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吉林一中高三数学文2013-2014学年度上学期11月质量检测

2013-2014 学年度高三年级 11 月教学质量检测 数学文试题
一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {?1,1}, B ? {x ? R | x2 ? x ? 2 ? 0}, 则A ? B = ( A.{1} B. ? ) C.{—1,1} D.{—1}

( A. a ?

) B. a ?

1 1 ?b? a b

1 1 b b ?1 ?b? C. ? b a a a ?1

D.

2a ? b a ? a ? 2b b

6.50.6,0.65,log0.65 的大小顺序是 ( ) A.0.65 < log0.65 < 50.6 C.log0.65 < 50.6 < 0.65

B.0.65 < 50.6< log0.65 D.log0.65 <0.65 < 50.6

?e x , x ? 1 7.设 f ( x ) ? ? ,则 f (ln 3) = ? f ( x ? 1), x ? 1
( A. ) C.e D.3e

( x ? 4) ln( x ? 2) 2.函数 f ( x) ? 的零点有 x?3
A.0 个 ( ) B.1 个 C.2 个 D.3 个

3 e

B. ln 3 ? 1

8.若曲线 f ( x) ? x 4 ? x 在点 P 处的切线平行于直线 3x ? y ? 0 ,则点 P 的坐标为 ( ) A. (—1,2)

3.函数 f ( x) ? log2 (3x ? 1) 的定义域为 ( A. (0,+ ? )
2

B. (1,—3)

C. (1,0)

D. (1,5)

) C. (1,+ ? ) D. [ 1,+ ? )

9.已知 a, b, c ? (0, ??),3a ? 2b ? c ? 0, 则 ( A.最大值是 3 )

B.[0,+ ?)

ac 的 b

4.函数 y ? 2 x 的导数是
x2 ? 1

B.最小值是 3
2

C.最大值是


2 2 A. y ? ? 4 x( x ? 1) ? 4 x ( x 2 ? 1)2

) B. y ? ?

3 3

D. 最小值是

3 3

4 x( x 2 ? 1) ? 4 x3 ( x 2 ? 1)2

10.设 A ? [ ?1, 2), ? { |x ? ax ? 1? 0}, B ? A ,则实 数 a 的取值范围 为 B x 若 ( A. [?1,1) ) C. [0,3) D. [0, )

2 3 C. y ? ? 4 x( x ? 1) ? 4 x 2 2 ( x ? 1)

2 D. y ? ? 4 x( x ? 1) ? 4 x

B. [?1, 2)

( x2 ? 1)2

3 2

11.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 9.5%,要增长到原来的 x 倍,需经 过 y 年,则函数 y ? f ( x) 图象大致为
第1页 共6页

5.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式中总成立的是





15. f ( x) ? a x ? loga ( x ? 1) 在[0,1]上的最大值与最小值之和为 a,则 a 的值 为 。 16.有下列命题: ①命题“ ?x ? R, 使得x2 ? 1 ? 3x ”的否定是“ ?x ? R, 都有x2 ? 1 ? 3x ” ; ②设 p、q 为简单命题,若“ p ? q ”为假命题,则“ ? p ? ? q 为真命题” ; ③“ a ? 2 ”是“ a ? 5 ”的充分不必要条件; ④若函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? a) 为偶函数,则 a ? ?1 ; 其中所有正确的说法序号是 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤。 17. (本小题满分 12 分)

12 . 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 其 最 小 正 周 期 为 3 , 且

3 x ? ( ? , 0时 f x ? ) , ( ) 2
A. 4

l o g ( ? 则 1) , ? x 3 2

( =2 0 1 1 )

1 3 (1)计算: lg 2 ? (lg 2) 2 ? lg 2 ? 1 ? a9 ? a ?3 ? 3 2
D.log27 (2)已知 lg a ? lg b ? 21g ( a ? 2b), 求

a13 a7



( ) B.2

C.—2

a 的值。 b

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
注意事项: 1.第Ⅱ卷包括填空和解答题共两个大题。 2.第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置 上。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.曲线 y ? x
2

18. (本小题满分 12 分) 设 p :函数 f ( x) ?| x ? a | 在区间(4,+∞)上单调递增; q : log a 2 ? 1 ,如果 “ ? p ”是真命题, “q”也是真命题,求实数 a 的取值范围。

在(1,1)处的切线方程是

; 。
第2页 共6页

14.若函数 f ( x) ?

mx 2 ? mx ? 1 的定义域为 R,则 m 的取值范围是

19. (本小题满分 12 分) 为保增长、促发展,某地计划投资甲、乙两项目,市场调研得知,甲项目每投 资百万元需要配套电能 2 万千瓦,可提供就业岗位 24 个,增加 GDP260 万元; ... 乙项目每项投资百万元需要配套电能 4 万千瓦,可提供就业岗位 32 个,增加 ... GDP200 万元,已知该地为甲、乙两项目最多可投资 3000 万元,配套电能 100 万千瓦,并要求它们提供的就业岗位不少于 800 个,如何安排甲、乙两项目的 投资额,增加的 GDP 最大?

