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近五年全国高中数学联赛选编——函数、集合


近五年全国高中数学联赛选编——函数、集合
1. (2010 年 一试 1)函数 f ( x) ? x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是 .

2015.8.17

[?3, 3] [?3, 3] .

提示:易知 f ( x) 的定义域是 ?5,8? ,且 f ( x) 在 ?5,8? 上是增函数,从而可知 f ( x) 的值域为

2. (2010 年 一试 5) 函数 f ( x) ? a 2 x ? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1) 在区间 x ? [?1,1] 上的最大值为 8, 则它在这个区间上的最小值是 .
3 2

解:令 a x ? y, 则原函数化为 g ( y) ? y 2 ? 3 y ? 2 , g ( y ) 在 (? ,+?) 上是递增的. 当 0 ? a ? 1 时, y ? [a, a ?1 ] ,

g ( y ) max ? a ?2 ? 3a ?1 ? 2 ? 8 ? a ?1 ? 2 ? a ?
所以

1 , 2

1 1 1 g ( y ) min ? ( ) 2 ? 3 ? ? 2 ? ? ; 2 2 4


a ? 1 时, y ? [a ?1 , a] ,

g ( y) max ? a 2 ? 3a ? 2 ? 8 ? a ? 2 ,
所以

1 g ( y ) min ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ?1 ? 2 ? ? . 4 1 综上 f ( x) 在 x ? [?1,1] 上的最小值为 ? . 4

2.(2010 年 一试 9)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 1,试 求 a 的最大值.
? f ?(0) ? c, ? 1 3 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c, 由 ? ? f ?( ) ? a ? b ? c, 4 ? 2 ? ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? c

解法一:



1 3a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) . 2
所以

1 3 a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) 2



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1 ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) ? 8 , 2
所以 a ?

8 8 3 8 2 . 又易知当 f ( x) ? x ? 4 x ? x ? m ( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值为 . 3 3 3
设 g ( x) ? f ?( x) ? 1 ,则当 0 ? x ? 1 时, 0 ? g ( x) ? 2 .

解法二: f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c . 设 z ? 2 x ? 1 ,则 x ?

z ?1 , ?1 ? z ? 1 . 2 z ? 1 3a 2 3a ? 2b 3a h( z ) ? g ( )? z ? z? ? b ? c ? 1. 2 4 2 4 h( z ) ? h( ? z ) ?2 , 2

容易知道当 ? 1 ? z ? 1 时,0 ? h( z ) ? 2,0 ? h(? z ) ? 2 . 从而当 ? 1 ? z ? 1 时,0 ? 即

3a 2 3a z ? ? b ? c ?1 ? 2 , 4 4 3a 3a 8 ? b ? c ? 1 ? 0 , z 2 ? 2 ,由 0 ? z 2 ? 1 知 a ? . 从而 4 4 3 8 3 8 2 又易知当 f ( x) ? x ? 4 x ? x ? m ( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值为 . 3 3 0?

3. ( 2011 年 一试 1) 设集合 A ? {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } ,若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为
B ? {?1, 3, 5, 8} ,则集合 A ?



解: {?3,0, 2,6}. 提示:显然,在 A 的所有三元子集中,每个元素均出现了 3 次,所以
3(a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ) ? (?1) ? 3 ? 5 ? 8 ? 15 ,

故 a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? 5 ,于是集合 A 的四个元素分别为 5-(-1)=6,5-3=2,5-5=0,5-8=-3,因此, 集合 A ? {?3, 0, 2, 6} .
x2 ? 1 的值域为 x ?1

4. (2011 年 一试 2)函数 f ( x) ?
解: (??, ?



2 ? ? ? ] ? (1, ??) . 提示:设 x ? tan? ,? ? ? ? ,且 ? ? ,则 2 2 4 2
1 1 f ( x) ? cos? ? ? tan? ? 1 sin? ? cos? 1 2 sin( ?? ) 4

?



1 2 ? ] ? (1,??) . 设 u ? 2 sin( ? ? ) ,则 ? 2 ? u ? 1 ,且 u ? 0 ,所以 f ( x) ? ? (??,? u 2 4

5. (2011 年 一试 9) 设函数 f ( x) ?| lg(x ? 1) | , 实数 a, b(a ? b) 满足 f (a) ? f (?
求 a , b 的值. 因为 f (a) ? f (?
b ?1 ) ,所以 b?2
2 页

b ?1 ) ,f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 , b?2



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b ?1 1 ? 1) |?| lg( ) |?| lg(b ? 2) | , b?2 b?2 所以 a ? 1 ? b ? 2 或 (a ? 1)(b ? 2) ? 1 ,又因为 a ? b ,所以 a ? 1 ? b ? 2 ,所以 (a ? 1)(b ? 2) ? 1 . | lg(a ? 1) |?| lg(?

又由 f (a) ?| lg(a ? 1) | 有意义知 0 ? a ?1,从而
0 ? a ?1 ? b ?1 ? b ? 2 ,

于是
0 ? a ?1 ? 1 ? b ? 2 .

所以
(10a ? 6b ? 21) ? 1 ? 10(a ? 1) ? 6(b ? 2) ? 6(b ? 2) ? 10 ?1. b?2

从而
f (10a ? 6b ? 21) ?| lg[6(b ? 2) ? 10 10 ] |? lg[6(b ? 2) ? ]. b?2 b?2


f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 ,

所以
lg[6(b ? 2) ? 10 ] ? 4 lg 2 , b?2

故 6(b ? 2) ?

10 1 . ? 16 .解得 b ? ? 或 b ? ? 1 (舍去) b?2 3

1 2 把 b ? ? 代入 (a ? 1)(b ? 2) ? 1 解得 a ? ? . 3 5

所以 a ? ?

2 1 ,b ? ? . 5 3

6. (2012 年 一试 3)

7. (2012 年 一试 6)



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8. (2012 年 一试 9)

9. (2013 年 一试 1)



4 页

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10. (2013 年 一试 5)

11. (2013 年 一试 11)



5 页

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12. (2014 年 一试 2)

13. (2014 年 一试 3)



6 页

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