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我的高考数学错题本——第6章 平面向量易错题


第 6 章 平面向量易错题 易错点 1.遗漏零向量 【例 1】 已知 a ? (3, 2 ? m) 与 b ? (m, ?m) 平行,则 m 值的个数是________. 【错解】由 a // b 得

?m 2 ? m 2 ,即 m ? 5m ? 0 ,解之得 m1 ? 5 , m2 ? 0 (舍) ,∴ m 的值只有一个. ? m 3

【错因】零向量与任一向量平行,当 m ? 0 时, b 为零向量,也与 a 平行. 【正解】由 a // b 得 3 ? (? m) ? m(2 ? m) ? 0 ,解得 m1 ? 5 , m2 ? 0 ,∴ m 的值应有两个.

易错点 2.弄错两个向量的夹角 【例 2】 在 ?ABC 中, a ? 5, b ? 8, C ? 60? ,则 BC ? CA 的值为 ( A 20 B )

? 20

C

20 3

D

? 20 3

【错解】因为 BC ,CA ? 60? , BC ? CA ? BC ? CA ? cos BC , CA ? 5 ? 8 ? 【错因】弄错向量 BC 与 CA 的夹角.

uuu r uur

uuu r uur

uuu r uur

uuu r uur

1 ? 20 ,故选 A. 2

【正解】由题意 BC , CA ? 120? ,故 BC ? CA ? BC ? CA ? cos BC , CA ? 5 ? 8 ? ? ? 【纠错训练】已知 ?ABC 中, AB ? BC ? 0 ,则 ?ABC 是( A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形

uuu r uur

uuu r uur

uuu r uur

? 1? ? ? ?20 ,选 B. ? 2?

) D、不能确定

【解析】 AB ? BC ? AB ? BC ? cos(? ? ?ABC ) ? 0 ,所以 cos ?ABC ? 0 ,故选 C.

易错点 3.忽略向量平移的不变性 【例 3】 向量 AB ? (3, 4) 按向量 a =(1,2)平移后为( ) A. (4,6) B. (2,2) 【错解】A. 【错因】向量平移不改变. 【正解】由向量平移不变性,选 C. C. (3,4 ) D. (3,8)

【纠错训练】已知 A(3,7) ,B(5,2) ,向量 AB 按 a ? (1, 2) 平移后所得向量是 A. (2,-5) B. (3,-3) C. (1,-7) D.以上都不是



【解析】 AB ? (5 ? 3, 2 ? 7) ? (2, ?5) ,由向量平移不变性,故选 A. 易错点 4.认为 a 与 b 的夹角为钝角(锐角) ? a ? b ? 0(? 0) 致错

r r

【例 4】设平面向量 a ? (?2,1), b ? (? , ?1), (? ? R) ,若 a 与 b 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围是( ) A. ( ? , 2)

1 2

(2, ??)

B. (2, ??)

C. ( ? , ? ?)

【错解】由 a 与 b 的夹角为钝角,所以 a ? b ? 0 ,即 ?2? ? 1 ? 0 ,解得 ? ? ? 【错因】忽视使用 a ? b ? 0 时,其中包含了两向量反向的情况. 【正解】由 a 与 b 的夹角为钝角,所以 a ? b ? 0 ,即 ?2? ? 1 ? 0 ,解得 ? ? ? 又当 a , b 共线且反向时, 2 ? ? ? 0 ,得 ? ? 2 .

r r

1 2

D. (??, ? )

1 2

1 ,故选 C. 2

r r

r r

1 , 2

r v

1 且 ? ? 2 ,故选 A. 2 r r r r 【纠错训练】若向量 a = ? x, 2 x ? , b = ? ?3 x, 2 ? ,且 a , b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是_______.
所以 ? 的取值范围是 ? ? ? 【正解】? a , b 的夹角为钝角, ? a ? b ? x ? ? ?3 x ? ? 2 x ? 2 ? ?3 x ? 4 x ? 0
2

r

r

r r

解得 x ? 0 或 x ?

又由 a , b 共线且反向可得 x ? ?

r v

4 3

(1)

1 (2) 3

由(1),(2)得 x 的范围是 ? ??, ? ? U ? ? , 0 ? U ?

? ?

1? 3?

? 1 ? 3

? ?4 ? , ?? ? ? ?3 ?

易错点 5.向量数量积的性质理解不透彻 【例 5】向量 a 、b 都是非零向量,向量 a + 3b 与 7a ? ?b 垂直,a ? 4b 与 7a ? ?b 垂直,求 a 与 b 的夹角. 【错解】由题意,得 (a + 3b) (7a ? ?b) ? 0 ,① 将①、②展开并相减,得 46a b = ??b ,③
2

(a ? ?b) (7a ? ?b) ? 0 ,②
∵ b ? ? ,故 a =

1 b ,④ 2

1 ? b a b 1 2 2 将④代入②,得 a ? b ,则 a ? b ,设 a 与 b 夹角为 ? ,则 cos ? ? ?2 2 ? . a b 2 b
∵ 0 ≤ ? ≤180 ,∴ ? ? 60 . 【错因】上面解法表面上是正确的,但却存在着一个理解上的错误,即由③得到④,错把数的乘法的消去 律运用在向量的数量积运算上.由于向量的数量积不满足消去律,所以即使 b ? ? ,也不能随便约去. 【正解】设向量 a 、b 的夹角为 ? ,由上面解法有 2a b = b ,代入①式、②式均可得 a ? b ,则 a ? b ,
2 2 2

∴ cos ? ?

ab 1 ? .又∵ 0 ≤ ? ≤??? ,∴ ? ? 60 . a b 2

【纠错训练】如果 a ? b ? a ? c ,且 a ? 0 ,那么( )

A. b ? c

B. b ? ? c

C.

b?c

D. b, c 在 a 方向上的投影相等

【解析】 a ? b ? a ? c ,说明 b, c 在 a 方向上的投影相等,故选 D.

