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高中数学教案选修2-2《1.4 导数在实际生活中的应用》


教学目标: 1.通过生活中优化问题的学习,体会导数在解决实际问题中的作用,促进 学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值. 2.通过实际问题的研究,促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的 提高. 教学重点: 如何建立实际问题的目标函数是教学的重点与难点. 教学过程: 一、问题情境 问题 1 问题 2 把长为 60cm 的铁丝围成矩形,长宽各为多少时面积最大? 把长为 100cm 的铁丝分成两段,各围成正方形,怎样分法,能使两 个正方形面积之各最小? 问题 3 做一个容积为 256L 的方底无盖水箱,它的高为多少时材料最省? 二、新课引入 导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数求最值的方法,可以求出实际 生活中的某些最值问题. 1.几何方面的应用(面积和体积等的最值) . 2.物理方面的应用(功和功率等最值) . 3.经济学方面的应用(利润方面最值) . 三、知识建构 例1 在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形, 再把它的边沿 虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积 最大?最大容积是多少? 说明 1 说明 2 解应用题一般有四个要点步骤:设——列——解——答 . 用导数法求函数的最值,与求函数极值方法类似,加一步与几个极 值及端点值比较即可. 例2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才 能使所用的材料最省? R h 变式 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时,它的高与底面半径应怎样 选取,才能使所用材料最省? 说明 1 说明 2 S1 S2 S3 这种在定义域内仅有一个极值的函数称单峰函数 . 用导数法求单峰函数最值,可以对一般的求法加以简化,其步骤为: 列:列出函数关系式. 求:求函数的导数. 述:说明函数在定义域内仅有一个极大(小)值,从而断定为函数的最 大(小)值,必要时作答. 例3 在如图所示的电路中,已知电源的内阻为 r ,电动势为 ? .外电阻 R 为 多大时,才能使电功率最大?最大电功率是多少? 说明 求最值要注意验证等号成立的条件,也就是说取得这样的值时对应的 自变量必须有解. 例4 强度分别为 a,b 的两个光源 A,B,它们间的距离为 d,试问:在连接 这两个光源的线段 AB 上,何处照度最小?试就 a=8,b=1,d=3 时回答上述问 题(照度与光的强度成正比,与光源的距离的平方成反比) . 例5 在经济学中,生产 x 单位产品的成本称为成本函数,记为 C ( x) ;出售 x 单位产品的收益称为收益函数,记为 R( x) ;R( x)-C ( x) 称为利润函数,记为 P( x) . ( 1 )设 C( x)=10-6 x3-0.003 ,生产多少单位产品时,边际成本 x2+ 5x + 1000 C '(x ) 最低? 50 x + 10000 (2)设 C (x) = 100-0.1x ,怎样的定价可使利润最 ,产品的单价 p= 大? 四、课堂练习 1.将正数 a 分成两部分,使其立方和为最小,这两部分应分成____和___. 2.在半径为 R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为 面积最大. 3.有一边长分别为 8 与 5 的长方形,在各角剪去相同的小正方形,把四边折 起做成一个无盖小盒,要使纸盒的容积最大,问剪去的小正方形边长应为多少? 4.一条水渠,断面为等腰梯形,如图所示,在确定断面尺寸时,希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时, 使得湿周 l=AB+BC+CD 最小

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