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www.gn3721.com:北师大版必修4高中数学2.6《平面向量数量积的坐标表示》ppt课件_图文

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数量积的坐标运算

数量积的坐标运算同共线向量坐标运算间的

关系

r

r

a ? ?x1, y1 ?, b ? ?x2, y2 ?

利用数量积的坐标运算及向量共线的坐标运算,将平面几 何中的平行垂直关系代数化,大大简化了运算量,降低了 思维难度.
进行向量的坐标运算时务必分清向量间的关 系!

【例1】(2010·安徽高考)设向量

r a

?

r
?1,0?,b ?

(1

,

1 ),

22

则下列结论中正确的是( )

(A)

r a

?

r b

(B)

r a

r gb

?

2,

(C)

r a

?

r b

2


r b

垂直

(D)

r a

r Pb

【审题指导】本题涉及到向量的长度、数量积的坐标运算,

向量平行、垂直的坐标判定方法等知识点,解答本题可利

用向量的坐标运算逐项验证.

【规范解答】选C.∵向量

r a

?

?1,

r
0?,b ?

(

1

,

1

),

22

r ?a ?

r 12 ? 0 ? 1,b ?

(1)2 ? (1)2 ?

2,

22 2

?

r a

?故br ,A错误;由

rr agb

?

(1, 0)g( 1

,

1)

? 1?

1

?

0?

1

?

1

?

2,

22 2 2 2 2

故B错误;由(ar

?

rr b)gb

?

(

1

,

?

1 )g(

1

,

1

)

?

1

?

1

?

(?

1

)

?

1

?

0,

2 2 22 2 2 2 2

所以

r (a

?

br )故? brC,正确;由

11故?D10错,误.

22

【例】如图,以原点和A(5,2)为顶点作等腰直角△OAB,使 ∠B =90°,求点B和向量 AuuBur 的坐标.

【规范解答】设B点坐标(x,y),则

uuur

uuur

OB ? ?x, y?,AB ? ?x ? 5, y ? 2?.

uuur uuur

Q OB ? AB,

∴x(x-5)+y(y-2)=0即:x2+y2-5x-2y=0.

又∵

uuur uuur OB ? AB ,

∴x2+y2=(x-5)2+(y-2)2,即:10x+4y=29.



?x2 ? y2 ? 5x ? 2y ? 0

?

,

?10x ? 4y ? 29



? ??

x1

?

? ??

y1

? ?

7
或2
?3 2

,

? ??

x

2

?

? ??

y2

? ?

3 2. 7 2

∴B点坐标 (7 , ?或3)
22

(3 , 7) 22

uuur AB

?

(?

3或, ?

7

)

22

(? 7 , 3). 22

向量的夹角

1.利用数量积的坐标运算求两向量夹角

(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的

数量积.

(2)利用

r a

?

x2 ? y2 计算出这两个向量的模.

(3)由公式 cos ? ? x1x2 ? y1y2 直接求出cos θ 的值.

x12 ? y12 g

x

2 2

?

y22

(4)在0≤θ ≤π 内,由cos θ 的值求角θ .

2.直线所成的角与直线方向向量所成角的关系



ur r m,n

分别为直线l1,l2(l1与l2不重合)的方向向量,

θ



ur m



r n

的夹角,α

为l1与l2所成的角.

(1)当θ =0°或180°时,l1∥l2,此时α =0°;

(2)当0°<θ ≤90°时,l1与l2所成的角α =θ ;

(3)当90°<θ <180°时,l1与l2所成的角α =180°-θ .

可以借助向量所成的角来判断直线所成的角,但必 须注意两者的角的范围不同θ ∈[0,π],而
? ?[0, ?]. 2

【例2】(2011·乌鲁木齐高一检测)已知△ABC顶点的坐标

分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0).

(1)若c=5,求cos A的值;

(2)若A是钝角,求c的取值范围. 【审题指导】(1)求 AuuBur gAuuCur,AuuBur计, 算AuuCur , (2)利用 AuuBur gAuuCu求r<c0的取值范围,需验证 特殊情形.

uuur uuur

cos A ?

