点 B,C 重合), ∠BAC=90°,AB=AC, ∠DAE=90°, AD=AE,连接 CE. (1)如图 1,当点 D 在线段 BC 上时,求证:①BD ⊥CE,②CE=BC-CD; (2)如图 2,当点 D 在线段 BC 的延长线上时,其他条件不变,请直接写出 CE,BC,CD 三条线段之间的关系; (3)如图 3,当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时,且点 A,E 分别在直线 BC 的两侧,点 F 是 DE 的中点,连接 AF, CF,其他条件不变,请判断△ACF 的形状,并说明理由.

解:(1)证明:∵∠BAC=∠D AE=90°, ∴∠BAD=∠CAE, AB=AC, ? ? 在△ABD 和△ACE 中,?∠BAD=∠CAE, ? ?AD=AE, ∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴∠ABD=∠ACE=45°, BD=CE. ∴∠ACB+∠ACE=90°.∴∠ECB=90°. ∴BD⊥CE,CE=BC-CD. (2)CE=BC+CD. (3)△ACF 是等腰三角 形.理由: ∵∠B AC=∠DAE=90°,∴∠BAD=∠CAE. AB=AC, ? ? 在△ABD 和△ACE 中,?∠BAD=∠CAE, ? ?AD=AE, ∴△ABD≌△ACE(SAS).∴∠ABD=∠ACE. ∵∠ABC=∠ACB=45°, ∴∠ACE=∠ABD=135°.∴∠DCE=90°. 1 又∵点 F 是 DE 中点,∴AF=CF= DE. 2 ∴△ACF 是等腰三角形. 2.(2016·贵阳)(1)阅读理解:如图 1,在△ABC 中,若 AB=10,AC=6,求 BC 边上的中线 AD 的取值范围. 解决此问题可以用如下方法: 延长 AD 到点 E 使 DE=AD, 再连接 BE(或将△ACD 绕着点 D 逆时针旋转 180°得到△EBD), 把 AB,AC,2AD 集中在△ABE 中,利用三角形三边的关系即可判断 中线 AD 的取值范围是 2<AD<8; (2)问题解决:如图 2,在△ABC 中,D 是 BC 边上的中点,DE⊥DF 于点 D,DE 交 AB 于点 E,DF 交 AC 于点 F,连接 EF,求证:BE+CF>EF; (3)问题拓展:如图 3,在四边形 ABCD 中,∠B+∠D=180°,CB=CD,∠BCD=140°,以点 C 为顶点作一个 70° 角,角的两边分别交 AB,AD 于 E,F 两点,连接 EF,探索线段 BE,DF,EF 之间的数量关系,并加以证明.

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解:(2)证明:延长 FD 至点 M,使 DM=DF,连接 BM,EM.由(1)得△BMD≌△CFD(SAS), ∴BM=CF.∵DE⊥DF,DM=DF,∴EM=EF. 在△BME 中,由三角形的三边关系得:BE+BM>EM,∴BE+CF>EF. (3)BE+DF=EF,理由: 延长 AB 至点 N,使 BN=DF,连接 CN. ∵∠ABC+∠D=180°,∠NBC+∠ABC=180°, ∴∠NBC=∠D. BN=DF, ? ? 在△NBC 和△FDC 中,?∠NBC=∠D, ? ?BC=DC, ∴△NBC≌FDC(SAS). ∴CN=CF,∠NCB=∠FCD. ∵∠BCD=140°,∠ECF=70°, ∴∠BCE+∠FCD=70°.∴∠ECN=70°=∠ECF. CN=CF, ? ? 在△NCE 和△FCE 中,?∠ECN=∠ECF, ? ?CE=CE, ∴△NCE≌△FCE(SAS).∴EN=EF. ∵BE+BN=EN,∴BE+DF=EF. 3.(2016·安徽中考信息交流卷二)如图,正方形 ABCD,点 O 为两条对角线的交点. (1)如图 1,点 M,N 分别在 AD,CD 边上,∠MON=90°,求证:OM=ON; (2)如图 2,若 AE 交 CD 于点 E,DF⊥AE 于点 F,在 AE 上截取 AG=DF,连接 OF,OG,则△OFG 是哪种特殊三角形, 证明你的结论; (3)如图 3,若 AE 交 BC 于点 E,DF⊥AE 于点 F,连接 OF,求∠DFO 的度数.