21. (12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? mx2 ? nx ? 2 的图象过点(—1,—6) ,且函数

g ( x) ? f ?( x) ? 6 x 是偶函数
(1)求 m、n 的值; (2)若 a>0,求函数 y ? f ( x) 在区间 (a ? 1, a ? 1) 的极值。

22. (本小题满分 12 分) 20. (本小题满分 12) 设二次函数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) 满足条件:
2

已知函数 f ( x) ? ?a x ? ax ? ln x(a ? R).
2 2

(1)证明:当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 只有一个零点; (2)若函数 f ( x ) 在区间(1,+∞)上是减函数,求实数 a 的取值范围。

① f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) ;②函数 f ( x ) 的图象与直线 y ? x 只有一个公共点。 (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若不等式 ?
f ( x)

1 ? ( ) 2 ?tx 在t ? [?2, 2] 时恒成立,求实数 x 的取值范围。

?

第3页

共6页

如果“ ? p ”为真命题,则 p 为假命题,即 a ? 4.

??????9 分

参考答案
一、选择题 DBABB DACCD 二、填空题 13. 2 x ? y ? 1 ? 0 三、解答题 17.解: (1)原式 ? lg 2 ? (lg 2 ? 1) ?
2 3 9 13

又 q 为真,即 0 ? a ? 1或a ? 2 由?

DC

?0 ? a ? 1或a ? 2 可得实数 a 的取值范围是 a ? 4 ?a ? 4

??????12 分

19.解:设甲项目投资 x(单位:百万元) ,乙项目投资 y(单位:百万元) ,两项目 14.[0,4] 15.

1 2

16.②④

增加的 GDP 为 z ? 260 x ? 200 y 依题意,x、y 满足

??????1 分

a2a 2 ? a2a 2

3

7

13

? lg 2 ? 1 ? lg 2 ? 3 a3 ? 3 a3
? lg 2 ? 1 ? lg 2 ? 1
=0 ??????6 分
2

? x ? y ? 30 ?2 x ? 4 y ? 100 ? ? ?24 x ? 32 y ? 800, ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?

???5 分

所确定的平面区域如图中阴影部分??8 分 解?

(2)? lg a ? lg b ? 2lg(2 ? 2b),? lg ab ? lg(a ? 2b) .

a a ? ab ? (a ? 2b) 2 , a 2 ? 4b 2 ? 5ab ? 0, ( ) 2 ? 5 ? ? 4 ? 0 b b a a 解之得 ? 1或 ? 4. b b a a ? a ? 0, b ? 0, 若 ? 1, 则a ? 2b ? 0,? ? 1 舍去。 b b a ? ? 4. ??????12 分 b
18.解: p : f ( x) ?| x ? a | 在区间(4, ??) 上递增 ? 故 a ? 4. ??????4 分 ??????8 分
第4页

? x ? y ? 30 ? x ? 10 得? ,即A(10, 20) ?2 x ? 4 y ? 100 ? y ? 20 ? x ? y ? 30 ? x ? 20 得? ,即B(20,10) ?2 x ? 32 y ? 800 ? y ? 10
??????10 分

解?

设 z ? 0, 得 y ? ?1.3x, 将直线 y ? ?1.3x 平移至经过点 B(20,10) , 即甲项目投资 2000 万元,乙项目投资 1000 万元,两项目增加的 GDP 最大 ????12 分
2 20.解: (1)∵由①知 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) 的对称轴方程是 x ? ?1 ,

? b ? 2a ;

??????1 分

q :由loga 2 ? 1 ? loga a ? 0 ? a ? 1或a ? 2.

?函数f ( x) 的图象与直线 y ? x 只有一个公共点,
共6页

? y ? ax 2 ? bx 有且只有一解, ? 方程组 ? ?y ? x
即 ax2 ? (b ? 1) x ? 0 有两个相同的实根;

代入①得 n=0。

??????4 分

(2)由(1)得 f ?( x) ? 3x( x ? 2) , 令 f ?( x) ? 0得x ? 0或x ? 2. ??????5 分

1 ? ? ? (b ? 1) 2 ? 0, 即b ? 1, a ? . ??????3 分 2 1 ?函数f ( x)的解析式为f ( x) ? x 2 ? x. ??????4 分 2 1 f ( x) ? ( ) 2?tx 等价于f ( x) ? tx ? 2 , ??????6 分 (2)? ? ? 1,? ?