易错点 6.记错两个向量平行的坐标关系 【例 6】已知向量 a ? (2, ?1) , b ? (?1, m) , c ? (?1, 2) ,若 (a ? b) ∥ c ,则 m= 【错解】 ∵ a ? b ? (1, m ? 1) ,又 (a ? b) ∥ c ,∴ 1? (?1) ? ( m ? 1) ? 2 ? 0 , 得 m ? .

1 . 2

【错因】把“若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ? 0 ,则 a ∥ b ? x1 y2 ? x2 y1 =0 ”错记成“ x1 y1 ? x2 y2 =0 ”. 【正解】∵ a ? b ? (1, m ? 1) ,又 (a ? b) ∥ c ,∴ 1? 2 ? ( m ? 1) ? (?1) ? 0 ,得 m ? ?1 . 【纠错训练】设向量 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 A.充要 【解析】若 B.必要不充分

x1 y1 ? 是 a / / b 的( x2 y2

)条件.

C.充分不必要

D.既不充分也不必要

x1 y1 ? 则 x1 y2 ? x2 y1 ? 0,? a / / b ,若 a / / b ,有可能 x2 或 y2 为 0,故选 C. x2 y2

【错题纠正巩固】 1.关于非零向量 a 和 b ,有下列四个命题: (1) “ a ? b ? a ? b ”的充要条件是“ a 和 b 的方向相同” ; (2 ) “ a ? b ? a ? b ” 的充要条件是“ a 和 b 的方向相反” ; (3 ) “ a ? b ? a ? b ” 的充要条件是“ a 和 b 有相等的模” ; (4) “ a ? b ? a ? b ” 的充要条件是“ a 和 b 的方向相同” ; 其中真命题的个数是 ( A 1 B 2 C 答案: B. 2.若向量 ) 3 D 4

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

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?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

a =(cos?,sin?) , b = ?cos? , sin ? ? , a 与 b 不共线,则 a 与 b 一定满足(
B. a ∥ b C.( a + b )?( a - b ) D. a ⊥ b



A. a 与 b 的夹角等于?-? 答案:C

3.已知向量 a =(2cos?,2sin?),??(
2 A. ? -? 3

?
2

, ? ), b =(0,-1),则 a 与 b 的夹角为(

)

B.

? +? 2

C.?-

? 2

D.?

答案:A

错因:学生忽略考虑 a 与 b 夹角的取值范围在[0,?]

4.o 为平面上的定点,A、B、C 是平面上不共线的三点,若( OB - OC )·( OB + OC -2 OA )=0,则?ABC

是( ) A.以 AB 为底边的等腰三角形 C.以 AB 为斜边的直角三角形

B.以 BC 为底边的等腰三角形 D.以 BC 为斜边的直角三角形

正确答案:B 错因:学生对题中给出向量关系式不能转化:2 OA 不能拆成( OA + OA )。 5.已知|a|=3,|b|=5,如果 a∥b,则 a·b= 正确答案: 。±15。 6.如果 a ? b ? a ? c, 且a ? 0 ,那么 A. b ? c B. b ? ? c ( ) C. 。

b?c

D. b, c 在 a 方向上的投影相等

正确答案:D。 7.向量 AB =(3,4)按向量 a=(1,2)平移后为 A. (4,6) B. (2,2) 答案: C C. (3,4) D. (3,8)
?

( )

8.已知向量 OB ? (2,0), OC ? (2, 2), CA ? ( 2 cos a, 2 sin a) 则向量 OA, OB 的夹角范围是( A.[π /12,5π /12] 答案:A 9.过△ABC 的重心作一直线分别交 AB,AC 于 D,E,若 AD ? x AB, AE ? y AC ,( xy ? 0 ),则 为( ) A 4 答案:A B、[0,π /4] C、[π /4,5π /12] D、 [5π /12,π /2]



1 1 ? 的值 x y

B

3

C

2

D

1

10.设平面向量 a =(-2,1), b =(λ ,-1),若 a 与 b 的夹角为钝角,则λ 的取值范围是( A. (? ,2) ? (2,??) 答案:A 11.设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则下列 a 与 b 共线的充要条件的有( ① 存在一个实数λ ,使 a =λ b 或 b =λ a ; ② | a · b |=| a | | b |;③ A.1 个 答案:C B.2 个 C.3 个 D.4 个 )



1 2

B. (2,?? )

C. (? ,?? )

1 2

D. (??,? )

1 2

x1 y1 ? ; ④ ( a + b )//( a - b ) x2 y 2

12.设向量 a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) ,则 A.充要 正解:C 若 B.必要不充分

x1 y ? 1 是 a // b 的( x2 y 2

)条件。

C.充分不必要

D.既不充分也不必要

x1 y ? 1 则 x1 y2 ? x2 y1 ? 0,? a // b ,若 a // b ,有可能 x2 或 y 2 为 0,故选 C。 x2 y 2

误解: a // b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 ?

x1 y ? 1 ,此式是否成立,未考虑,选 A。 x2 y 2


13.在 ?ABC 中, AB ? a , BC ? b ,有 a ? b ? 0 ,则 ?ABC 的形状是 ( A.锐角三角形 正解:D B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定

14.设 a, b, c 是任意的非零平面向量且互不共线,以下四个命题:

? ? ③ ?b ? c?? a ? ?c ? a?? b不与c垂直
① (a ? b) ? c ? c ? a ? b ? 0 其中正确命题的个数是( A.1 个 B.2 个 答案:(B) ) C.3 个

② a ? b ? a?b ④若 a ? b, 则a ? b与c 不平行 D.4 个


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