解:(1)证明:连接 OA,OD,则 OA=O D. ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠AOD=90°,∠OAM=∠ODN=45°. ∵∠MON=90°, ∴∠AOD-∠MOD =∠MON-∠MOD. ∴∠AOM=∠DON.∴△AOM≌△DON(ASA). ∴OM=ON. (2)△OFG 为等腰直角三角形. 证明:连接 OA,OD,则 OA=OD. ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠AOD=90°,∠OAD=∠ODC=45°. ∵DF⊥AE,
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∴∠DAE+∠ADF=∠ADF+FDE=90°. ∴∠DAE=∠FDE.∴∠OAG=∠ODF. 又∵A G=DF,∴△OAG≌△ODF(SAS). ∴OG=OF,∠AOG=∠DOF. ∴∠GOF=∠GOD+∠DOF=∠GOD+∠AOG=90°. 故△OFG 为等腰直角三角形. (3)在 AE 上截取 AG=DF,连接 OA,OD,OG,其中 OA 与 DF 交于点 H,则 AO=DO. ∵∠AFD=∠AOD= 90°,∠AHF=∠DHO, ∴∠GAO=∠FDO. ∴△OAG≌△ODF(SAS). ∴OG=OF,∠AOG=∠ DOF. ∴∠GOF=∠GOA-∠FOA=∠DOF-∠FOA=90°. ∴∠GFO=45°. ∵DF⊥AE. ∴∠DFO=45°.

1 4.(2015·蚌埠六校联考)正方形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,点 P 在线段 BC 上(不含点 B),∠BPE= ∠ACB, 2 PE 交 BO 于点 E,过点 B 作 BF⊥PE,垂足为 F,交 AC 于点 G. (1)当点 P 与点 C 重合时(如图 1).求证:△BOG≌△POE; BF 1 (2)通过观察、测量、猜想: = ,并结合图 2 证明你的猜想; PE 2 BF (3)把正方形 ABCD 改为菱形,其他条件不变(如图 3),若∠ACB=α ,求 的值.(用含 α 的式子表示) PE

解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,点 P 与点 C 重合, ∴OB=OP,∠BOC=∠BOG=90°. ∵PF⊥BG,∴∠PFB=90°. ∴∠GBO=90°-∠BGO,∠EPO=90°-∠BGO. ∴∠GBO=∠EPO.∴△BOG≌△POE(ASA). (2)证明:过 P 作 PM∥AC 交 BG 于点 M,交 BO 于点 N, ∴∠PNE=∠BOC=90°,∠BPN=∠OCB. ∵∠OBC=∠OCB=45°,∴∠NBP=∠NPB. ∴NB=NP. ∵∠MBN=90°-∠BMN,∠NPE=90°-∠BMN,∴∠MBN=∠NPE. ∴△BMN≌△PEN(ASA).∴BM=PE. 1 ∵∠BPE= ∠ACB,∠BPN=∠ACB. 2 ∴∠BPF=∠MPF. ∵PF⊥BM,∴∠BFP=∠MFP=90°. 又∵PF=PF,∴△BPF≌△MPF(ASA). 1 ∴BF=MF,即 BF= BM. 2

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1 BF 1 ∴BF= PE,即 = . 2 PE 2 (3)过 P 作 PM∥AC 交 BG 于点 M,交 BO 于点 N. ∴∠BPN=∠ACB=α ,∠PNE=∠BOC=90°. 1 由(2)同理可得 BF= BM,∠MBN=∠EPN. 2 ∵∠BNM=∠PNE=90°.∴△BMN∽△PE N. ∴ BM BN = . PE PN

BN BM 在 Rt△BNP 中,tanα = .∴ =tanα , PN PE 即 2BF BF 1 =tanα .∴ = tanα . PE PE 2

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