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5.3同角三角比的关系和诱导公式(4)教案

课题:5.3(4)同角三角比关系和诱导公式(教案)
教学目的:1、熟练掌握同角三角比关系,并应用其进行求值、化简和证明 2、熟练掌握四组诱导公式,并应用其进行求值、化简和证明 教学重点:同角三角比的关系和诱导公式的应用 教学过程: (一)引入 一、 (设置情境)已知 ?ABC 中, sin A ?

3 ,求 cos A , tan A 的值 5

已知角的一个三角比的值,可以求它的其它三角比的值,当角的象限不确定时应讨论

二、 (双基回顾) 1、同角三角比的关系:
2 2 2 2 2 2 (1)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1, 1 ? tan ? ? sec ? ,1 ? cot ? ? csc ? ;

(2)商数关系: tan ? ?

cos ? sin ? , cot ? ? ; sin ? cos ?

(3)倒数关系: sin ? csc ? ? 1, cos ? sec ? ? 1 , tan ? cot ? ? 1 ; 2、诱导公式:四组诱导公式,把任意角的三角比化为锐角三角比
2 2 3、 “1”的代换: 1 ? sin ? csc ? 、 1 ? cos ? sec ? 、1 ? tan ? cot ? 、1 ? sin ? ? cos ? 、

1 ? sec2 ? ? tan2 ? 、1 ? csc2 ? ? cot2 ? 、 1 ? tan
(二)新课 一、典型例题 例 1、已知 ?ABC 中, sin A ? 解:因为 sin A ?

?
4

、 1 ? cot

?
4



3 ,求 cos A , tan A 的值 5

3 ? 0 ,所以 A 在第一象限或 A 在第二象限 5 4 3 A 在第一象限时, cos A ? , tan A ? 5 4 4 3 A 在第二象限时, cos A ? ? , tan A ? ? 5 4

例 2、化简:

sin ?? ? ? ? tan?? ? 2? ? cos?? ? 5? ? ? ? tan?? ? ? ? cos?3? ? ? ? sin ?? ? ? ?

解:原式=

sin ? tan ? ? cos ? ? ? ?1 ? tan ? ? cos ? ? sin ?
1

例 3、化简

1 ? cos? 1 ? cos? ( ? ? ? ? 2? ) ? 1 ? cos? 1 ? cos?

解:原式 ?

(1 ? cos? ) 2 (1 ? cos? ) 2 | 1 ? cos? | | 1 ? cos? | ? ? ? | sin ? | | sin ? | 1 ? cos2 ? 1 ? cos2 ?

因为 ? ? ? ? 2? ,所以 sin ? ? 0 , ? 1 ? cos ? ? 1 ,所以 1 ? cos ? ? 0

1 ? cos ? 1 ? cos ? ? 2 cos ? ? ?? ? 2 cot ? ? sin ? ? sin ? ? sin ? 1 例 4、已知 ? 是第四象限角, sin ? ? cos ? ? ,求: 5
原式 ?
3 3 (1) sin ? ? cos ? ; (2) sin ? ? cos ? ; (3) tan ? ? cot ? ; (4) tan ?

解: (1)

sin ? ? cos? ?

1 12 ? 49 ? sin ? cos? ? ? ? 2 5 25? ? ?sin ? ? cos? ? ? 25 ?sin ? ? cos? ?2 ? 1 ? 2 sin ? cos? ? ?


3

? 是第四象限角,则 sin ? ? cos ? ? ?
3

7 5 37 125

2 2 (2) sin ? ? cos ? ? (sin? ? cos? )(sin ? ? sin ? cos? ? cos ? ) ?

(3) tan? ? cot? ?

sin ? cos? sin 2 ? ? cos2 ? 25 ? ? ?? cos? sin ? sin ? cos? 12

1 ? ? 3 sin ? ? ? ? ? 5 ? 5 ? tan? ? ? 3 (4) 7? ? 4 4 sin ? ? cos? ? ? ? ? cos? ? 5? ? 5 sin ? ? cos? ?
二、课堂练习 1、已知 ? ? ? ? ,

? ?

3? ? 2 2 ? ,求 tan? ? sec ? ? 1 ? sec? ? 1 ? tan ? 的值 2 ?

( ? 1)

2 2 2、已知 sin ? ? 3 cos ? ? 0 ,求 3 cos ? ? 8 sin ? cos? ? 3 sin ? 的值

( 0 )

三、拓展探究 1、已知 sin ? x ?

? ?

??

1 ? ? 7? ? ? 11 ? ? x ? ? cos2 ? ? x ? 的值。 ? ? ,求 sin? 6? 4 ? 6 ? ? 6 ?

2

解:令 x ?

