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六年级奥数 几何;第4讲;几何综合


第四讲? ? 几何综合(一)
1. 熟练运用直线型面积的各种模型。 2. 熟练掌握平面图形中的割补、旋转、平移、差不变等各种方法。 3. 针对勾股定理、弦图等特定方法熟练应用。

模块一:割补思想?

1

如图所示,四个等腰直角三角形和一个正方形,已知正方形的面积是 4 平方厘米,

例题 1?

长方形 ABCD 的面积是多少平方厘米??

2

如图, 正方形 ABCD 的边长是 5 ,E ,F 分别是 AB 和 BC 的中点, 求四边形 BFGE

例题 2?

的面积.?

A

D

E G B F C


3

如下图所示, 在一个等腰直角三角形中, 削去一个三角形后, 剩下一个上底长 5 厘

例题 3?

米、下底长 9 厘米的等腰梯形(阴影部分).求这个梯形的面积.?

4

例题 4?

用四个相同的等腰直角三角板,相互重叠着拼成右上图所示的正方形,求阴影正 方形的面积

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 【巩固】在图中,三角形 ABC 和 DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形,其中 DF 长 9 厘米, CF 长 3 厘米, 那么阴影部分的面积是多少平方厘米??

5

在一个等腰三角形中,两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右

例题 5?

图),求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几.?

6

长方形 ABCD 的周长是 30 厘米,以这个长方形的每一条边为边长向外画正方

例题 6?

形.已知这四个正方形的面积之和为 290 平方厘米,那么长方形 ABCD 的面积是 多少平方厘米?

E1 D1 E D

C1 C B

A1 A

7

有一个边长为 16 厘米的正方形, 连接每边的中点构成第二个正方形, 再连接每边

例题 7?

的中点构成第三个正方形,第四个正方形.求图中阴影部分的面积??

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8

如图(a)是常见的一副七巧板的图,图(b)是用这副七巧板的 7 块板拼成的小房子

例题 8?

图,那么,第 2 块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第 4 块板与第 7 块板面 积的和等于整幅图的面积的几分之几??

【巩固】(2008 年第六届“希望杯”五年级第二试)如图? ( a ), ABCD 是一个长方形,其中阴影部分是由一副 面积为 100 平方厘米的七巧板(图( b ))拼成.那么,长方形 ABCD 的面积是多少平方厘米??

A

D

B

C 

【巩固】如图,正方形硬纸片 ABCD 的每边长 20 厘米,点 E 、 F 分别是 AB 、 BC 的中点,现沿图(a)中的虚 ,则图(b)中阴影部分的面积是? ? ? ? ? 平方厘米.? 线剪开,拼成图(b)所示的一座“小别墅”
A E B

F

D (a)

C

(b)



9

例题 9?

(第五届“走进美妙的数学花园”决赛)一个长方形和一个等腰直角三角形如左下 图放置, 图中六块的面积分别为 1, 1, 2, 大长方形的面积是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 1, 1, 3. (2008 年“迎春杯”初试五年级)一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放,

1

例题 10?

①、 ③这三块的面积分别是 2、 58, ②、 8、 则④、 ⑤这两块的面积差是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

② ①

③ ④



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【巩固】(2008 年“迎春杯”初试六年级)一个等腰直角三角形和一个正方形如左下图摆放,①、②、③这三 块的面积比依次为 1: 4 : 41 .那么,④、⑤这两块的面积比是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .?

② ①

③ ④



1

例题 11?

如图, BC = CD = DA ,请求出 ∠A 和 ∠B 的度数.?

A

150°

D

B

C

1

如图, 把边长为 6cm 的等边三角形剪成 4 部分, 从三角形顶点往下 1cm 处呈 30° 角

例题 12?

下剪刀,使中间部分形成一个小的等边三角形.问:所有阴影部分的面积是中间 小等边三角形的面积的几倍?

1cm 6cm 30° 30° 1cm 30° 1cm

板块二、旋转平移思想?

1

已知图中大正方形的面积是 22 平方厘米,小正方形面积是多少平方厘米?

例题 13?


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【巩固】如图所示,外侧大正方形的边长是 10cm ,在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形,阴影的总面 积为 26cm 2 ,最小的正方形的边长为多少厘米??

1

如下图,六边形 ABCDEF 中, AB = ED , AF = CD , BC = EF ,且有 AB 平行于

例题 14?

ED , AF 平行于 CD , BC 平行于 EF ,对角线 FD 垂直于 BD ,已知 FD = 24 厘 米, BD = 18 厘米,请问六边形 ABCDEF 的面积是多少平方厘米??