ABgAC uuur uuur



AB gAC

反Auu向Bur,Au的uCur

【规范解答】?1?

uuur AB

?

? ?3,

?4?,

uuur AC

?

?c

?

3,

?4?,

当c=5时,AuuuuCuurr ?uu?ur2, ?4?.

?cos A ?

ABgAC uuur uuur

? ?6 ?16 ?

1

?

5.

AB gAC 5 20 5 5

(2)若A为钝角,则

uuur uuur
ABgAC ? ?3?c ? 3? ?16 ? 25 ? 3c<0,

解得 c>25.
3
显然此时有 AuuBu和r

Au不uCur共线,故当A为钝角时,

c的取值范围为(25,? ?).
3

向量的模

1.对向量模的坐标运算的理解

向量的模即为向量的长度,其大小应为平面直角坐标系中两

点间的距离.

(1)如

r a

?

?

x,

y?,

则在平面直角坐标系中,一定存在点A(x,y),

使得

uuur r OA ? a

? ?x,y?,

所以

uuur OA

?

r a

?

x2 ? y2 ,



r a

为点A到

原点的距离;

(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则

uuur AB

=(x2-x1,y2-y1),所以

uuur AB ?

(x2 ? x1)2 ? ?y2 ? y1 ?2 , 即平面直角坐标系中任意

两点间的距离公式.

2.熟记以下两个结论:

rr
?1? a ga

?

r2 a

?

r a

2

?

x12

?

y12,

r
?2? a ? x12 ? y12 .

【例3】(2011·佛山高一检测)已知向量 a 和 b 满足

r a

r
? ?2,0?,b

? 1,a



b

的夹角为120°,求

r a

r ? 2b .

【审题指导】求解本题的主要依据是向量的模同数量积的

互化,即

rr a ? 2b

?

r a

2

?

4因ar g此br ?求4br解2,本题可利用待定

系数法设

r b

?

?

x也, y?可;利用数量积的定义直接求解;还可

以通过图解.

【规范解答】方法一:设 br=(x,y),依题意,x2+y2=1,
rr

cos 120? ?

agb rr

? 2x

? ?1,

ab 2 2

解得 x ? ? 1 , y ? ? 3 ,

2

2

? ? ? ? r r
?a ? 2b ? ?2,0? ? ?1,? 3 ? 1,? 3 ,

? ? r r

2

? a ? 2b ? 12 ? ? 3 ? 2.

方法二:依题意

r a ? 2,

rr agb ?

rr a gb

cos

120? ? 2?1? (? 1)

?

?1,

2

rr ? a ? 2b ?

r2 r r r2 a ? 4agb ? 4b ?

4 ? ??4? ? 4 ? 2.

方法三:如图所示,在平行四边形OACB

中,OuuAur

?

r uuur a, OB

?

r uuur 2b,OC

?

r a

?

r 2b,



uuur OA

?

Ouu∠Bur A?O2,B=120°,故平行

四边形OACB为一个内角为60°的菱形,
rr ? a ? 2b ? 2.

【典例】(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知点

A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1).

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;

? ? (2)设实数t满足

uuur AB ?

uuur tOC

uuur gOC

?

0,求t的值.

【审题指导】解答本题中的(1)将平行四边形两条对角线的长

转化为向量的模长问题解决;(2)利用向量的坐标运算解决.

【规范解答】(1)方法一:由题设知

uuur AB

?

?3,5?,

uuur AC

…? ?…?1…,1?…,………………………………2分



uuur AB

?

uuur AC

?

? 2,

6?,

AuuBur…?…AuuCu…r ?…?4…, 4…?.……………

4分

所以

uuur uuur AB ? AC

?

2

uuur uuur 10, AB ? AC ? 4

2.

故所求的两条对角线的长分别为 4 2、2 10.