?
6

? ? ,则 sin ? ?
2

1 。 4 16

原式= sin ?? ? ? ? ? cos
2

?2? ? ? ? ? ? sin ? ? cos 2 ? ? 1 ? sin ? ? sin 2 ? ? 11
6 2

2、已知 cos ? ? cos? ? 1 ,求 sin ? ? sin ? 的值。 解: cos? ? 1 ? cos ? ? sin ? ;
2 2

sin 6 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos3 ? ? cos? ? cos? cos2 ? ? 1
? cos? ?2 ? cos? ? ? 2 cos? ? cos2 ? ? 3 cos? ? 1
cos2 ? ? cos? ? 1 , cos ? ? 0 ,则 cos? ?
3、求证:

?

?

3

?

?

? 5 ?1? 5 ?1 3 5 ?5 ? ?1 ? ,则原式= 3? ? ? 2 2 ? 2 ?

1 ? sec ? ? tan ? ? tan ? ? sec ? 1 ? sec ? ? tan ?

sec 2 ? ? tan2 ? ? sec? ? tan? ?sec? ? tan? ??1 ? sec? ? tan? ? 证:左= ? ? sec? ? tan? ?1 ? sec? ? tan? ? 1 ? sec? ? tan?

(三) 、小结 同角三角比和诱导公式的应用:1、已知角的一个三角比,求它的其它三角比的值 2、简单三角式的化简、求值 3、三角恒等式的证明 (四) 、作业 课外作业: 一、填空题 1、已知 cos ?? ? ? ? ? ? , 且?是第四象限角,则 sin ?? ? ? ? ? 2、已知 tan x ? ? 3、若 sin ? ?

3 5

1 2 sin x ? cos x ? ,那么 3 sin x ? 3 cos x

4 5 sin ? ? 8 ? ,且 ? 是三角形的一个内角,则 5 15 cos ? ? 7 1 ? ? ,且 ? ? ? ,则 cos ? ? sin ? ? 8 4 2

4、已知 sin ? cos ? ? 5、已知 tan x ?

1 , 则 sin 2 x ? 3 sin x cos x ? 1 ? 2

3

6、化简: sin x ? cos x ? 3 sin x cos x ?
6 6 2 2

7*、若 sin x ? sin x ? 1 ,则 cos x ? cos x ?
2 2 4

8*、若 sin x ? cos x ? 二、选择题

1 , 且0 ? x ? ? , 求 tan x ? 5

1、若 cos? ? csc? ? sec2 ? ? 1 ? ?1,则角 ? 的终边在





A 、第一或第三象限

B 、第三象限

C 、第四象限

D 、第二或第四象限


2、已知 A 是三角形内角,且 sin A cos A ? ?

1 ,则 cos A ? sin A 的值为( 8

A 、?

3 2

B、 ?

3 2

C、 ?

5 2

D 、?

5 2


3、已知 ? 是三角形的一个内角,且 sin ? ? cos ? ?

2 ,那么这个三角形为( 3

A 、锐角三角形

B 、钝角三角形 C 、不等腰的直角三角形 D 、等腰直角三角形

4*、已知 sin x ? cos x ?

A、

25 23 128

3 3 3 ,则 sin x ? cos x 的值为( ) 4 25 25 B 、? C 、? 23 23 D 、以上都不对 128 128

三、解答题 1、已知 tan ? ?

12 ,求 sin ? , cos? , cot? 的值。 5

2、若角 ? 的终边落在直线 x ? y ? 0 上,求

1 ? cos 2 ? cos ? ? 的值 sin ? 1 ? sin 2 ?

3、已知 ? 是第二象限角,化简

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

4*、已知 sin ? ? m ( | m |? 1 ) ,试用 m 表示 tan ?

4

四、双基铺垫(下节课需要用到的知识) 1、角 ? 的终边与单位圆相交于点 P,则点 P 的坐标可表示为 2、两点 A?a, b ? , B(m, n) 间的距离 | AB |?

5.3 同角三角比关系和诱导公式的应用课外作业答案
一、填空题 1、

4 5

2、 ?

1 10

3、6 或 ?

3 4

4、 ?

3 2

5、

2 5

6、1

7、1 二、选择题 1、 D 三、解答题

8、 tan x ? ?

4 3
4、C ;

2、D

3、B

1、当 ? 在第一象限时, sin ? ?

12 5 5 ; cos ? ? ; cot ? ? 13 13 12 12 5 5 当 ? 在第三象限时, sin ? ? ? ; cos ? ? ? ; cot ? ? 13 13 12

2、依据题意可确定 ? 在第一、第三象限,再通过讨论即可求解,答案为 2 或-2.

3、

2 sin ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? 2 sin ? ? ? ?2 tan ? = ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? | cos? | ? cos ?
2 2

4、因为 cos ? ? 1 ? m

所以,当 ? 在第一、四象限时, tan? ?

sin ? m ? cos? 1 ? m2 sin ? m ?? cos? 1 ? m2

当 ? 在第二、三象限时, tan? ? 当 ? 终边在 x 轴上时, tan ? ? 0 四、双基铺垫

1、角 ? 的终边与单位圆相交于点 P,则点 P 的坐标可表示为 P(cos? , sin ? ) 2、两点 A?a, b ? , B(m, n) 间的距离 AB ?

( a ? m) 2 ? (b ? n) 2

5


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