1

右图是一块长方形草地,长方形的长是 16,宽是 10.中间有两条道路,一条是

例题 15?

长方形,一条是平行四边形,它们的宽都是 2,求草地部分的面积(阴影部分) 有多大??

1

如图所示,一个正十二边形的边长是 1 厘米,空白部分是等边三角形,一共有 12

例题 16?

个.请算出阴影部分的面积.?

1cm

1

按照图中的样子,在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形.已知甲

例题 17?

三角形两条直角边分别为 2cm 和 4cm ,乙三角形两条直角边分别为 3cm 和 6cm , 求图中阴影部分的面积.?

甲23 4

乙 6

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1

如下左图,有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形,现在以点 P 为中心转动

例题 18?

一个正方形.当 AB = 5 厘米, BC = 13 厘米, CA = 12 厘米时(如下右图),求右图 中的两个正方形相重叠部分的面积(注意,图的尺寸不一定准确).
A B C

1

如图,在直角三角形中有一个正方形,已知 BD = 10 厘米, DC = 7 厘米,求阴影

例题 19?

部分的面积.?
A F E D C

B

2

例题 20?

如图所示的四边形的面积等于多少??

2

如图,三角形 ABC 是等腰直角三角形, P 是三角形外的一点,其中 ∠BPC = 90° ,

例题 21?

AP = 10cm ,求四边形 ABPC 的面积.?
A

B

D

C

P

2

(2008 年武汉明心奥数挑战赛)如图所示, ΔABC 中, ∠ABC = 90° , AB = 3 ,

例题 22?

BC = 5 ,以 AC 为一边向 ΔABC 外作正方形 ACDE ,中心为 O ,求 ΔOBC 的面积.

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E

O A 3 B 5 C

D

2

如图,平面上 CDEF 是正方形, ABCD 是等腰梯形,它的上底 AD = 23 厘米,下

例题 23?

底 BC = 35 厘米.求三角形 ADE 的面积.?

E

A

D F

B

C

2

(2008 年武汉明心奥数挑战赛) 如图, 直角梯形 ABCD 中,AD ∥ BC ,AB ⊥ BC ,

例题 24?

AD = 2 , BC = 3 ,将腰 CD 以 D 为中心逆时针旋转 90° 至 ED ,连接 AE 、 CE ,
则 ΔADE 的面积是 ? ? ? ? ? ? ? .
E A

D

B

C

2

例题 25?

如图, 正方形 ABCD 和 DEFG 有一个公共点 D , 试比较三角形 ADG 和三角形 CDE 的面积.?

A G B D F C E

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2

例题 26?

(2008 年全国小学数学资优生水平测试)如图,以正方形的边 AB 为斜边在正方形 内作直角三角形 ABE , ∠AEB = 90° , AC 、 BD 交于 O .已知 AE 、 BE 的长分 别为 3cm 、 5cm ,求三角形 OBE 的面积.

C

B

O E D A

2

例题 27?

(2008 年 迎 春 杯 高 年 级 组 决 赛 ) 如 图 , 已 知 AB = AE = 4cm , BC = DC ,

∠BAE = ∠BCD = 90° , AC = 10cm ,则 S ΔABC + SΔACE + SΔCDE = ? ? ? ? ? ? ? ? cm 2 .?

C B

A

E D

2

例题 28?

( 第 八 届 华 杯 赛 总 决 赛 ) 如 图 所 示 的 四 边 形 ABCD 中 , ∠A = ∠C = 45°, , 连接对角线 BD , ABD = 30° . 求四边形 ABCD ∠ABC = 105° AB = CD = 15 厘米, ∠ 的面积.?

C D

A

B

2

例题 29?

如图,在 ΔABD 中, AB = CD ,求“?”的度数.
A 30° B 40° C ? D

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1

正六边形 ABCDEF 的面积是 1 平方米,将六条边分别向两端各延长一倍,交于六

练习 1?

个点,组成如下图的图形,求这个图形的面积.?

?

2

第四届华杯复赛试题)如图,长方形 ABCD 的周长是 16 厘米,在它的每一条边上

练习 2?


各画一个以该边为边长的正方形,已知这四个正方形的面积和是 68 平方厘米, 求长方形 ABCD 的面积??

3

练习 3?

两个相同的直角三角形如下图所示(单位:厘米)重叠在一起,求阴影部分的面积.?

A D

B

O 3 2 E

C F

?

4

如图所示, 梯形 ABCD 中, AB 平行于 CD , BD = 4 , AC = 3 , AB + CD = 5 . 又 试

练习 4?

求梯形 ABCD ? 的面积.?
A B

D

C

?

?

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