当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表: x

(??, 0)
+

0 0 极大值

(0,2) —

2 0 极小值

(2, ??)
+

?

f ?( x) f ( x)
由此可得:

1 ? x 2 ? x ? tx ? 2在t ? [?2, 2] 时恒成立等价于 2 1 2 函数 g (t ) ? xt ? ( x ? x ? 2) ? 0在t ? [ ?2, 2] 时恒成立; ??????9 分 2

??????8 分 当 0 ? a ? 1 , f ( x)在(a ? 1, a ? 2)内有极大值f (0) ? ?2 ,无极小值; 时 当 a ? 1 , f ( x)在(a ? 1, a ? 1) 内无极值; 时

?x ? 2x ? 4 ? 0 ? g (2) ? 0, ? ?? ,即 ? 2 ? g (?2) ? 0 ? x ? 6 x ? 4 ? 0, ?
2

解得 : x ? ?3 ? 5或x ? ?3 ? 5,
实数 x 的取值范围是 (??, ?3 ? 5) ? (?3 ? 5, ??) ??????12 分 ??????1

当 1 ? a ? 3时, f ( x)在(a ? 1, a ? 1)内有极小值f (2) ? ?6 ,无极大值; 当 a ? 3时, f ( x)在(a ? 1, a ? 1) 内无极值。 ??????11 分

21.解: (1)由函数 f ( x)图象过点(?1, ?6), 得m ? n ? ?3 , ① 分 由 f ( x) ? x ? mx ? nx ? 2,
3 2

时 综上得:当 0 ? a ? 1 , f ( x) 有极大值—2,无极小值,
当 1 ? a ? 3 时,有极小值—6, ??????2 分 无极大值,当 a ? 1或a ? 3 时, f ( x ) 无极值。 22.解: (1)当 a=1 时, ??????12 分

得 f ?( x) ? 3x ? 2mx ? n
2 2

则 g ( x) ? f ?( x) ? 6 x ? 3x ? (6 ? 2m) x ? n;

2m ? 6 ? 0, 所以 m=—3, 而 g ( x) 图象关于 y 轴对称,所以 ? 2?3
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f ( x) ? ? x 2 ? x ? ln x, 其定义域为 (0,??)

1 2x 2 ? x ? 1 f ' (x )? ? x ? ? ? ? 2 1 , ????2 分 x x
1 令f '( x) ? 0 ,解得 x ? ? 或x ? 1, 2
??????3 分

?1 ? ?1 得 ?a , 解之得a ? 1. ?a ? 0 ?

????12 分

(3)当 a ? 0时, f ' ( x) ? 0( x ? 0)等价于(2ax ? 1)(ax ? 1) ? 0( x ? 0),

又? x ? 0, 故x ? 1.
当 0 ? x ? 1 , f ' ( x) ? 0,当x ? 1 , f ' ( x) ? 0 , 时 时 ??????4 分

?函数f (x) 在区间(0,1)上单调递增,
在区间 (1,??) 上单调递减, 当 x=1 时,函数 f(x)取得最大值,即 f ( x) min ? f (1) ? 0 所以函数 f (x) 只有一个零点; (2)因为 f ( x) ? ?a x ? ax ? ln x, 其定义域为 0,??) , (
2 2

1 1 , 此时 f ( x) 的单调减区间为 ( ? ,?? ) 2a 2a 1 1 ?? ? 1,? a ? ? 2a 2
即x ? ? 综上所述,实数 a 的取值范围是 ? ? ?,? ? ? ?1,???. 2

? ?

1? ?

????14 分

????6 分 ????7 分





f ' ( x) ? ?2a 2 x ? a ?

1 ? 2a 2 x 2 ? ax ? 1 ? (2ax ? 1)(ax ? 1) ? ? ????8 分 x x x
1 ? 0, x
????10 分

①当 a=0 时, f ' ( x) ?

所以 f ( x)在区间 0,??) 上为增函数,不合题意 (

②当 a ? 0时, f ' ( x) ? 0( x ? 0)等价于(2ax ? 1)(ax ? 1) ? 0( x ? 0) , 即x ?

1 1 ,此时,f(x)的单调减区间为 ( ,?? ) ,依题意, a a
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