……………………………………………………………… 6分

方法二:设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的 交点为E,则E为BC的中点,故E(0,1) ……………………2 分 又E(0,1)为AD的中点,所BC以?D4(12,, A4D)?…2 …10…;………………4 分 故所求的两条对角线的长
……………………………………………………………… 6分

(2)方法一:由题设知:OuuCur ? ?-2,-1?,

uuur uuur AB ? tOC ? (3 ? 2t,5 ? t)

………………………………………8分



uuur (AB

?

uuur uuur tOC)gOC

?

0,

得:(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0, …………………………10分

从而5t=-11,所以 t ? ?11…. ……………………………12分

5

方法二:∵

uuur (AB

?

uuur uuur tOC)gOC

?

0,?

uuur uuur ABgOC

?

tOuuCur 2,AuuBur

?

?3,

5?

,

uuur
OC ? ??2,?1?

………………………………………… 8分

uuur uuur

?t

?

ABgOC uuur 2
OC

?

? 11 .? 5

………………………………12分

【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下:

1.已知

r a

?

?

?2,

4?,

r b

?

?3,

?7

?,



rr agb

的值为(

)

(A)-26

(B)26

(C)35

(D)-34

【解析】选D.

r a

r gb

?

(?2,

4)g?3,

?7?

?

?6

?

28

?

?34.

2.已知

r a

?

r
?3,4?,b ?

?5,12?,则

a



b

夹角的余弦值为(

)

(A) 63
65

(B) 65

(C) 13

(D) 13

5
【解析】选A.设 a与 的b 夹角为θ ,

rr a ? 5, b ? 13,

rr

cos? ?

agb rr

?

(3, 4)g?5,12?

?

63 .

ab

5 ?13

65

3.已知平面向量

r a

?

r
?1,-3?,b ?

? 4,-2 ?,?ar

r ?b



r a

垂直,则

λ 等于( )

(A)-1

(B)1

(C)-2

【解析】选A.

rr

r

?a ? b ? ?? ? 4,?3? ? 2?,a

? ?1,?3?,

? ? r r r
? ?a ? b ? a ? ?? ? 4? ? 3??3? ? 2? ? 0,

即10λ+10=0,∴λ=-1.

(D)2

? ? 4.已知向量

r a?

1,

3

r ,b ?

?

?2, 0 ?,则

rr a?b

=_____________.

? ? 【解析】Q

r a

?

r b

?

?1,

rr 3 ,? a ? b ?

1? 3 ? 2.

答案:2

5.



r

r

r

a ? ?1,?2?,b ? ??3,4?,c ? ?3,2?,

? ? 则

r rr a ? 2b gc

=______________.

【解析】

rr
a ? 2b ? ?1, ?2? ? 2??3,4? ? ??5,6?,

r rr

(a ? 2b)gc ? (?5,6)g?3,2? ? ?3.

答案:-3

6. ABCD中,A点坐标为(1,0),B点坐标为(3,2),C点坐

标为(4,-1),求

uuur AB



uuur BD

夹角的余弦值.

【解析】∵A点坐标为(1,0),B点坐标为(3,2),C点坐标为

(4,-1),? AuuBur

?

? 2,

2?

,

uuur AC

?

?3,

?1?,

uur uuur uuur
?BC ? AC ? AB ? ?1,?3?,

又由题意可知

uur BC

?

uuur AD,

uuur uuur uuur
?BD ? AD ? AB ? ?1,?3? ? ?2,2? ? ??1,?5?.

设 AuuBu与r uBuu的uruDur夹uuur角为θ ,则

cos? ?

ABgBD uuur uuur

?

?12

??3

13 .

AB BD 4 13 13

编后语
? 老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
? ① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题,有的要求回答,有的则是自问自答。一般来说,老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键,若能抓住老师提出的问题深入思考,就可以抓住老师的思路。
? ② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的,若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较,便可以抓住老师的思路。
? ③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语,如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等,这些 用语往往体现了老师的思路。来自:学习方法网
? ④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时,一般有一个推导过程,如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程,这有助于理解记忆结论,也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
? ⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候,最好是做个记号,姑且先把这个问题放在一边,继续听老师讲后面的 内容,以免顾此失彼。来自:学习方法网
? ⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆,而且有利于抓住老师的思路。

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